\chapter{Grundlagen}
+\label{chapter:grundlagen}
\section{Monte-Carlo-Simulation}
- Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithemn basieren.
+ Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithmen basieren.
Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
\subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
- Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3,$ \ldots aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
+ Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3, \ldots$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
Dabei gilt folgende Vorschrift:
\begin{equation} \label{eq:kon_m}
I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
\end{equation}
\[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
- Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
+ Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m$ und $I_0$ ab.
Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
\begin{equation} \label{eq:kon_v}
Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
\begin{equation}
z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
+ \label{eq:gleichverteilte_r}
\end{equation}
\subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
+ \label{subsubsection:lin_g_p}
Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
\begin{equation}
berechnet werden.
\subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
+ \label{subsubsection:verwerf_meth}
Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
\end{equation}
+ Nun muss noch ein geeignetes interatomares Potential $V(r)$ zur Beschreibung der Wechselwirkung der Ionen mit dem Festk"orper gefunden werden.
F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
\[
V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
\subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
- Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefnabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
+ Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden.
-
+ Das Programm folgt den Bahnen einer grossen Anzahl von Teilchen die in das Target implantiert werden.
+ Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
+ Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen auf Grund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
+ Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
+ Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
+ Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Taregt verlassen hat.
+ Das Target wird als amorph angenommen weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
+ Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
+ Das Teilchen verliert einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se und kontinuierlich auf Grund der elektronischen Bremskraft.
+
+ Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
+ Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Energie"ubertrag $T$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
+
+ Der Azimutwinkel $\Phi$ ist statistisch isotrop verteilt.
+ \begin{equation}
+ \Phi = 2 \pi R_3
+ \end{equation}
\subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
Dieser ist prportional zu den erzeugten Leerstellen und komplexeren Defekten im Target \cite{stein_vook_borders}.
Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
- \[
+ \begin{equation}
N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
- \]
+ \end{equation}
abgesch"atzt werden.
Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren.
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