Monte-Carlo-Simulationen sind numerische Computer-Experimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten.
Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computer-Experiemnte auf stochastischen Modellen.
- Der Zufall mikroskopischer Ereignisse ist wesentlich, wie im realen Experiment.
+ Die Zuf"allgkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentlich Rolle.
Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtest System untersucht wird.
Eine solche Computer-Simulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
Makroskopische, observable Gr"ossen sind, wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.
- Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist die relatv einfache Erzielung von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufwendig sind.
+ Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist die relativ einfache Erzielung von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufwendig sind.
Ein Beispiel hierf"ur ist das Ising Modell in drei Dimensionen, f"ur das bis jetzt keine analytische L"osung gefunden wurde.
Die Idee besteht darin, f"ur die Berechnung der Zustandssumme
\begin{equation}
Die Monte-Carlo-Simulation ben"otigt Zufallszahlen, welche auf physikalische Gr"o"sen abgebildet werden.
Erstaunlicherweise funktioniert diese Art der Simulation auch mit, vom Computer erzeugten, deterministischen Pseudozufallszahlen.
- Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Stand-ard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
+ Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
\subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
- Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3, \ldots$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
+ Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode \cite{knuth,nr}, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3, \ldots$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
Dabei gilt folgende Vorschrift:
\begin{equation} \label{eq:kon_m}
I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
- \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
+ \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$.}
\label{img:rej_meth}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
- \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
+ \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem.}
\label{img:scatter_lc}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
- \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem}
+ \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem.}
\label{img:scatter_cm}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
- \caption{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
+ \caption{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem und im Laborsystem.}
\label{img:angle_conv}
\end{center}
\end{figure}
$\Theta$ ist eine Funktion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
\begin{equation}
- d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \lvert \frac{dp}{d \Theta} \rvert d \Omega
+ d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \left| \frac{dp}{d \Theta} \right| d \Omega
\end{equation}
Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$, berechnet werden.
\end{equation}
Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beinhaltet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und des Targetatoms.
Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
- In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird eine Theorie vorgestellt, die auch die Oszillationen erkl"art.
+ In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird die ZBL-Theorie vorgestellt, die auch die Oszillationen erkl"art.
Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte f"ur jedes Element zur"uckgef"uhrt.
Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.
So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
- Ein Ma"s f"ur die Konzentration der Strahlensch"adigung ist der Energieanteil, der in Form von Kernwechelswirkung an den Festk"orper abgegeben wurde \cite{brice1,brice2}.
- Dieser ist proportional zu den erzeugten Leerstellen und komplexeren Defekten im Target \cite{stein_vook_borders}.
-
Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
\begin{equation}
N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren.
Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht.
Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen.
- Dieser kann an amorph-kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren.
+ Dieser kann an amorph-kristal-linen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen \cite{jackson} oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren \cite{spinella}.
+ Man spricht von Ionenstrahl-induzierter Defektausheilung beziehungsweise Rekristallisation (IBIC, kurz f"ur: Ion Beam Induced Crystallization).
+
+ Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ f"ur die in einem nuklearen Sto"s deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
+ In diesem Fall ergibt sich die Amorphisierungsdosis $D_0$ aus der nuklearen Bremskraft $S_n$ zu:
+
+ \begin{equation}
+ D_0 = \frac{e_c}{S_n} \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+
+ Bei hohen Temepraturen finden Ausheilvorg"ange statt, was eine Erh"ohung der Amorphisierungsdosis zur Folge hat.
+ Das Amorphisierungsmodell nach More-head und Crowder \cite{morehead_crowder} geht von einer erh"ohten Konzentration an Leerstellen im Zentrum und einer erh"ohten Konzentration an Zwischengitteratomen im Randbereich einer Sto"skaskade aus.
+ W"ahrend der Abklingzeit der Sto"skaskade ($\sim 10^{-9} s$) k"onnen Leerstellen durch thermische Diffusion aus dem Zentrum der Sto"skaskade hearsuwandern und mit Zwischengitteratomen rekombinieren.
+ Dies hat eine Verkleinerung des zentralen, amorph werdenden Volumens zur Folge.
+ Der Vorgang ist abh"angig von der Implantationstemperatur, welche die Diffusionsl"ange der Leerstellen bestimmt und der nuklearen Bremskraft, die das direkte Sch"adigungsvolumen festlegt.
+ Die Amorphisierungsdosis lautet somit
+
+ \begin{equation}
+ D(T) = D_0 \Big[ 1 - C \, exp\Big( - \frac{E_{diff}}{2 k_B T} \Big) \Big] \quad \textrm{,}
+ \end{equation}
+ wobei $D_0 = \frac{E_d n}{S_n}$ die Amorphisierungsdosis f"ur $T \rightarrow 0 K$, $C = const. \, S_n^{-\frac{1}{2}}$, $E_{diff}$ die Aktivierungsenergie f"ur Leerstellendiffusion, $E_d$ die Atomverlagerungsenergie und $n$ die atomare Dichte ist.
+
+ Nach dem "Uberlappungsmodell nach Gibbons \cite{gibbons} hinterl"asst jedes Ion ein zylinderf"ormiges, defektreiches Volumen mit der Grundfl"ache $A_i$.
+ Amorphisierung tritt ein, wenn $m$ Ionen den selben Bereich gesch"adigt haben, also nach $m-1$-facher "Uberlappung.
+ Der "Uberlappungsparameter $m$ ist im wesentlichen abh"angig von der Ionenmasse.
+ Das Verh"altnis des amorphen Fl"achenanteils $A_a$ zur gesamt bestrahlten Fl"ache $A_0$ nach einer Dosis $D$ ergibst sich zu:
+ \begin{equation}
+ \frac{A_a}{A_0} = 1 - \Big[ \sum^{m-1}_{k=0} \frac{A_i D}{k!} \, exp(A_i D) \Big] \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+ Dennis und Hale \cite{dennis_hale} erreichten nach diesem Modell f"ur Argon- und Krypton-Ionen in Silizium die beste "Ubereinstimmung mit experimentell bestimmten Sch"adigungsdaten f"ur $m=2$ und $m=3$.
+ Dies deutet darauf hin, dass selbst bei schweren Ionen ausschliesslich direkte Amorphisierung ($m=1$) unwahrscheinlich ist.
+ Bei niedrigen Dosen zeigt sich auf Grund der direkten Amorphisierung ein linearer Zusammenhang zwischen dem amorphen Fl"achenanteil und der Dosis.
+ Der lineare Verlauf geht mit steigender Dosis mit der Bildung amorpher Gebiete durch "Uberlappung in einen maximal quadratischen Anstieg "uber.
+ Der Verlauf s"attigt schliesslich auf Grund der Abnahme ungesch"adigter und kristallin-gesch"adigter Fl"achenanteile.
+
+ Da das "Uberlappungsmodell keine temperaturabh"angigen Ausheilmechanismen ber"ucksichtigt und somit lediglich f"ur tiefe Temperaturen geeignet ist wurde von Hecking \cite{hecking1,hecking2} ein neues Defekterzeugungs- und Defektwechselwirkungsmodell entwickelt.
+ Ein eingeschossenes Ion "ubertr"agt seine Energie in Einzelst"o"sen auf die Targetatome, die ihrerseits weitere Targetatome ansto"sen und so eine Sto"skaskade bilden.
+ Ist die Energie aller verlagerten Atome unter die Energie abgesunken welche zur weiteren Verlagerung von Atomen n"otig ist, hat sich die kinetische Energie des einfallenden Ions in Schwingungsenergie der im Kaskadenvolumen enthaltenen Atome umgewandelt.
+ Dieses r"aumlich begrenzte Gebiet sehr hoher Energiedichte, in dem die kollektiv angeregten Atome einen quasi-fl"ussigen Zustand bilden, nennt man einen Energie-Spike.
+ Die thermische Relaxation dieses Spikes kann als W"armediffusionsprozess beschrieben werden.
+ Erreicht die Kristallisationsfront den Kaskadenkern bevor die Kristallisationstemperatur unterschritten wird, kann der Spike vollst"andig rekristallisieren.
+ Dies ist bei hohen Targettemperaturen der Fall, wenn den Leerstellen und Zwischengitteratomen auf Grund der langsamen Abk"uhlung genug Zeit zur Rekombination bleibt.
+ Bei kleinen Temperaturen und einer darausfolgenden schnellen W"armediffusion kann wegen unvollst"andiger Rekristallisation ein amorpher Kaskadenkern zur"uckbleiben.
+ Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Bildung amorpher Volumina steigt mit fallender Temepratur.
+ Neben der Implantationstemperatur h"angt der Defektzustand entscheidend von der Kaskadengeometrie und dem Sch"adigungszustand der Kaskadenumgebung ab.
+ Ein hoher Sch"adigungsgrad einer Kaskadenumgebung erschwert die epitaktische Rekristallisation.
+
+
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