\begin{itemize}
\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
\end{itemize}
Anmerkung:\\
\begin{itemize}
\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
\end{itemize}
Anmerkung:\\
Modellannahmen:
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
Modellannahmen:
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$
\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$
\end{itemize}
\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$
\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$
\end{itemize}
% \setlength{\unitlength}{2cm}
% \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
% \put(0,0){\line(1,1){1}}
% \setlength{\unitlength}{2cm}
% \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
% \put(0,0){\line(1,1){1}}
% \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
% \end{picture}
% \\
% \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
% \end{picture}
% \\
\item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
\item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
\end{itemize}
\item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
\item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
\end{itemize}
-\item Trick: Vollstaendigkeit der Spinzustaende
-\item $\mathbf{T}$ diagonalisierbar, Spur Darstellungsunabhaengig
+\item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande
+\item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
\displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
\end{array}
\]
\displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
\end{array}
\]
-\item Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld
-\item Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
+\item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld
+\item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
\put(2.7,-0.1){$B_0$}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
\put(2.7,-0.1){$B_0$}
-\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
-\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
+\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
+\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
\end{itemize}
Hamiltonian:
\[
H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
\]
\end{itemize}
Hamiltonian:
\[
H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
\]
-$2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
+$2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung.\\
+$[7]$ Kerson Huang, Statistical mechanics\\
+\\
+Analog zum $d=1$ Fall gilt:
f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
\]
mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
\]
mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
kritische Temperatur:
\[
2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
kritische Temperatur:
\[
2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
\item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
\slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
\item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
\slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
-Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
-\\
-Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
+\begin{itemize}
+\item keine exakte analytische L"osung
+\item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
+\item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet
+\item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange
+\end{itemize}
- \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
- \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
+ \item $P(A,t)$, Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
+ \item $W(A \rightarrow B)$, Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
\[
P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
\]
\[
P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
\]
-und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
-Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
+Vergessen der Anfangskonfiguration f"ur gro"se $t$, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
+Bedingung f"ur zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung:
-Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus\\
-[\ref{lit4}] http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
+Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\
+$[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
-\item Gehe alle Gitterplaetze durch
-\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
+\item Gehe alle Gitterpl"atze durch
+\item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
\begin{itemize}
\item keine spontane Magnetisierung
\item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
\begin{itemize}
\item keine spontane Magnetisierung
\item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
- \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
+ \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
- \item \dq Aufheizen \dq des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
- \item \dq Abk"uhlen \dq des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
+ \item \dq Aufheizen\dq{} des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
+ \item \dq Abk"uhlen\dq{} des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
\item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
\item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
\item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
\item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
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\item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)