\chapter{Simulation}
+\label{chapter:simulation}
+
+Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
+Die Simulation tr"agt den Namen \linebreak[4] {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations-{\bf P}rozess steht.
+Ziel der Simulation ist die Validierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
+
+Es wurden zwei Versionen der Simulation erstellt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
+Die erste Version beschreibt den Bereich von der Oberfl"ache des Targets bis zum Beginn der durchgehenden amorphen $SiC_x$-Schicht, also den Tiefenbereich von $0$ bis $300 nm$.
+Nachdem eine Beschreibung der Bildung lamellarer amorpher Ausscheidungen mit dieser Version sehr gut funktioniert hat, wurde eine zweite Version entwickelt, die den gesamten Implantationsbereich betrachtet.
+Auf weitere Unterschiede in den zwei Versionen wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
+
+Die Simulation kann grob in drei Abschnitte unterteilt werden.
+Im ersten Schritt werden die Kollisionen eines Ions im Target und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation eines Gebietes simuliert.
+Nachdem das Ion seine Energie durch St"o"se im Target abgegeben hat kommt es zur Ruhe.
+Der Einbau des Kohlenstoffs im Target wird im zweiten Schritt ausgef"uhrt.
+Als letztes wird die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete und der Sputtervorgang realisiert.
+
+Im Folgenden werden der Simulationsalgorithmus und die dazu ben"otigten Annahmen besprochen.
+Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
+Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen.
\section{Annahmen der Simulation}
+ \subsection{Unterteilung des Targets}
+ \label{subsection:unterteilung}
+
+ Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
+ \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration}
+ \label{img:sim_gitter}
+ \end{figure}
+ Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung ist frei einstellbar.
+ Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
+ Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
+ Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
+
+ Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
+ Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation aus Gr"unden der Rechenzeit m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
+
+ In Version 1 der Simulation wurden $x = y = 50$ beziehungsweise $x = y = 64$ und $z = 100$ gesetzt.
+ In Version 2 sind $x = y = 64$ und $z = 233$.
+
\subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
+ \label{subsection:a_and_r}
+
+ Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei statistisch unabh"angige zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
+ Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens am Ort $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die ballistische, kohlenstoffinduzierte und spannungsinduzierte Amorphisierung zusammen.
+ Sie wird wie folgt berechnet:
+ \begin{equation}
+ p_{c \rightarrow a}(\vec r) = p_{b} + p_{c} c_C (\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_C (\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}
+ \label{eq:p_ca_local}
+ \end{equation}
+
+ Der Beitrag der ballistischen Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
+ Die Wahrscheinlichkeit f"ur die ballistische Amorphisierung in einem Sto"s ist unabh"angig vom Ort und somit eine Konstante.
+ Sie hat die Einheit $1$.
+ Die h"ohere Wahrscheinlichkeit, im Maximum der nuklearen Bremskraft zu amorphisieren, kommt durch die h"ohere Anzahl an St"o"sen in diesem Tiefenbereich zustande.
+ Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
+
+ Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_C$ angenommen.
+ $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
+
+ Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese unrelaxierte Spannungen aus"uben.
+ Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens bei $\vec{r'}$ auf das Volumen am Ort $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
+ Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in einem amorphen Volumen vorhanden ist, desto gr"o"ser ist die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
+ Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
+ $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
+
+ Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
+ \begin{equation}
+ p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
+ \label{eq:p_ac_local}
+ \end{equation}
+ angenommen.
+ Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
+ Da es sich bei den betrachteten Temperaturen allein um ionenstrahlinduzierte, epitaktische Rekristallisation handelt \cite{unklar} und einschr"ankend hier nur der Temperaturbereich bis $250 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ behandelt wird, in dem keine merkliche ionenstrahlinduzierte Nukleation innerhalb amorpher Bereiche auftritt \cite{unklar}, sollte f"ur die Rekristallisation die Strukturinformation einer kristallinen Nachbarschaft notwendig sein.
+ Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachbar vorhanden ist.
+ Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Grenzfl"achen, von denen die Rekristallisationsfront ausgehen kann.
+ Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
+ \begin{equation}
+ p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
+ \label{eq:p_ac_genau}
+ \end{equation}
+ mit
+ \begin{equation}
+ \delta (\vec r) = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
+ 0 & \textrm{sonst} \\
+ \end{array}
+ \right.
+ \label{eq:dedltafunc}
+ \end{equation}
+ Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind bisher experimentell nicht zug"anglich und werden daher als frei w"ahlbare Simulationsparameter angenommen.
+ Es stellt sich also die Frage, ob ein Satz von Parametern existiert, der es erlaubt, experimentell gefundene Verteilungen, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} gezeigt werden, durch die Simulation zu erhalten.
+ Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
+
\subsection{Diffusion}
+ Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
+ In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
+ Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
+ Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphen in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
+ Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
+ Aus Gr"unden der Rechenzeit sollte die Diffusionsroutine nicht nach jedem implantierten Ion ausgef"uhrt werden.
+ Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
+ Von einer m"oglichen Kohlenstoff"ubers"attigung im Amorphen wird nicht ausgegangen, da der Kohlenstoff in $a-Si$ gut l"oslich ist.
+ Da die L"oslichkeit von Kohlenstoff in $c-Si$ nahezu Null ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren.
+
\subsection{Sputtern}
- \section{Auswertung von TRIM Ergebnissen}
+ Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
+ Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit der Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in Einheiten einer Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
+ Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
+
+ \section{Statistik von Sto"sprozessen}
+
+ F"ur die Simulation ben"otigt man die Statistik der Sto"sprozesse des Kohlenstoffs im Silizium-Target unter den gegebenen Implantationsbedingungen.
+ Dabei sind insbesondere die nukleare Bremskraft f"ur den Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationsschritt und das Implantationsprofil f"ur den Einbau des Kohlenstoffs ins Silizium-Target von Interesse.
+ {\em NLSOP} benutzt die Ergebnisse des {\em TRIM}-Programms, welches die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simuliert und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellt.
+ Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
+ Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige Statistiken eingegangen.
\subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps}
+ \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
+ \label{img:bk_impl_p}
+ \end{figure}
+ Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
+ Die gestrichelte Linie markiert das Ionenprofilmaximum.
+ Sputtereffekte und Abweichungen auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden von {\em TRIM} allerdings nicht ber"ucksichtigt.
+
+ Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
+ Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
+
\subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
+ \label{subsection:parse_trim_coll}
- \section{Simulierte Tiefenbereiche}
+ Weiterhin bietet {\em TRIM} die M"oglichkeit eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} anzulegen, in der s"amtliche Sto"skaskaden protokolliert sind.
+ Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
+ Mit dem Programm {\em parse_trim_collision} (siehe Anhang \ref{section:hilfsmittel}) kann diese Datei ausgewertet werden.
+ Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
+ F"ur diese Statistik wurden die Sto"skaskaden von $8300$ implantierten Ionen verwendet.
+
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
+ \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)}
+ \label{img:trim_coll}
+ \end{figure}
+ Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die nukleare Energieabgabe und die Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit von der Tiefe.
+ Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
+ Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
+ Die durchschnittliche Energieabgabe pro Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
+ Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
+ Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
+
+ Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
+ Sie ist proportional zur Anzahl der Kollisionen in dieser Tiefe.
+
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps}
+ \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
+ \label{img:trim_nel}
+ \end{figure}
+ Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
+ Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
+ Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
+
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=12cm]{trim_impl.eps}
+ \caption{Durch {\em TRIM} berechnetes Implantationsprofil f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
+ \label{img:trim_impl}
+ \end{figure}
+ In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von {\em TRIM} berechnete Implantationsprofil abgebildet.
+ Es wurde aus der selben Rechnung wie das nukleare Bremskraftprofil gewonnen.
+ Das Implantationsmaximum liegt bei ungef"ahr $530 nm$.
+ Dieses Profil wird ebenfalls f"ur {\em NLSOP} verwendet.
+
+ Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen, bis alle Teilchen bis auf Energien unterhalb der Verlagerungsenergie f"ur $Si$-Atome von $15 eV$ \cite{unknown} abgesunken sind.
+ Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
+ Das Auswertungsprogramm {\em parse_trim_collision} z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantiertem Ion.
+ Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
+ Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl.
+ Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
+ Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
+ Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
\section{Simulationsalgorithmus}
+ Die Simulation kann in die drei Abschnitte Amorphisierung/Rekristallisation, Fremdatomeinbau und Diffusion/Sputtern gegliedert werden.
+ Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
+
+ Wenn, wie in Version 2 der Simulation, pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
+ Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
+ Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
+ \begin{equation}
+ D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
+ \label{eq:dose_steps}
+ \end{equation}
+
+ Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
+
\subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
+ \label{subsection:a_r_step}
+
+ \begin{figure}[h]
+ \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
+
+ \rput(6,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
+
+ \rput(6,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
+ Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
+ $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
+ $R_4 \in [0,1[$
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{start}{random1}
+
+ \rput(6,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
+ Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
+
+ \rput(6,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{
+ Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$:
+ \[
+ \begin{array}{lll}
+ p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\
+ p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big)
+ \end{array}
+ \]
+ \[
+ \delta (\vec r) = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
+ 0 & \textrm{sonst} \\
+ \end{array}
+ \right.
+ \]
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca}
+
+ \rput(6,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
+ \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
+
+ \rput(3,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
+ \rput(9,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
+ \ncline[]{->}{status}{cryst}
+ \lput*{0}{nein}
+
+ \ncline[]{->}{status}{amorph}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \rput(3,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}}
+ \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \rput(9,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}}
+ \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \rput(6,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}}
+
+ \rput(6,6){\pnode{h_2}}
+ \ncline[]{amorph}{h_2}
+ \ncline[]{->}{h_2}{check_h}
+ \lput*{0}{nein}
+
+ \rput(6,6){\pnode{h_3}}
+ \ncline[]{cryst}{h_3}
+ \ncline[]{->}{h_3}{check_h}
+ \lput*{0}{nein}
+
+ \rput(13,3){\pnode{h_4}}
+ \rput(13,16){\pnode{h_5}}
+ \ncline[]{check_h}{h_4}
+ \ncline[]{h_4}{h_5}
+ \lput*{0}{nein}
+ \ncline[]{->}{h_5}{random1}
+
+ \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h}
+ \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h}
+
+ \rput(6,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
+ \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \end{pspicture}
+ \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
+ \label{img:flowchart1}
+ \end{figure}
+
+ Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
+ Das zugeh"orige Ablaufschema ist in Abbildung \ref{img:flowchart1} gezeigt.
+ Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden.
+ Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
+ Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
+ Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
+ Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
+ Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang bestimmt.
+ Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
+ Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
+ Es gibt folgende M"oglichkeiten:
+ \begin{enumerate}
+ \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
+ Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph.
+ Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
+ \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
+ Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin.
+ Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
+ \end{enumerate}
+
+ Der gesamte Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
\subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
+ \begin{figure}[h]
+ \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
+
+ \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
+
+ \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{
+ Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
+ $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
+
+ \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
+ Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
+ }}}}
+ \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i}
+
+ \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
+ Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
+
+ \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
+ \ncline[]{->}{inc_c}{is_d}
+
+ \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
+ \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
+ \lput*{0}{nein}
+
+ \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
+ \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
+ \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
+
+ \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
+ Gehe alle/verbleibende\\
+ direkte Nachbarn durch
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
+ \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
+
+ \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
+ "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
+ \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
+ \rput(8.5,5){\pnode{h1}}
+ \ncline[]{is_cryst}{h1}
+ \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}}
+ \ncline[]{->}{h1}{h2}
+ \lput*{0}{nein}
+ \rput(13,3){\pnode{h3}}
+ \ncline[]{check_dn}{h3}
+ \rput(13,7){\pnode{h4}}
+ \ncline[]{h3}{h4}
+ \lput*{0}{nein}
+ \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
+
+ \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
+ \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
+ \lput*{0}{ja}
+ \rput(13.5,1){\pnode{h5}}
+ \ncline[]{check_d}{h5}
+ \rput(13.5,10){\pnode{h6}}
+ \ncline[]{h5}{h6}
+ \lput*{0}{nein}
+ \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
+ \rput(6,1){\pnode{h7}}
+ \ncline[]{check_d}{h7}
+ \lput*{0}{ja}
+ \rput(6,11){\pnode{h8}}
+ \ncline[]{h7}{h8}
+ \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}}
+ \ncline[]{->}{h8}{h9}
+
+ \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
+ Sputterroutine:\\
+ \begin{itemize}
+ \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
+ Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
+ \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
+ \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
+ \end{itemize}
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
+ \lput*{0}{ja}
+ \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
+
+ \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
+ Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
+
+ \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
+ \ncline[]{->}{check_n}{start}
+ \lput*{0}{nein}
+ \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
+ \ncline[]{->}{check_n}{stop}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \end{pspicture}
+ \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
+ \label{img:flowchart2}
+ \end{figure}
+
+ Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
+ Die Wahl des Volumens, in das das Ion eingebaut wird, ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
+ Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
+ Zur Erzeugung der entsprechenden Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
+
+ In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
+
\subsection{Diffusion und Sputtern}
- \section{Ablaufschema}
+ \begin{figure}[h]
+ \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
+
+ \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
+
+ \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{
+ Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
+ $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
+
+ \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
+ Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
+ }}}}
+ \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i}
+
+ \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
+ Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
+
+ \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
+ \ncline[]{->}{inc_c}{is_d}
+
+ \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
+ \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
+ \lput*{0}{nein}
+
+ \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
+ \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
+ \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
+
+ \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
+ Gehe alle/verbleibende\\
+ direkte Nachbarn durch
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
+ \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
+
+ \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
+ "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
+ \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
+ \rput(8.5,5){\pnode{h1}}
+ \ncline[]{is_cryst}{h1}
+ \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}}
+ \ncline[]{->}{h1}{h2}
+ \lput*{0}{nein}
+ \rput(13,3){\pnode{h3}}
+ \ncline[]{check_dn}{h3}
+ \rput(13,7){\pnode{h4}}
+ \ncline[]{h3}{h4}
+ \lput*{0}{nein}
+ \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
+
+ \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
+ \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
+ \lput*{0}{ja}
+ \rput(13.5,1){\pnode{h5}}
+ \ncline[]{check_d}{h5}
+ \rput(13.5,10){\pnode{h6}}
+ \ncline[]{h5}{h6}
+ \lput*{0}{nein}
+ \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
+ \rput(6,1){\pnode{h7}}
+ \ncline[]{check_d}{h7}
+ \lput*{0}{ja}
+ \rput(6,11){\pnode{h8}}
+ \ncline[]{h7}{h8}
+ \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}}
+ \ncline[]{->}{h8}{h9}
+
+ \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
+ Sputterroutine:\\
+ \begin{itemize}
+ \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
+ Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
+ \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
+ \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
+ \end{itemize}
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
+ \lput*{0}{ja}
+ \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
+
+ \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
+ Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
+ }}}}
+ \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
+
+ \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
+ \ncline[]{->}{check_n}{start}
+ \lput*{0}{nein}
+ \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
+ \ncline[]{->}{check_n}{stop}
+ \lput*{0}{ja}
+
+ \end{pspicture}
+ \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
+ \label{img:flowchart3}
+ \end{figure}
+
+ Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen.
+ Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
+ Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumina ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
+ Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
+ Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
+
+ Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von einer Ebene von Zellen ($3 nm$) entspricht, ausgef"uhrt und bewirkt, dass diese oberste Ebene entfernt wird.
+ Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
+ \begin{equation}
+ S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+ Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
+ Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
+ Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
+ Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
+ Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
+
+ Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
+
+ Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} bestimmt werden.
+ Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen.
+
+ \section{Simulierte Tiefenbereiche}
+ \label{section:sim_tiefenbereich}
+
+ Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden.
+
+ Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zum Beginn der durchgehenden Schicht.
+ Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$, und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
+
+ Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
+ Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet.
+
+ Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefen-Koordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
+ Dabei sind $s$ und $s_0$ Simulationsparameter, die die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreiben.
+ Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
+ Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefen-Koordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
+ Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet.
+ Ausserdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
+ Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters stehen bleiben.
+ Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Implantationskurve $I(x)$ bis $300 nm$ zur Fl"ache der gesamten Implantationskurve ist.
+ \begin{equation}
+ n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} I(x) dx}{\int_0^{\infty} I(x) dx}
+ \end{equation}
+
+ Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden.
+ Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt "moglich.
+
+ Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
+ Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen grossen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
+ Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert werden darf, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
+ Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
+ Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in weiteren Simulationen ausgeschlossen wurde.
+ Als Relikt bleibt die Option die Diffusion in $z$-Richtung auszuschalten.
+
+ In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
+ Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$.
+ Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
+
+ Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
+
+ Da sowohl der nukleare Energieverlust und die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
+ Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
+
+ \section{Test der Zufallszahlen}
+
+ F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
+ Es gibt viele statistische Tests eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen.
+
+ Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren.
+ Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
+
+ Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
+ Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz.
+
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=12cm]{random.eps}
+ \caption{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.}
+ \label{img:random_distrib}
+ \end{figure}
+ Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
+
+ Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}.
+ Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen.
+
+ Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben.
+ Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
+ Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
+
+ Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
+
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