\section{Monte-Carlo-Simulation}
Monte-Carlo-Simulationen sind numerische Computerexperimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten.
- Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computerexperiemnte auf stochastischen Modellen.
+ Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computerexperimente auf stochastischen Modellen.
+ Dabei werden vom Computer generierte Zufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
Die Zuf"allgkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentliche Rolle.
Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtest System untersucht wird.
Eine solche Computersimulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
- Makroskopische, observable Gr"ossen sind, ebenso wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
+ Makroskopische observable Gr"o"sen sind, ebenso wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.
Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist das relativ einfache Erzielen von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufw"andig sind.
Z = \sum_{i=1}^N e^{\frac{-E_i}{k_B T}} = Tr(e^{-\beta H})
\end{equation}
nicht den gesamten Raum der Konfigurationen, sondern nur statistisch ausgew"ahlte Punkte zu ber"ucksichtigen.
- Um die Genauigkeit der simulierten Eigenschaften des Systems in einer bestimmten Sollzeit zu verbessern, ist es n"otig die Zust"ande mit der Wahrscheinlichkeit entprechend ihres Beitrages zur Zustandssumme auszusuchen.
+ Um die Genauigkeit der simulierten Eigenschaften des Systems in einer bestimmten Sollzeit zu verbessern, ist es n"otig die Zust"ande mit der Wahrscheinlichkeit entsprechend ihres Beitrages zur Zustandssumme auszusuchen.
Dieser Ansatz wird als \dq importance sampling\dq{} bezeichnet.
F"ur das Ising-Modell wird der Metropolis-Algorithmus verwendet, der die Dynamik des Systems in Form eines \dq update algorithm\dq{} f"ur die Mikrozust"ande vorschreibt.
\subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
\label{subsection:rand_gen}
- Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode \cite{knuth,nr}, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3, \ldots$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
+ Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode \cite{knuth,nr}, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_j$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
Dabei gilt folgende Vorschrift:
\begin{equation} \label{eq:kon_m}
I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
\begin{equation} \label{eq:kon_v}
a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
\end{equation}
- einen minimalen Standard was die Qualit"at der Zufallszahlen angeht.
+ einen minimalen Standard, was die Qualit"at der Zufallszahlen angeht.
Diese Wahl der Konstanten wird in allen g"angigen Zufallszahlengeneratoren der Standardbibliotheken verwendet.
\subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
\int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
\end{equation}
Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
- Einige in dieser Arbeit ben"otigten Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
+ Die in dieser Arbeit ben"otigten Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
\subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
- Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
+ Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \,\, \forall x \in [a,b]$ gegeben.
Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
\begin{enumerate}
\item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
\end{enumerate}
\printimg{}{width=10cm}{rej_meth.eps}{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$.}{img:rej_meth}
- Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
- Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
+ Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je gr"o"ser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
+ Deshalb macht es Sinn, die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
- \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
+ \section{Ion-Festk"orper-Wechselwirkung}
Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation muss die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgelenkt und abgebremst.
\begin{equation}
\frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
\end{equation}
- Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
+ Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gesto"senen Atomkerns mit Masse $M_2$.
Aus der Impulserhaltung folgt,
\begin{eqnarray}
\textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
\begin{equation}
\stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
\end{equation}
- und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
+ und diese Gleichung wiederum nach $dt$,
\begin{equation}
dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
\end{equation}
\end{eqnarray}
Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
$\Theta$ ist eine Funktion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
- Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
+ Die Funktion $p(\Theta)$ wiederum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
\begin{equation}
d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \left| \frac{dp}{d \Theta} \right| d \Omega
\end{equation}
\subsubsection{Elektronische Bremskraft}
Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
- Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.
+ Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation der Targetatome.
Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
- Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
- F"ur hohe, nichtrelativistische Energien (kleiner $10 Mev/amu$) m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlustes herangezogen werden.
+ Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 \, MeV/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
+ F"ur hohe, nichtrelativistische Energien (kleiner $10 \, MeV/amu$) m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlustes herangezogen werden.
Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.
F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
\end{equation}
Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beinhaltet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und des Targetatoms.
Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
- In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird die ZBL-Theorie vorgestellt, die auch die Oszillationen erkl"art.
- Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte f"ur jedes Element zur"uckgef"uhrt.
- Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.
\subsection{Implantationsprofil}
Das Programm folgt den Bahnen einer gro"sen Anzahl von Teilchen, die in das Target implantiert werden.
Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
- Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen auf Grund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
+ Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen aufgrund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert, wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Target verlassen hat.
Das Target wird als amorph angenommen, weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
- Das Teilchen verliert neben dem kontinuierlichen Energieverlust durch die elektronischen Bremskraft einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se.
+ Das Teilchen verliert neben dem kontinuierlichen Energieverlust durch die elektronische Bremskraft einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se.
Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Sto"sparamter $p$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
Es gibt Ans"atze die freie Wegl"ange zuf"allig zu bestimmen.
- F"ur niedrige Ionenenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) reicht es jedoch den amorphen Festk"orper durch eine feste freie Wegl"ange $l$ zu modellieren.
+ F"ur niedrige Ionenenergien (kleiner $0,1 \, MeV/amu$) reicht es jedoch den amorphen Festk"orper durch eine feste freie Wegl"ange $l$ zu modellieren.
Diese ist gegeben durch den mittleren Abstand der Targetatome.
\begin{equation}
l = N^{- \frac{1}{3}}
\Phi = 2 \pi R_3
\end{equation}
- Mit Hilfe der von Biersack entwickelten \dq magic formula\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark} kann aus dem Sto"ssparamter $p$ analytisch der Streuwinkel $\Theta$ errechnet werden.
+ Mit Hilfe der von Biersack entwickelten \dq magic formula\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark} kann aus dem Sto"sparameter $p$ analytisch der Streuwinkel $\Theta$ errechnet werden.
Mit Hilfe des Ablenkwinkels wird dann durch \eqref{eq:final_delta_e} der Energie"ubertrag $\Delta E$ bestimmt.
Der elektronische Energieverlust ergibt sich aus dem Produkt der freien Wegl"ange $l$ mit dem Ausdruck f"ur die elektronische Bremskraft $S_e(E)$ aus \eqref{eq:el_sp} und der atomaren Dichte $N$.
Durch die freie Wegl"ange und den Ablenk- und Azimutwinkel ist der Ort des n"achsten Sto"sprozesses festgelegt.
Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen, verlagert.
Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden.
So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
- Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
+ Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen, was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
\begin{equation}
\subsubsection{Modell der kritischen Energiedichte}
- Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ f"ur die in einem nuklearen Sto"s deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
+ Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 \, K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ f"ur die in einem nuklearen Sto"s deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
In diesem Fall ergibt sich die Amorphisierungsdosis $D_0$ aus der nuklearen Bremskraft $S_n$ zu:
\begin{equation}
Bei hohen Temperaturen finden Ausheilvorg"ange statt, was eine Erh"ohung der Amorphisierungsdosis zur Folge hat.
Das Amorphisierungsmodell nach Morehead und Crowder \cite{morehead_crowder} geht von einer erh"ohten Konzentration an Leerstellen im Zentrum und einer erh"ohten Konzentration an Zwischengitteratomen im Randbereich einer Sto"skaskade aus.
- W"ahrend der Abklingzeit der Sto"skaskade ($\sim 10^{-9} s$) k"onnen Leerstellen durch thermische Diffusion aus dem Zentrum der Sto"skaskade herauswandern und mit Zwischengitteratomen rekombinieren.
+ W"ahrend der Abklingzeit der Sto"skaskade ($\sim 10^{-9} \, s$) k"onnen Leerstellen durch thermische Diffusion aus dem Zentrum der Sto"skaskade herauswandern und mit Zwischengitteratomen rekombinieren.
Dies hat eine Verkleinerung des zentralen, amorph werdenden Volumens zur Folge.
Der Vorgang ist abh"angig von der Implantationstemperatur, welche die Diffusionsl"ange der Leerstellen bestimmt und der nuklearen Bremskraft, die das direkte Sch"adigungsvolumen festlegt.
Die Amorphisierungsdosis lautet somit
\begin{equation}
D(T) = D_0 \Big[ 1 - C \, exp\Big( - \frac{E_{diff}}{2 k_B T} \Big) \Big] \quad \textrm{,}
\end{equation}
- wobei $D_0 = \frac{E_d n}{S_n}$ die Amorphisierungsdosis f"ur $T \rightarrow 0 K$, $C = const. \, S_n^{-\frac{1}{2}}$, $E_{diff}$ die Aktivierungsenergie f"ur Leerstellendiffusion, $E_d$ die Atomverlagerungsenergie und $n$ die atomare Dichte ist.
+ wobei $D_0 = \frac{E_d n}{S_n}$ die Amorphisierungsdosis f"ur $T \rightarrow 0 \, K$, $C = const. \, S_n^{-\frac{1}{2}}$, $E_{diff}$ die Aktivierungsenergie f"ur Leerstellendiffusion, $E_d$ die Atomverlagerungsenergie und $n$ die atomare Dichte ist.
\subsubsection{Das "Uberlappungsmodell}
Dennis und Hale \cite{dennis_hale} erreichten nach diesem Modell f"ur Argon- und Kryptonionen in Silizium die beste "Ubereinstimmung mit experimentell bestimmten Sch"adigungsdaten f"ur $m=2$ und $m=3$.
Dies deutet darauf hin, dass selbst bei schweren Ionen ausschlie"slich direkte Amorphisierung ($m=1$) unwahrscheinlich ist.
- Bei niedrigen Dosen zeigt sich auf Grund der direkten Amorphisierung ein linearer Zusammenhang zwischen dem amorphen Fl"achenanteil und der Dosis.
+ Bei niedrigen Dosen zeigt sich aufgrund der direkten Amorphisierung ein linearer Zusammenhang zwischen dem amorphen Fl"achenanteil und der Dosis.
Der lineare Verlauf geht mit steigender Dosis mit der Bildung amorpher Gebiete durch "Uberlappung in einen maximal quadratischen Anstieg "uber.
- Der Verlauf s"attigt schlie"slich auf Grund der Abnahme ungesch"adigter und kristallin gesch"adigter Fl"achenanteile.
+ Der Verlauf s"attigt schlie"slich aufgrund der Abnahme ungesch"adigter und kristallin gesch"adigter Fl"achenanteile.
\subsubsection{Strahlensch"adigungsmodell nach Hecking}
Dieses r"aumlich begrenzten Gebiet sehr hoher Energiedichte, in dem die kollektiv angeregten Atome einen quasi fl"ussigen Zustand bilden, nennt man einen Energiespike.
Die thermische Relaxation dieses Spikes kann als W"armediffusionsprozess beschrieben werden.
Erreicht die Kristallisationsfront den Kaskadenkern bevor die Kristallisationstemperatur unterschritten wird, kann der Spike vollst"andig rekristallisieren.
- Dies ist bei hohen Targettemperaturen der Fall, wenn den Leerstellen und Zwischengitteratomen, auf Grund der langsamen Abk"uhlung, genug Zeit zur Rekombination bleibt.
+ Dies ist bei hohen Targettemperaturen der Fall, wenn den Leerstellen und Zwischengitteratomen, aufgrund der langsamen Abk"uhlung, genug Zeit zur Rekombination bleibt.
Bei kleinen Temperaturen und einer darausfolgenden schnellen W"armediffusion kann wegen unvollst"andiger Rekristallisation ein amorpher Kaskadenkern zur"uckbleiben.
Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Bildung amorpher Volumina steigt mit fallender Temperatur.
Neben der Implantationstemperatur h"angt der Defektzustand entscheidend von der Kaskadengeometrie und dem Sch"adigungszustand der Kaskadenumgebung ab.
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