\item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
\item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
\[
- \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
+ \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
\qquad
\dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
\]\\
Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
}
\begin{itemize}
- \item Methode zum Intgrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
+ \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
\item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
\item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
\end{itemize}
\sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
\ldots
\]
+\begin{minipage}{8.3cm}
\begin{itemize}
\item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
\item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
- (nur abh"angig vom Abstand ${\bf r}_{ij}$)
+ (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
\item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
+ (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
+ \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
+ \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
+ \item nur Paarpotential\\
+ $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
+ $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
\end{itemize}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+ \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
+\end{minipage}
+Cut-Off Radius $r_c$:
+\begin{itemize}
+ \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
+ \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,5)
+\end{picture}
+Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
Wahl/Kontrolle des Ensembles
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Erinnerung:
+\begin{itemize}
+ \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
+ \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
+ \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
+\end{itemize}
+$\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
+\[
+ \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
+\]
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+F"ur andere Ensembles:
+\begin{itemize}
+ \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
+ im gew"unschten Ensemble
+\end{itemize}
+\begin{center}
+{\color{red} oder}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+ \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
+ $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
+ Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
+ Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
kanonisches Ensemble (NVT)
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em temperature scaling}
+\begin{itemize}
+ \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
+ \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
+ \item eigentlich {\em velocity scaling}
+ \item Berendsen Thermostat:
+ \[
+ \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
+ \]
+ \begin{center}
+ $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
+ {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
+ \end{center}
+\end{itemize}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
+ der Temperatur
+ \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
+ \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
+ \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
+ (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
isothermales isobares Ensemble (NpT)
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em pressure scaling}
+\begin{itemize}
+ \item analog zum {\em temperature scaling}
+ \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
+ \item eigentlich {\em volume scaling}
+ \item Berendsen Barostat:
+ \[
+ \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
+ \]
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item modifizierte Bewegungsgleichung
+ (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
+ \[
+ \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
+ =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
+ \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
+ \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
+ \]
+ \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
+ \item Physikalische Interpretation:\\
+ Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
+ mit externen Druck $\alpha$
+ \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
+ ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
+ m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
+\end{itemize}
+{\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
Die Simulationszelle \& Randbedingungen
-}
+}\\
+Simulationszelle:
+\begin{itemize}
+ \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
+ \item meist orthogonale Simulationszelle
+ \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
+ \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
+\end{itemize}
+Randbedingungen:
+\begin{itemize}
+ \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
+ (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
+ \item besser: periodische Randbedingungen
+\end{itemize}
+\begin{center}
+ \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
+\end{center}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Trick: Nachbarlisten \& Zell-Methode
-}
+ Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
+}\\
+Simulation von Oberfl"achen:
+\begin{itemize}
+ \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
+ \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
+ \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
+\end{itemize}
+\includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Thermodynamische Gr"o"sen
-}
+ $SiC$-Ausscheidung in Silizium
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+\begin{minipage}{8cm}
+\includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
+ (schaffrierter Bereich)\\
+ $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
+ \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
+ (blauer Bereich)\\
+ $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
+ \item feste Randatome, Bulk\\
+ (schwarzer Bereich)
+\end{itemize}
+\end{minipage}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- 3-K"orper Potentiale
-}
+ Die Zell-Methode
+}\\
+Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
+\begin{itemize}
+ \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
+ \begin{itemize}
+ \item gehe alle Atome $j$ durch
+ \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
+ \item Zell-Methode:\\
+ \begin{minipage}{6cm}
+ \begin{itemize}
+ \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
+ $M \times M \times M$ Subzellen\\
+ mit L"ange $l=L/M>r_c$
+ \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
+ \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
+ $N/M^3$ Materialkonstante
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
+ \end{minipage}
+ \begin{minipage}{5cm}
+ \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
+ \end{minipage}
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Brenner / Tersoff
+ Thermodynamische Gr"o"sen
}
+\begin{itemize}
+ \item Innere Energie:
+ \[
+ E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{|{\bf p}_i|^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
+ \]
+ \item Temperatur:
+ \[
+ E_{kin}=<K>=\frac{3}{2}Nk_BT
+ \Rightarrow T=\frac{1}{3Nk_B} \sum_i \frac{|{\bf p}_i|^2}{m_i}
+ \]
+ \item Druck
+ \item W"armekapazit"at
+ \item Struktur Werte
+ \item Diffusion
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- EAM
+ Tersoff
}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Albe Reparametrisierung
+ EAM
}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Zusammenfassung
+ Albe Reparametrisierung
}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Ausblick
-}
+ Zusammenfassung / Ausblick
+}\\
+\begin{tabular}{|l|c|lr|}
+\hline
+Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
+\hline
+{\bf Integrator} & & & \\
+Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Potential} & & & \\
+Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
+ & $\bullet\bullet\bullet$ \\
+EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Ensembles} & & & \\
+{\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
+Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
+{\bf Simulationzelle} & & & \\
+periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+$T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
+ & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
+\hline
+\end{tabular}
\end{slide}
\end{document}
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