Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
- Nach Park und Miller \cite{park_miller} erf"ullt man mit
+ Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
\begin{equation} \label{eq:kon_v}
a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
\end{equation}
\end{figure}
Mit Hilfe der Transformation ins Schwerpunktsystem kann gezeigt werden, dass die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden kann, wenn nur Kr"afte zwischen den beiden Teilchen wirken.
-
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
\label{img:scatter_cm}
\end{center}
\end{figure}
-
Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
\begin{equation}
M_1 v_0 = ( M_1 + M_2 ) v_c \quad \textrm{,}
also
\begin{equation}
M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
+ \label{eq:m_red}
\end{equation}
erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
\begin{equation}
Durch eine einfache geometrische "Uberlegung und der Bedingung, dass der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist, erh"alt man folgenden Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunkt- und Laborsystem (Abbildung \ref{img:angle_conv}):
\begin{equation}
\Phi = 2 \phi \quad \textrm{.}
+ \label{eq:angle_conv}
\end{equation}
-
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
\label{img:angle_conv}
\end{center}
\end{figure}
-
F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
\begin{equation}
T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
\end{equation}
Mit $v_2 = 2 v_c cos(\phi)$ und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
\begin{equation}
- T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2
+ T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
+ \label{eq:delta_e}
+ \end{equation}
+ Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
+ Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist und mit \eqref{eq:angle_conv} und einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
+ \begin{equation}
+ T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
+ \label{eq:final_delta_e}
+ \end{equation}
+ Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
+ \begin{equation}
+ T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:delta_e_max}
+ \end{equation}
+
+ Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
+ Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
+ Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
+ Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
+ Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
+ \begin{equation}
+ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+ Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung
+ \begin{equation}
+ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
+ \label{eq:ang_mom_exp}
+ \end{equation}
+ F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
+ \begin{equation}
+ l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
+ \label{eq:ang_mom_val}
+ \end{equation}
+ L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
+ \begin{equation}
+ E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
+ \end{equation}
+ nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
+ \begin{equation}
+ \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
+ \end{equation}
+ und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
+ \begin{equation}
+ dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
+ \end{equation}
+ kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
+ \begin{equation}
+ \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
+ \end{equation}
+ Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
+ \begin{equation}
+ \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:theta_of_p}
\end{equation}
+ Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
+ Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden.
+ F"ur das interatomare Potential $V(r)$ \ldots
\subsubsection{Elektronische Bremskraft}
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