\chapter{Grundlagen}
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+ \section{Monte-Carlo-Simulation}
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+ Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithemn basieren.
+ Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
+ Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
+ Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
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+ \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
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+ Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3,$ \ldots aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
+ Dabei gilt folgende Vorschrift:
+ \begin{equation} \label{eq:kon_m}
+ I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
+ \end{equation}
+ \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
+ Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
+ Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
+ Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
+ Nach Park und Miller \cite{park_miller} erf"ullt man mit
+ \begin{equation} \label{eq:kon_v}
+ a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
+ \end{equation}
+ einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht.
+ Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.
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+ \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
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+ Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
+ Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
+ \begin{equation}
+ p(x)dx = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ dx & 0 \leq x < 1 \\
+ 0 & \textrm{sonst}
+ \end{array} \right.
+ \end{equation}
+ gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
+ \begin{equation}
+ \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
+ \end{equation}
+ Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
+ Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
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+ \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
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+ Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
+ \begin{equation}
+ z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
+ \end{equation}
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+ \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
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+ Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
+ \begin{equation}
+ p(z) = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ az + b & 0 \leq z < Z \\
+ 0 & \textrm{sonst}
+ \end{array} \right.
+ \end{equation}
+ realisiert man durch folgende Transformation:
+ \begin{eqnarray}
+ p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
+ \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
+ x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
+ \end{eqnarray}
+ Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
+ \begin{equation}
+ z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+ So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
+ Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
+ \begin{equation}
+ z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
+ \end{equation}
+ berechnet werden.
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+ \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
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+ Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
+ Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung.
+ Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
+ Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
+ Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
+ \begin{enumerate}
+ \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
+ \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
+ \end{enumerate}
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
+ \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
+ \label{img:rej_meth}
+ \end{figure}
+ Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
+ Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
+ Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
+ Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
+ Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
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+ \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
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+ Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
+ Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein.
+ Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
+ Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
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+ \subsection{Abbremsung von Ionen}
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+ Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
+ Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
+ Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
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+ \subsubsection{Bremsquerschnitt}
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+ Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt.
+ \begin{equation}
+ S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
+ \end{equation}
+ Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt, wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
+ $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
+ Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
+ \begin{equation}
+ - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+ Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
+ Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
+ \begin{equation}
+ R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+ Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
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+ \subsubsection{Nukleare Bremskraft}
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+ Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
+ Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
+ Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
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+ Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
+ Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion.
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+ Aus der Energieerhaltung folgt:
+ \begin{equation}
+ \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
+ \end{equation}
+ Dabei ist $v_0$ die anfaengliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
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+ Aus der Impulserhaltung folgt,
+ \begin{eqnarray}
+ \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
+ \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
+ \end{eqnarray}
+ wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
+ \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
+ \label{img:scatter_lc}
+ \end{figure}
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+ \subsubsection{Elektronische Bremskraft}
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+ \subsection{Implantationsprofil}
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+ \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
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