\def\slideleftmargin{5.1cm}
\def\slidetopmargin{-0.6cm}
+\def\slidetopmargin{-0.6cm}
+
+\newcommand{\ham}{\mathcal{H}}
+\newcommand{\pot}{\mathcal{V}}
+\newcommand{\foo}{\mathcal{U}}
+\newcommand{\vir}{\mathcal{W}}
% topic
\item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
\item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
\[
- \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
+ \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
\qquad
\dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
\]\\
{\large\bf
Wahl/Kontrolle des Ensembles
}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
Erinnerung:
\begin{itemize}
- \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum
+ \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
\item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
\item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
\end{itemize}
\[
\rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
\]
-F"ur ander Ensembles:
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+F"ur andere Ensembles:
\begin{itemize}
- \item Anpassung der Bewegungsgleichungen
- \item Tricks
+ \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
+ im gew"unschten Ensemble
+\end{itemize}
+\begin{center}
+{\color{red} oder}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+ \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
+ $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
+ Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
+ Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
kanonisches Ensemble (NVT)
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em temperature scaling}
+\begin{itemize}
+ \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
+ \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
+ \item eigentlich {\em velocity scaling}
+ \item Berendsen Thermostat:
+ \[
+ \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
+ \]
+ \begin{center}
+ $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
+ {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
+ \end{center}
+\end{itemize}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
+ der Temperatur
+ \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
+ \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
+ \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
+ (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
isothermales isobares Ensemble (NpT)
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em pressure scaling}
+\begin{itemize}
+ \item analog zum {\em temperature scaling}
+ \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
+ \item eigentlich {\em volume scaling}
+ \item Berendsen Barostat:
+ \[
+ \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
+ \]
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item modifizierte Bewegungsgleichung
+ (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
+ \[
+ \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
+ =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
+ \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
+ \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
+ \]
+ \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
+ \item Physikalische Interpretation:\\
+ Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
+ mit externen Druck $\alpha$
+ \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
+ ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
+ m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
+\end{itemize}
+{\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
Die Simulationszelle \& Randbedingungen
-}
+}\\
+Simulationszelle:
+\begin{itemize}
+ \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
+ \item meist orthogonale Simulationszelle
+ \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
+ \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
+\end{itemize}
+Randbedingungen:
+\begin{itemize}
+ \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
+ (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
+ \item besser: periodische Randbedingungen
+\end{itemize}
+\begin{center}
+ \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
+\end{center}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Trick: Nachbarlisten \& Zell-Methode
-}
+ Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
+}\\
+Simulation von Oberfl"achen:
+\begin{itemize}
+ \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
+ \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
+ \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
+\end{itemize}
+\includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Thermodynamische Gr"o"sen
-}
+ $SiC$-Ausscheidung in Silizium
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+\begin{minipage}{8cm}
+\includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
+ (schraffierter Bereich)\\
+ $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
+ \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
+ (blauer Bereich)\\
+ $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
+ \item feste Randatome, Bulk\\
+ (schwarzer Bereich)
+\end{itemize}
+\end{minipage}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- 3-K"orper Potentiale
-}
+ Die Zell-Methode
+}\\
+Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
+\begin{itemize}
+ \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
+ \begin{itemize}
+ \item gehe alle Atome $j$ durch
+ \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
+ \item Zell-Methode:\\
+ \begin{minipage}{6cm}
+ \begin{itemize}
+ \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
+ $M \times M \times M$ Subzellen\\
+ mit L"ange $l=L/M>r_c$
+ \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
+ \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
+ $N/M^3$ Materialkonstante
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
+ \end{minipage}
+ \begin{minipage}{5cm}
+ \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
+ \end{minipage}
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Brenner / Tersoff
+ Thermodynamische Gr"o"sen
}
+\begin{itemize}
+ \item Innere Energie:
+ \[
+ E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
+ \]
+ \item Temperatur/Druck
+ \[
+ <p_k \frac{\partial \ham}{\partial p_k}> = k_BT, \quad
+ <q_k \frac{\partial \ham}{\partial q_k}> = k_BT
+ \]
+ \begin{center}
+ {\em "Aquipartitionstheorem}
+ \end{center}
+ Temperatur:
+ \[
+ <\sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i}> = 3Nk_BT \quad
+ \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} <\sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}>
+ \]
+ Druck:
+ \[
+ <\sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \foo> = 3Nk_BT \quad
+ \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad
+ - \frac{1}{3} <\sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \foo> = -Nk_BT
+ \]
+ \begin{center}
+ mit
+ \end{center}
+ \[
+ - \nabla_{{\bf r}_i} \foo = {\bf f}_i^{tot} = {\bf f}_i^{ext} + {\bf f}_i^{int}
+ \]
+ \begin{center}
+ wobei
+ \end{center}
+ \[
+ \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{ext}=-pV, \quad
+ \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{int}=
+ - \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = \vir
+ \]
+ \begin{center}
+ folgt
+ \end{center}
+ \[
+ pV = Nk_BT + <\vir>
+ \]
+\end{itemize}
\end{slide}
+%\begin{slide}
+%{\large\bf
+% Thermodynamische Gr"o"sen
+%}
+%\begin{itemize}
+% \item W"armekapazit"at
+% \item Struktur Werte
+% \item Diffusion
+%\end{itemize}
+%\end{slide}
+
\begin{slide}
{\large\bf
- EAM
+ Idee des Tersoff Potentials
}
+ \begin{picture}(350,10)
+ \end{picture}
+\begin{itemize}
+ \item Potential f"ur kovalente Bindungen\\
+ ($Si$: $sp^3$-Hybridisierung, 4 "au"sere Elektronen,
+ 4 gerichtete Bindungen, Winkel: $109,47 ^{\circ}$)\\
+ $\Rightarrow$ Bindungsenergie von 3 Atomen $i,j,k$
+ abh"angig von $r_{ij},r_{ik},r_{jk}$ {\color{red} und}
+ $\theta_{ijk},\theta_{ikj},\theta_{kij}$
+ \item {\em\color{blue} bond order} Potential
+ im Gegensatz zu {\em explicit angular}\\
+ \[
+ \pot = \pot_R(r_{ij}) + {\color{blue} b_{ijk}} \pot_A(r_{ij})
+ \]
+ \begin{picture}(350,10)
+ \end{picture}
+ \begin{itemize}
+ \item $b_{ijk}$: umgebungsabh"angiger Term
+ \item $b_{ijk}=const.$ $\Rightarrow$ Paarpotential
+ \item Schw"achung der Paarbindung je mehr Nachbarn vorhanden\\
+ qualitative Motivation: Anzahl der Elektronenpaare pro Bindung
+ \item St"arke der Bindung monoton fallend mit Koordinationszahl\\
+ steiler Abfall $\Rightarrow$ Dimer\\
+ schwacher Abfall $\Rightarrow$ maximale Koordinationszahl
+ (hcp-Struktur)
+ \item Pseudopotentialtheorie:
+ \[
+ b_{ijk} \sim Z^{-\delta}
+ \]
+ \begin{center}
+ {\scriptsize Abell et al. Phys. Rev. B 31 (1985) 6184.}
+ \end{center}
+ \end{itemize}
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Albe Reparametrisierung
-}
+ Form des Tersoff Potentials:
+}\\
+Gesamtenergie:
+\[
+E = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \pot_{ij}, \quad
+\pot_{ij} = f_C(r_{ij}) \left[ f_R(r_{ij}) + b_{ij} f_A(r_{ij}) \right]
+\]
+Repulsiver und attraktiver Beitrag:
+\begin{eqnarray}
+f_R(r_{ij}) &=& A_{ij} \exp(-\lambda_{ij} r_{ij}) \nonumber \\
+f_A(r_{ij}) &=& - B_{ij} \exp(-\mu_{ij} r_{ij}) \nonumber
+\end{eqnarray}
+Cut-Off Funktion:
+\[
+f_C(r_{ij})=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1, & r_{ij} < R_{ij} \\
+ \frac{1}{2} +
+ \frac{1}{2} \cos \Big[ \pi (r_{ij} - R_{ij})/(S_{ij} - R_{ij}) \Big],
+ & R_{ij} < r_{ij} < S_{ij} \\
+ 0, & r_{ij} > S_{ij}
+\end{array} \right.
+\]
+{\em bond order} Term:
+\begin{eqnarray}
+b_{ij} &=& \chi_{ij} (1 + \beta_i^{n_i} \zeta^{n_i}_{ij})^{-1/2n_i}
+\nonumber \\
+\zeta_{ij} &=& \sum_{k \ne i,j} f_C (r_{ik}) \omega_{ik} g(\theta_{ijk})
+\nonumber \\
+g(\theta_{ijk})&=&1+c_i^2/d_i^2 - c_i^2/[d_i^2 + (h_i - \cos \theta_{ijk})^2]
+\nonumber
+\end{eqnarray}
+Anmerkung:
+\begin{itemize}
+ \item einfach indizierte Parameter nur abh"angig vom jeweiligen Atomtyp
+ \item doppelt indizierte: geometrisches Mittel ($A,B,R,S,\omega,\chi$),
+ arithmetisches Mittel ($\lambda,\mu$)
+\end{itemize}
\end{slide}
+%\begin{slide}
+%{\large\bf
+% EAM
+%}
+%
+%\end{slide}
+
\begin{slide}
{\large\bf
- Zusammenfassung
-}
+ Albe Reparametrisierung
+}\\
+\begin{picture}(350,20)
+\end{picture}
+Schw"achen von Tersoff (2,3)
+\begin{itemize}
+ \item Zu geringe Dimer-Bindungsenergie
+ \item T(2): gut f"ur Oberfl"acheneigenschaften
+ \item T(3): gut f"ur Bulkeigenschaften
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,20)
+\end{picture}
+$\Rightarrow$ Reparametrisierung durch Albe et al.\\
+{\scriptsize P. Erhart und K. Albe. Phys. Rev. B 71 (2005) 035211}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Ausblick
-}
+ Zusammenfassung / Ausblick
+}\\
+\begin{tabular}{|l|c|lr|}
+\hline
+Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
+\hline
+{\bf Integrator} & & & \\
+Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Potential} & & & \\
+Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
+Tersoff & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Albe & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
+ & $\bullet\bullet\bullet$ \\
+{\bf Ensembles} & & & \\
+{\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
+Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
+{\bf Simulationszelle} & & & \\
+periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+$T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
+ & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
+\hline
+\end{tabular}
\end{slide}
\end{document}
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