\subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
- Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[ linear ansteigen
+ Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
\begin{equation}
- p(z) = az + b
+ p(z) = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ az + b & 0 \leq z < Z \\
+ 0 & \textrm{sonst}
+ \end{array} \right.
\end{equation}
realisiert man durch folgende Transformation:
+ \begin{eqnarray}
+ p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
+ \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
+ x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
+ \end{eqnarray}
+ Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
\begin{equation}
- p(z)dz = p(x)dx \\
- \frac{dx}{dz} = p(z) \\
- x = \infty_0^z p(z')dz' = \infty_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz
+ z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
\end{equation}
- Durch Aufl"osen nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung
-
+ So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
+ Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
+ \begin{equation}
+ z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
+ \end{equation}
+ berechnet werden.
\subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
+ Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
+ Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
+ Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
+ Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
+ Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
+ \begin{enumerate}
+ \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
+ \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
+ \end{enumerate}
+ \begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
+ \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
+ \label{img:rej_meth}
+ \end{center}
+ \end{figure}
+ Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
+ Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
+ Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
+ Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
+ Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
+
\section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
\subsection{Abbremsung von Ionen}
- Die Abbremsung der Ionen im Festk"orper kommt haupts"achlich durch inelastische Wechselwirkung mit den Targetelektronen und elastischer Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets zustande.
- Diese sind unabh"angig voneinander.
- Die elastische Streuung an freien Elektronen sowie die inelastische Streuung an den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
- Ebenfalls vernachl"assigt werden Brems- und Cerenkovstrahlung.
+ Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
+ Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
+ Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
\subsubsection{Bremsquerschnitt}
\subsubsection{Nukleare Bremskraft}
- Die Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets kann durch einen elastischen Sto"sprozess beschrieben werden.
+ Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
+ Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
+ Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
+
+ Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
+ Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
+ Aus der Energieerhaltung folgt:
+ \begin{equation}
+ \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
+ \end{equation}
+ Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
+ Aus der Impulserhaltung folgt,
+ \begin{eqnarray}
+ \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
+ \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
+ \end{eqnarray}
+ wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
+ \begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
+ \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
+ \label{img:scatter_lc}
+ \end{center}
+ \end{figure}
+
+ Mit Hilfe der Transformation ins Schwerpunktsystem kann gezeigt werden, dass die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden kann, wenn nur Kr"afte zwischen den beiden Teilchen wirken.
+ \begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
+ \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem}
+ \label{img:scatter_cm}
+ \end{center}
+ \end{figure}
+ Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
+ \begin{equation}
+ M_1 v_0 = ( M_1 + M_2 ) v_c \quad \textrm{,}
+ \label{eq:imp_cons_cm}
+ \end{equation}
+ wobei $v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist, so dass der Gesamtimpuls des Systems Null ist.
+ Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
+ \begin{equation}
+ \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
+ \end{equation}
+ also
+ \begin{equation}
+ M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
+ \label{eq:m_red}
+ \end{equation}
+ erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
+ \begin{equation}
+ v_c = \frac{v_0 M_c}{M_2} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:v_sp}
+ \end{equation}
+ Weiterhin erkennt man, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen und unabh"angig vom Streuwinkel sind:
+ \begin{equation}
+ \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:inv_prop}
+ \end{equation}
+ Durch eine einfache geometrische "Uberlegung und der Bedingung, dass der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist, erh"alt man folgenden Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunkt- und Laborsystem (Abbildung \ref{img:angle_conv}):
+ \begin{equation}
+ \Phi = 2 \phi \quad \textrm{.}
+ \label{eq:angle_conv}
+ \end{equation}
+ \begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
+ \caption{Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
+ \label{img:angle_conv}
+ \end{center}
+ \end{figure}
+ F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
+ \begin{equation}
+ T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+ Mit $v_2 = 2 v_c cos(\phi)$ und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
+ \begin{equation}
+ T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
+ \label{eq:delta_e}
+ \end{equation}
+ Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
+ Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist und mit \eqref{eq:angle_conv} und einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
+ \begin{equation}
+ T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
+ \label{eq:final_delta_e}
+ \end{equation}
+ Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
+ \begin{equation}
+ T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:delta_e_max}
+ \end{equation}
+
+ Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt. Mit der Wahrscheinlichkeit fuer den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
+ Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
+ Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
+ Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
+ \begin{equation}
+ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
+ \end{equation}
\subsubsection{Elektronische Bremskraft}
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