Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
- Nach Park und Miller \cite{park_miller} erf"ullt man mit
+ Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
\begin{equation} \label{eq:kon_v}
a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
\end{equation}
Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
+ Die Abbremsung der Ionen durch St"o"se mit den Atomkernen bezeichnet man als nukleare Bremskraft, die mit den Elektronen als elektronische Bremskraft.
\subsubsection{Bremsquerschnitt}
Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
\begin{equation}
R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:range}
\end{equation}
Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
+ Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelatische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
+ Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
\end{center}
\end{figure}
- Mit Hilfe der Transformation ins Schwerpunktsystem kann gezeigt werden, dass die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden kann, wenn nur Kr"afte zwischen den beiden Teilchen wirken.
+ Durch Transformation ins Schwerpunktsystem kann die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
\end{figure}
Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
\begin{equation}
- M_1 v_0 = ( M_1 + M_2 ) v_c \quad \textrm{,}
+ \vec v_c = \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,}
\label{eq:imp_cons_cm}
\end{equation}
- wobei $v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist, so dass der Gesamtimpuls des Systems Null ist.
+ wobei $\vec v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist.
Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
\begin{equation}
\frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
\end{equation}
erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
\begin{equation}
- v_c = \frac{v_0 M_c}{M_2} \quad \textrm{.}
+ \vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
\label{eq:v_sp}
\end{equation}
- Weiterhin erkennt man, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen und unabh"angig vom Streuwinkel sind:
+ Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massensind.
\begin{equation}
\frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
\label{eq:inv_prop}
\end{equation}
- Durch eine einfache geometrische "Uberlegung und der Bedingung, dass der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist, erh"alt man folgenden Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunkt- und Laborsystem (Abbildung \ref{img:angle_conv}):
+
+ F"ur die Geschwindigkeiten des Ions und des Atomkerns im Schwerpunktsystem vor dem Sto"s gilt weiterhin:
+ \begin{eqnarray}
+ \vec v_{Ion} = & \vec v_0 - \vec v_c = \frac{M_2}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,} \\
+ \label{eq:v_ion_vor}
+ \vec v_{Atom} = & 0 - \vec v_c = - \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
+ \label{eq:v_atom_vor}
+ \end{eqnarray}
+ womit der Gesamtimpuls $M_1 \vec v_{Ion} + M_2 \vec v_{Atom}$ verschwindet.
+ Die Impulse der Teilchen sind vor und nach dem Sto"s entgegengesetzt gleich gro"s.
+ Zusammen mit der Energieerhaltung folgt daraus, dass die Betr"age der Geschwindigkeiten durch den Sto"s nicht ver"andert werden.
+ Die kinetische Energie beider Teilchen bleibt im Schwerpunktsystem einzeln erhalten.
+
+ Abbildung \ref{img:angle_conv} zeigt die daraus abgeleitet Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Atoms nach dem Sto"s im Labor- und im Schwerpunktsystem.
+ Die Transformation ist durch
\begin{equation}
- \Phi = 2 \phi \quad \textrm{.}
- \label{eq:angle_conv}
+ \vec v_2 = \vec v_{Atom} + \vec v_c
\end{equation}
+ gegeben.
+ Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem sowie der Ausdruck f"ur $v_2$ sind leicht zu erkennen.
+ \begin{eqnarray}
+ \Phi = & 2 \phi \\
+ \label{eq:angle_conv}
+ v_2 = & 2 v_c cos(\phi)
+ \label{eq:v_2_abs}
+ \end{eqnarray}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
- \caption{Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
+ \caption{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
\label{img:angle_conv}
\end{center}
\end{figure}
\begin{equation}
T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
\end{equation}
- Mit $v_2 = 2 v_c cos(\phi)$ und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
+ Aus \eqref{eq:v_2_abs} und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
\begin{equation}
T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
\label{eq:delta_e}
\end{equation}
Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
- Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist und mit \eqref{eq:angle_conv} und einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
+ Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist. Durch Einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
\begin{equation}
T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
\label{eq:final_delta_e}
\label{eq:delta_e_max}
\end{equation}
- Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt. Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
- Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
- Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
+ Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
+ Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag, die Bremskraft, berechnet werden.
+
+ Unter der Annahme, dass Kr"afte nur entlang der Verbindungslinie zwischen Ion und Targetatom wirken, kann das Zweik"orperproblem auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
\end{equation}
- Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung
+ Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung.
\begin{equation}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
+ \label{eq:ang_mom_exp}
\end{equation}
F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
\begin{equation}
l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
\label{eq:ang_mom_val}
\end{equation}
+ L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
\begin{equation}
- E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r) \quad \textrm{.}
+ E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
\end{equation}
+ nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
\begin{equation}
\stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
\end{equation}
+ und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
\begin{equation}
dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
\end{equation}
+ kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
\begin{equation}
\frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
\end{equation}
Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
\begin{equation}
- \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}} \frac{1}{r^2}
+ \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{\sqrt{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
\label{eq:theta_of_p}
\end{equation}
Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
+
+ Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ ist durch den differentiellen Streuquerschnitt $d \sigma$ gegeben:
+ \begin{equation}
+ d \sigma = 2 \pi dp
+ \end{equation}
+
+ hier weiter ...
+
Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden.
- F"ur das interatomare Potential $V(r)$ \ldots
+ F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
+ \[
+ V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
+ \]
+ Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
+ Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anfitten von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
\subsubsection{Elektronische Bremskraft}
+ Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
+ Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.
+ Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
+ Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
+ Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
+ F"ur hohe, nicht-relativistische Energien m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlusts herangezogen werden.
+ Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.
+
+ F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
+ Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also proportional zur Wurzel aus der Energie des Ions.
+ \begin{equation}
+ S_e(E) = k_L \sqrt{E}
+ \end{equation}
+ Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beachtet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und der Targetatome.
+ Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, beachtet werden.
+ In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird eine Theorie vorgestellt die auch die Oszillationen erkl"art.
+ Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte fuer jedes Element zur"uckgef"uhrt.
+ Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.
+
\subsection{Implantationsprofil}
+ Mit den im letzten Abschnitt bestimmten Bremsquerschnitten $S_n$ uund $S_e$ kann nun mittels \eqref{eq:range} die mittlere Reichweite $R$ der Ionen angegeben werden.
+ Diese ist allerdings ungleich der mittleren Tife, in der das Ion zur Ruhe kommt, da das implantierte Ion seine Richtung nach jedem Sto"s ver"andern wird.
+ Die so erhaltene projezierte Reichweite $R_p$ und deren Standardabweichung $\Delta R_p$ k"onnen durch L"osung von Integro-Differentialgleichungen \cite{lss_2} berechnet werden.
+
+ Weiterhin wird in \cite{lss_2} vorgeschlagen, das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung anzun"ahern.
+ \begin{equation}
+ N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi \Delta R_p}} \exp \Big[ - \frac{(x - R_p)}{2 \Delta R_p^2} \Big] \textrm{,} \qquad D: \textrm{ Dosis}
+ \end{equation}
+
+ \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
+
\subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
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