Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
\begin{equation}
z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
+ \label{eq:gleichverteilte_r}
\end{equation}
\subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
+ \label{subsubsection:lin_g_p}
Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
\begin{equation}
berechnet werden.
\subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
+ \label{subsubsection:verwerf_meth}
Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
\vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
\label{eq:v_sp}
\end{equation}
- Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massensind.
+ Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
\begin{equation}
\frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
\label{eq:inv_prop}
\end{equation}
Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
- Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ ist durch den differentiellen Streuquerschnitt $d \sigma$ gegeben:
+ Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden.
+ \begin{eqnarray}
+ dN = & 2 \pi p dp \, n \\
+ d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp
+ \end{eqnarray}
+ Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
+ $\Theta$ ist eine Funtkion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
+ Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist diffenenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
\begin{equation}
- d \sigma = 2 \pi dp
+ d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} | \frac{dp}{d \Theta} | d \Omega
\end{equation}
- hier weiter ...
-
- Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden.
+ Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$ gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$ berechnet werden.
+ \begin{equation}
+ S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
+ \end{equation}
F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
\[
\subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
+ Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
+ Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden.
+
+ Das Programm folgt den Bahnen einer grossen Anzahl von Teilchen die in das Target implantiert werden.
+ Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
+ Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen auf Grund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
+ Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
+ Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
+ Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Taregt verlassen hat.
+ Das Target wird als amorph angenommen weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
+ Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
+ Das Teilchen verliert einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se und kontinuierlich auf Grund der elektronischen Bremskraft.
+
+ Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
+ Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Energie"ubertrag $T$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
+
+ Der Azimutwinkel $\Phi$ ist statistisch isotrop verteilt.
+ \begin{equation}
+ \Phi = 2 \pi R_3
+ \end{equation}
+
\subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
+
+ Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen.
+ Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen.
+ Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden.
+ So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
+ Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
+ Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
+ Ein Ma"s f"ur die Konzentration der Strahlensch"adigung ist der Energieanteil, der in Form von Kernwechelswirkung an den Festk"orper abgegeben wurde \cite{brice1,brice2}.
+ Dieser ist prportional zu den erzeugten Leerstellen und komplexeren Defekten im Target \cite{stein_vook_borders}.
+
+ Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
+ \begin{equation}
+ N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
+ \end{equation}
+ abgesch"atzt werden.
+
+ Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren.
+ Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht.
+ Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen.
+ Dieser kann an amorph-kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren.
+
+
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