\chapter{Simulation}
\label{chapter:simulation}
-Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
-Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations{\bf P}rozess steht.
+Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangenen Modell diskutiert werden.
+Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf o}rganisations{\bf p}rozess steht.
Die Simulation ist in der Programmiersprache {\em C} \cite{kerningham_ritchie} geschrieben.
-Der Simulationscode wurde auf Computern der {\em IA32}-Rechnerarchitektur mit dem {\em GNU C Compiler} auf einem Linux Bestriebssystem "ubersetzt und betrieben.
+Der Simulationscode wurde auf Computern der {\em IA32}-Prozessorarchitektur mit dem {\em GNU C Compiler} auf einem Linux Bestriebssystem "ubersetzt und betrieben.
Ziel der Simulation ist die Validierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
Es wurden zwei Versionen der Simulation erstellt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
Als letztes wird die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete und der Sputtervorgang realisiert.
Im Folgenden werden der Simulationsalgorithmus und die dazu ben"otigten Annahmen besprochen.
-Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
+Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen, Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen.
\section{Annahmen der Simulation}
Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 \, nm$ zerlegt.
\printimg{h}{width=12cm}{gitter_oZ.eps}{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 \, nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration.}{img:sim_gitter}
Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung ist frei einstellbar.
- Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
+ Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, adressiert werden.
Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
In Version 1 der Simulation wurden $x = y = 50$ beziehungsweise $x = y = 64$ und $z = 100$ gesetzt.
In Version 2 sind $x = y = 64$ und $z = 233$.
- Zum besseren Vergleich der Simulationsergebnisse mit den experimentell erhaltenen TEM-Aufnahmen k"onnen Querschnitte der amoprh/kristallinen Struktur als Bitmap ausgegeben werden.
- Kristalline W"urfel sind schwarz und amorphe "Wurfel wei"s dargestellt.
+ Zum besseren Vergleich der Simulationsergebnisse mit den experimentell erhaltenen TEM-Aufnahmen k"onnen Querschnitte (Cross-Sections) der amorph/kristallinen Struktur als Bitmap ausgegeben werden.
+ Kristalline W"urfel sind schwarz und amorphe W"urfel wei"s dargestellt.
F"ur die $x-z$- beziehungsweise $y-z$-Querschnitte besteht die M"oglichkeit "uber mehrere Querschnitte zu mitteln.
Die selbe Mittelung "uber den amorph/kristallinen Zustand ist bei den TEM-Aufnahmen, der auf eine Dicke von $100$ bis $300 \, nm$ pr"aparierten Proben der Fall.
\label{subsection:a_and_r}
Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei statistisch unabh"angige zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
- Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens am Ort $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die ballistische, kohlenstoffinduzierte und spannungsinduzierte Amorphisierung zusammen.
+ Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens am Ort $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die ballistische, kohlenstoffinduzierte und spannungsunterst"utzte Amorphisierung zusammen.
Sie wird wie folgt berechnet:
\begin{equation}
p_{c \rightarrow a}(\vec r) = p_{b} + p_{c} c_C (\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_C (\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}
Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
- Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphen in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
+ Die Diffusion des Kohlenstoffs von kristallinen in amorphe Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
Aus Gr"unden der Rechenzeit sollte die Diffusionsroutine nicht nach jedem implantierten Ion ausgef"uhrt werden.
Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
F"ur die Simulation ben"otigt man die Statistik der Sto"sprozesse des Kohlenstoffs im Siliziumtarget unter den gegebenen Implantationsbedingungen.
Dabei sind insbesondere die nukleare Bremskraft f"ur den Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationsschritt und das Implantationsprofil f"ur den Einbau des Kohlenstoffs ins Siliziumtarget von Interesse.
- {\em NLSOP} benutzt die Ergebnisse des {\em TRIM}-Programms, welches die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simuliert und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellt.
+ {\em NLSOP} benutzt die Ergebnisse des {\em TRIM}-Programms, welches die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simuliert und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellt.
Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
- Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige Statistiken eingegangen.
+ Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger f"ur {\em NLSOP} wichtiger Statistiken eingegangen.
\subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM 92} ermittelte nukleare Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
Die gestrichelte Linie markiert das Ionenprofilmaximum bei $500 \, nm$.
Sputtereffekte und Abweichungen aufgrund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden von {\em TRIM} allerdings nicht ber"ucksichtigt.
-
Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in separate Dateien geschrieben.
Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
-
+
In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von einer neueren {\em TRIM}-Version ({\em SRIM 2003.26}) berechnete Implantationsprofil abgebildet.
Dieses Profil verwendet {\em NLSOP} zum Einbau des Kohlenstoffs.
Das Implantationsmaximum liegt hier bei ungef"ahr $530 \, nm$.
Auff"allig ist eine Verschiebung des Maximums um $30 \, nm$ zu dem Maximum aus Abbildung \ref{img:bk_impl_p}.
- Dies ist auf eine Ver"anderung in der elektronischen Bremskraft zur"uckzuf"uhren.
+ Dies ist auf einen Unterschied in der Berechnung der elektronischen Bremskraft in den zwei {\em TRIM}-Versionen zur"uckzuf"uhren.
\clearpage
Weiterhin bietet {\em TRIM} die M"oglichkeit eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} anzulegen, in der s"amtliche Sto"skaskaden protokolliert sind.
Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
Mit dem Programm {\em parse\_trim\_collision} (Anhang \ref{section:hilfsmittel}) kann diese Datei ausgewertet werden.
- Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
+ Die daraus gewonnenen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
F"ur diese Statistik wurden die Sto"skaskaden von $8300$ implantierten Ionen verwendet.
\printimg{h}{width=12cm}{trim_coll.eps}{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot).}{img:trim_coll}
Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
Die durchschnittliche Energieabgabe pro Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
- Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
+ Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
Sie ist proportional zur Anzahl der Kollisionen in dieser Tiefe.
\printimg{h}{width=12cm}{trim_nel.eps}{Durch {\em SRIM 2003.26} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 \, keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:trim_nel}
Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em SRIM 2003.26} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
- Daher wird dieses Profil f"ur {\em NLSOP} zur Verteilung der Kollisionen im Taregt verwendet.
+ Daher wird dieses Profil f"ur {\em NLSOP} zur Verteilung der Kollisionen im Target verwendet.
Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen, bis alle Teilchen bis auf Energien unterhalb der Verlagerungsenergie f"ur $Si$ Atome von $15 \, eV$ \cite{ziegler_biersack_littmark} abgesunken sind.
Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
\begin{equation}
- D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
+ D = \frac{N}{XY(3 \, nm)^2} \, \textrm{.}
\label{eq:dose_steps}
\end{equation}
\rput(7,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{8.5cm}{
Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
- $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
- $R_4 \in [0,1[$
+ $r_1$, $r_2$, $r_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
+ $r_4 \in [0,1[$
}}}}
\ncline[]{->}{start}{random1}
\rput(7,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
- Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$
+ Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $r_1$, $r_2$ und $r_3$ auf $k$, $l$ und $m$
}}}}
\ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
\rput(7,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
\ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
- \rput(4,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
- \rput(10,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
+ \rput(4,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$r_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
+ \rput(10,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$r_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
\ncline[]{->}{status}{cryst}
\lput*{0}{nein}
\rput(7,5){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{8.5cm}{
Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
- $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
+ $r_5$, $r_6$, $r_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
}}}}
\ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
\rput(7,3){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
- Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
+ Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $r_5$, $r_6$ und $r_7$ auf $k$, $l$ und $m$
}}}}
\ncline[]{->}{random2}{koord_wahl_i}
Die Wahl des Volumens, in das das Ion eingebaut wird, ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
Zur Erzeugung der entsprechenden Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
-
In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
\subsection{Diffusion und Sputtern}
\rput(11,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
\ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
- \rput(14.9,9){\pnode{h10}}
- \ncline[]{-}{d_is_amorph}{h10}
- \lput*{0}{nein}
\rput(11,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
Gehe alle/verbleibende\\
\rput(5.4,11.9){\pnode{h9}}
\ncline[]{->}{h8}{h9}
+ \rput(8,9){\pnode{h10}}
+ \rput(8,3){\pnode{h11}}
+ \ncline[]{-}{d_is_amorph}{h10}
+ \ncline[]{-}{h10}{h11}
+ \lput*{0}{nein}
+ \ncline[]{->}{h11}{check_d}
+
\rput(3,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
Sputterroutine:\\
\begin{itemize}
Die Sputterroutine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von einer Ebene von Zellen ($3 \, nm$) entspricht, ausgef"uhrt und bewirkt, dass diese oberste Ebene entfernt wird.
Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
\begin{equation}
- S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
+ S = \frac{(3 \, nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
\end{equation}
Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
- Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
+ Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen sind, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
Daher wird das Sputtern nur in Simulationen "uber gro"se Tiefenbereiche ber"ucksichtigt.
Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} beziehungsweise Messungen des Kohlenstoffprofils bestimmt werden.
Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt m"oglich.
In der ersten Version wurde der Einfluss der amorph/kristallinen Struktur direkter Nachbarn auf die Rekristallisation nach \eqref{eq:p_ac_genau} noch nicht beachtet.
Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit ergibt sich hier aus \eqref{eq:p_ac_local}.
- Die Rechenzeit einer Simulation mit $3 \times 10^7$ Durchl"aufen, einem $64 \times 64 \times 100$ gro"sem Target und Diffusion alle $100$ Schritte, betr"agt auf einem $900 Mhz$ {\em Pentium 3} ungef"ahr $3$ Stunden.
+ Die Rechenzeit einer Simulation mit $3 \times 10^7$ Durchl"aufen, einem $64 \times 64 \times 100$ gro"sem Target, einem Treffer pro Durchlauf und Diffusion alle $100$ Schritte, betr"agt auf einem $900 Mhz$ {\em Pentium 3} ungef"ahr $3$ Stunden.
In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
Das Simulationsfenster geht von $0-700 \, nm$.
Die Simulation kann auf zwei verschiedene Arten die ben"otigten Zufallszahlen beziehen.
Die erste M"oglichkeit ist das Lesen der Zufallszahlen aus einer speziellen, vom Betriebssystem bereitgestellten Zeichendatei {\em /dev/urandom}.
- Das Betriebssystem generiert aus dem Rauschen einiger Treiber, zum Beispiel den Treibern f"ur Tastatur, Maus und Festplatte einen Vorrat an Entropie.
- Eine Zufallszahl wird durch Anwendung des {\em SHA}-Algorithmus (kurz f"ur {\bf S}ecure {\bf H}ash {\bf A}lgorithm) auf den Inhalt des Entropievorrates erzeugt.
+ Das Betriebssystem generiert aus dem Rauschen einiger Treiber, zum Beispiel den Treibern f"ur Tastatur, Maus und Festplatte einen sogenannten \dq Vorrat an Entropie\dq{}.
+ Eine Zufallszahl wird durch Anwendung des {\em SHA}-Algorithmus \cite{sha} (kurz f"ur {\bf S}ecure {\bf H}ash {\bf A}lgorithm) auf den Inhalt des Entropievorrates erzeugt.
Eine zweite M"oglichkeit ist die Verwendung des Zufallszahlengenerators der Standardbibliothek der Programmiersprache {\em C}.
- Diese generiert die Zufallszahlensequenz nach der im Abschnitt \ref{subsection:rand_gen} vorgestellten linearen Kongruenzmethode.
+ Dieser generiert die Zufallszahlensequenz nach der im Abschnitt \ref{subsection:rand_gen} vorgestellten linearen Kongruenzmethode.
Das zuletzt genannte Verfahren ist damit unabh"angig vom Betriebssystem.
F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
projects / lectures / latex.git / blobdiff