Die Zuf"allgkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentliche Rolle.
Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtest System untersucht wird.
Eine solche Computersimulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
- Makroskopische, observable Gr"o"sen sind, ebenso wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
+ Makroskopische observable Gr"o"sen sind, ebenso wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.
Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist das relativ einfache Erzielen von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufw"andig sind.
\begin{equation} \label{eq:kon_v}
a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
\end{equation}
- einen minimalen Standard was die Qualit"at der Zufallszahlen angeht.
+ einen minimalen Standard, was die Qualit"at der Zufallszahlen angeht.
Diese Wahl der Konstanten wird in allen g"angigen Zufallszahlengeneratoren der Standardbibliotheken verwendet.
\subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
\int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
\end{equation}
Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
- Einige in dieser Arbeit ben"otigten Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
+ Die in dieser Arbeit ben"otigten Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
\subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
\subsubsection{Nukleare Bremskraft}
Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
- Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
+ Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektorien k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelastische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
\vec v_2 = \vec v_{Atom} + \vec v_c
\end{equation}
gegeben.
- Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem, sowie der Ausdruck f"ur $v_2$, sind leicht zu erkennen.
+ Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem sowie der Ausdruck f"ur $v_2$, sind leicht zu erkennen.
\begin{eqnarray}
\Phi = & 2 \phi \\
\label{eq:angle_conv}
\Phi = 2 \pi R_3
\end{equation}
- Mit Hilfe der von Biersack entwickelten \dq magic formula\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark} kann aus dem Sto"ssparamter $p$ analytisch der Streuwinkel $\Theta$ errechnet werden.
+ Mit Hilfe der von Biersack entwickelten \dq magic formula\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark} kann aus dem Sto"sparameter $p$ analytisch der Streuwinkel $\Theta$ errechnet werden.
Mit Hilfe des Ablenkwinkels wird dann durch \eqref{eq:final_delta_e} der Energie"ubertrag $\Delta E$ bestimmt.
Der elektronische Energieverlust ergibt sich aus dem Produkt der freien Wegl"ange $l$ mit dem Ausdruck f"ur die elektronische Bremskraft $S_e(E)$ aus \eqref{eq:el_sp} und der atomaren Dichte $N$.
Durch die freie Wegl"ange und den Ablenk- und Azimutwinkel ist der Ort des n"achsten Sto"sprozesses festgelegt.
\subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
- Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen.
- Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen, verlagert.
- Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden.
+ Durch die Bestrahlung des Targets werden Defekte im Kristallgitter hervorgerufen.
+ Ein eingeschossenes Ion "ubertr"agt seine Energie in Einzelst"o"sen auf die Targetatome, die ihrerseits weitere Targetatome ansto"sen und so eine Sto"skaskade bilden.
+ Eine Kollisionskaskade endet, sobald die Energie der in ihr enthaltenen Teilchen unter die Verlagerungsenergie $E_d$ gesunken ist.
So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
- Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
- Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
- Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
+ Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen, was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
+ Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome, der Art der Bindungen im Festk"orper und der Targettemperatur ab.
+ Die Anzahl der in einem prim"aren Sto"s durch ein Ion der Energie $E$ verlagerten Atome, kann nach Kinchin und Pease \cite{kinchin_pease} f"ur $keV$-Ionen zu
\begin{equation}
- N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
+ N_{p,d} = \frac{E}{2E_d}
\end{equation}
abgesch"atzt werden.
\subsubsection{Modell der kritischen Energiedichte}
- Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 \, K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ f"ur die in einem nuklearen Sto"s deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
+ Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 \, K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ von etwa $6 \times 10^23 \, eV/cm^3$ f"ur die in nuklearen St"o"sen deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
In diesem Fall ergibt sich die Amorphisierungsdosis $D_0$ aus der nuklearen Bremskraft $S_n$ zu:
\begin{equation}
D_0 = \frac{e_c}{S_n} \quad \textrm{.}
\end{equation}
+ Bei hohen Temperaturen finden Ausheilvorg"ange statt, was eine Erh"ohung der Amorphisierungsdosis um mehrere Gr"o"senordnungen zur Folge hat.
+
\subsubsection{Amorphisierungsmodell nach Morehead und Crowder}
- Bei hohen Temperaturen finden Ausheilvorg"ange statt, was eine Erh"ohung der Amorphisierungsdosis zur Folge hat.
Das Amorphisierungsmodell nach Morehead und Crowder \cite{morehead_crowder} geht von einer erh"ohten Konzentration an Leerstellen im Zentrum und einer erh"ohten Konzentration an Zwischengitteratomen im Randbereich einer Sto"skaskade aus.
W"ahrend der Abklingzeit der Sto"skaskade ($\sim 10^{-9} \, s$) k"onnen Leerstellen durch thermische Diffusion aus dem Zentrum der Sto"skaskade herauswandern und mit Zwischengitteratomen rekombinieren.
Dies hat eine Verkleinerung des zentralen, amorph werdenden Volumens zur Folge.
Der "Uberlappungsparameter $m$ ist im wesentlichen abh"angig von der Ionenmasse.
Das Verh"altnis des amorphen Fl"achenanteils $A_a$ zur gesamt bestrahlten Fl"ache $A_0$ nach einer Dosis $D$ ergibt sich zu:
\begin{equation}
- \frac{A_a}{A_0} = 1 - \Big[ \sum^{m-1}_{k=0} \frac{A_i D}{k!} \, exp(A_i D) \Big] \quad \textrm{.}
+ \frac{A_a}{A_0} = 1 - \Big[ \sum^{m-1}_{k=0} \frac{(A_i D)^k}{k!} \, exp(-A_i D) \Big] \quad \textrm{.}
\end{equation}
Dennis und Hale \cite{dennis_hale} erreichten nach diesem Modell f"ur Argon- und Kryptonionen in Silizium die beste "Ubereinstimmung mit experimentell bestimmten Sch"adigungsdaten f"ur $m=2$ und $m=3$.
\subsubsection{Strahlensch"adigungsmodell nach Hecking}
- Da das "Uberlappungsmodell keine temperaturabh"angigen Ausheilmechanismen ber"ucksichtigt und somit lediglich f"ur tiefe Temperaturen geeignet ist, wurde von Hecking \cite{hecking1,hecking2} ein neues Defekterzeugungs- und Defektwechselwirkungsmodell entwickelt.
- Ein eingeschossenes Ion "ubertr"agt seine Energie in Einzelst"o"sen auf die Targetatome, die ihrerseits weitere Targetatome ansto"sen und so eine Sto"skaskade bilden.
- Ist die Energie aller verlagerten Atome unter die Energie abgesunken, welche zur weiteren Verlagerung von Atomen n"otig ist, hat sich die kinetische Energie des einfallenden Ions in Schwingungsenergie, der im Kaskadenvolumen enthaltenen Atome, umgewandelt.
- Dieses r"aumlich begrenzten Gebiet sehr hoher Energiedichte, in dem die kollektiv angeregten Atome einen quasi fl"ussigen Zustand bilden, nennt man einen Energiespike.
+ Da das "Uberlappungsmodell keine temperaturabh"angigen Ausheilmechanismen ber"ucksichtigt und somit lediglich f"ur tiefe Temperaturen geeignet ist, wurde von Hecking \cite{hecking1,hecking2} ein neues Defekterzeugungs- und Defektwechselwirkungsmodell entwickelt, das auf dem Spike"=Konzept aufbaut.
+ Als Spike bezeichnet man das r"aumlich begrenzte Gebiet sehr hoher Energiedichte einer dichten Sto"skaskade, in dem die kollektiv angeregten Atome einen quasi-fl"ussigen Zustand bilden.
Die thermische Relaxation dieses Spikes kann als W"armediffusionsprozess beschrieben werden.
Erreicht die Kristallisationsfront den Kaskadenkern bevor die Kristallisationstemperatur unterschritten wird, kann der Spike vollst"andig rekristallisieren.
- Dies ist bei hohen Targettemperaturen der Fall, wenn den Leerstellen und Zwischengitteratomen, aufgrund der langsamen Abk"uhlung, genug Zeit zur Rekombination bleibt.
+ Dies ist bei hohen Targettemperaturen der Fall.
Bei kleinen Temperaturen und einer darausfolgenden schnellen W"armediffusion kann wegen unvollst"andiger Rekristallisation ein amorpher Kaskadenkern zur"uckbleiben.
- Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Bildung amorpher Volumina steigt mit fallender Temperatur.
+ Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Bildung amorpher Volumina steigt somit mit fallender Temperatur.
Neben der Implantationstemperatur h"angt der Defektzustand entscheidend von der Kaskadengeometrie und dem Sch"adigungszustand der Kaskadenumgebung ab.
- Ein hoher Sch"adigungsgrad einer Kaskadenumgebung erschwert die epitaktische Rekristallisation.
+ Ein hoher Sch"adigungsgrad einer Kaskadenumgebung erschwert die epitaktische Rekristallisation, was zur sogenannten \dq stimulierten Amorphisierung\dq{} f"uhrt.
+ Neben dem "Ubergang in den amorphen Zustand beschreibt das Modell die Erzeugung und Wechselwirkung von Kristalldefekten bei Dosen unterhalb der Amorphisierungsschwelle anhand von Reaktionswahrscheinlichkeiten, die durch Vergleich mit experimentellen Daten gewonnen wurden.
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