Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
- Nach Park und Miller \cite{park_miller} erf"ullt man mit
+ Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
\begin{equation} \label{eq:kon_v}
a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
\end{equation}
Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
+ Die Abbremsung der Ionen durch St"o"se mit den Atomkernen bezeichnet man als nukleare Bremskraft, die mit den Elektronen als elektronische Bremskraft.
\subsubsection{Bremsquerschnitt}
Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
+ Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelatische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
+ Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
\end{figure}
Mit Hilfe der Transformation ins Schwerpunktsystem kann gezeigt werden, dass die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden kann, wenn nur Kr"afte zwischen den beiden Teilchen wirken.
-
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
\label{img:scatter_cm}
\end{center}
\end{figure}
-
Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
\begin{equation}
M_1 v_0 = ( M_1 + M_2 ) v_c \quad \textrm{,}
also
\begin{equation}
M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
+ \label{eq:m_red}
\end{equation}
erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
\begin{equation}
Durch eine einfache geometrische "Uberlegung und der Bedingung, dass der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist, erh"alt man folgenden Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunkt- und Laborsystem (Abbildung \ref{img:angle_conv}):
\begin{equation}
\Phi = 2 \phi \quad \textrm{.}
+ \label{eq:angle_conv}
\end{equation}
-
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
\label{img:angle_conv}
\end{center}
\end{figure}
-
F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
\begin{equation}
T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
\end{equation}
Mit $v_2 = 2 v_c cos(\phi)$ und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
\begin{equation}
- T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2
+ T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
+ \label{eq:delta_e}
+ \end{equation}
+ Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
+ Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist und mit \eqref{eq:angle_conv} und einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
+ \begin{equation}
+ T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
+ \label{eq:final_delta_e}
+ \end{equation}
+ Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
+ \begin{equation}
+ T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:delta_e_max}
+ \end{equation}
+
+ Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
+ Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
+ Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
+ Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
+ Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
+ \begin{equation}
+ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+ Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung
+ \begin{equation}
+ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
+ \label{eq:ang_mom_exp}
+ \end{equation}
+ F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
+ \begin{equation}
+ l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
+ \label{eq:ang_mom_val}
+ \end{equation}
+ L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
+ \begin{equation}
+ E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
\end{equation}
+ nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
+ \begin{equation}
+ \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
+ \end{equation}
+ und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
+ \begin{equation}
+ dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
+ \end{equation}
+ kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
+ \begin{equation}
+ \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
+ \end{equation}
+ Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
+ \begin{equation}
+ \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:theta_of_p}
+ \end{equation}
+ Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
+ Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden.
+ F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
+ \[
+ V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
+ \]
+ Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
+ Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anfitten von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
\subsubsection{Elektronische Bremskraft}
+ Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
+ Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.
+ Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
+ Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
+ Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
+ F"ur hohe, nicht-relativistische Energien m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlusts herangezogen werden.
+ Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.
+
+ F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
+ Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also proportional zur Wurzel aus der Energie des Ions.
+ \begin{equation}
+ S_e(E) = k_L \sqrt{E}
+ \end{equation}
+ Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beachtet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und der Targetatome.
+ Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, beachtet werden.
+ In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird eine Theorie vorgestellt die auch die Oszillationen erkl"art.
+ Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte fuer jedes Element zur"uckgef"uhrt.
+ Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.
+
\subsection{Implantationsprofil}
+
+
+ \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
+
\subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
projects / lectures / latex.git / blobdiff