\subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
+ Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
+ Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung.
+ Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
+ Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
+ Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
+ \begin{enumerate}
+ \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
+ \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
+ \end{enumerate}
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
+ \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
+ \label{img:rej_meth}
+ \end{figure}
+ Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
+ Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
+ Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
+ Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
+ Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
+
\section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
\subsection{Abbremsung von Ionen}
- Die Abbremsung der Ionen im Festk"orper kommt haupts"achlich durch inelastische Wechselwirkung mit den Targetelektronen und elastischer Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets zustande.
- Diese sind unabh"angig voneinander.
- Die elastische Streuung an freien Elektronen sowie die inelastische Streuung an den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
- Ebenfalls vernachl"assigt werden Brems- und Cerenkovstrahlung.
+ Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
+ Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
+ Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
\subsubsection{Bremsquerschnitt}
\subsubsection{Nukleare Bremskraft}
- Die Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets kann durch einen elastischen Sto"sprozess beschrieben werden.
+ Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
+ Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
+ Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
+
+ Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
+ Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion.
+ Aus der Energieerhaltung folgt:
+ \begin{equation}
+ \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
+ \end{equation}
+ Dabei ist $v_0$ die anfaengliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
+
+ Aus der Impulserhaltung folgt,
+ \begin{eqnarray}
+ \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
+ \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
+ \end{eqnarray}
+ wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
+ \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
+ \label{img:scatter_lc}
+ \end{figure}
\subsubsection{Elektronische Bremskraft}
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