\def\slideleftmargin{5.1cm}
\def\slidetopmargin{-0.6cm}
+\def\slidetopmargin{-0.6cm}
+
+\newcommand{\ham}{\mathcal{H}}
+\newcommand{\pot}{\mathcal{V}}
+\newcommand{\foo}{\mathcal{U}}
+\newcommand{\vir}{\mathcal{W}}
% topic
}\\
Simulationszelle:
\begin{itemize}
- \item definiert durch Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
+ \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
\item meist orthogonale Simulationszelle
\item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
\item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
\end{itemize}
Randbedingungen:
\begin{itemize}
- \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte
- \item periodische Randbedingungen:
- \item festgehaltene Randatome: unphysikalisch
- (verwerfen einer gro"sen Region um fixierte Atome)
+ \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
+ (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
+ \item besser: periodische Randbedingungen
\end{itemize}
+\begin{center}
+ \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
+\end{center}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
+}\\
+Simulation von Oberfl"achen:
+\begin{itemize}
+ \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
+ \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
+ \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
+\end{itemize}
+\includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Die Zell-Methode
+ $SiC$-Ausscheidung in Silizium
}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+\begin{minipage}{8cm}
+\includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
+ (schraffierter Bereich)\\
+ $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
+ \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
+ (blauer Bereich)\\
+ $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
+ \item feste Randatome, Bulk\\
+ (schwarzer Bereich)
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Die Zell-Methode
+}\\
+Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
+\begin{itemize}
+ \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
+ \begin{itemize}
+ \item gehe alle Atome $j$ durch
+ \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
+ \item Zell-Methode:\\
+ \begin{minipage}{6cm}
+ \begin{itemize}
+ \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
+ $M \times M \times M$ Subzellen\\
+ mit L"ange $l=L/M>r_c$
+ \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
+ \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
+ $N/M^3$ Materialkonstante
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
+ \end{minipage}
+ \begin{minipage}{5cm}
+ \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
+ \end{minipage}
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
Thermodynamische Gr"o"sen
}
\begin{itemize}
- \item Innere Energie: $E = ...$
- \item Temperatur
- \item Druck
- \item W"armekapazit"at
- \item Struktur Werte
- \item Diffusion
+ \item Innere Energie:
+ \[
+ E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
+ \]
+ \item Temperatur/Druck
+ \[
+ <p_k \frac{\partial \ham}{\partial p_k}> = k_BT, \quad
+ <q_k \frac{\partial \ham}{\partial q_k}> = k_BT
+ \]
+ \begin{center}
+ {\em "Aquipartitionstheorem}
+ \end{center}
+ Temperatur:
+ \[
+ <\sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i}> = 3Nk_BT \quad
+ \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} <\sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}>
+ \]
+ Druck:
+ \[
+ <\sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \foo> = 3Nk_BT \quad
+ \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad
+ - \frac{1}{3} <\sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \foo> = -Nk_BT
+ \]
+ \begin{center}
+ mit
+ \end{center}
+ \[
+ - \nabla_{{\bf r}_i} \foo = {\bf f}_i^{tot} = {\bf f}_i^{ext} + {\bf f}_i^{int}
+ \]
+ \begin{center}
+ wobei
+ \end{center}
+ \[
+ \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{ext}=-pV, \quad
+ \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{int}=
+ - \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = \vir
+ \]
+ \begin{center}
+ folgt
+ \end{center}
+ \[
+ pV = Nk_BT + <\vir>
+ \]
\end{itemize}
\end{slide}
+%\begin{slide}
+%{\large\bf
+% Thermodynamische Gr"o"sen
+%}
+%\begin{itemize}
+% \item W"armekapazit"at
+% \item Struktur Werte
+% \item Diffusion
+%\end{itemize}
+%\end{slide}
+
\begin{slide}
{\large\bf
- Tersoff
+ Idee des Tersoff Potentials
}
+ \begin{picture}(350,10)
+ \end{picture}
+\begin{itemize}
+ \item Potential f"ur kovalente Bindungen\\
+ ($Si$: $sp^3$-Hybridisierung, 4 "au"sere Elektronen,
+ 4 gerichtete Bindungen, Winkel: $109,47 ^{\circ}$)\\
+ $\Rightarrow$ Bindungsenergie von 3 Atomen $i,j,k$
+ abh"angig von $r_{ij},r_{ik},r_{jk}$ {\color{red} und}
+ $\theta_{ijk},\theta_{ikj},\theta_{kij}$
+ \item {\em\color{blue} bond order} Potential
+ im Gegensatz zu {\em explicit angular}\\
+ \[
+ \pot = \pot_R(r_{ij}) + {\color{blue} b_{ijk}} \pot_A(r_{ij})
+ \]
+ \begin{picture}(350,10)
+ \end{picture}
+ \begin{itemize}
+ \item $b_{ijk}$: umgebungsabh"angiger Term
+ \item $b_{ijk}=const.$ $\Rightarrow$ Paarpotential
+ \item Schw"achung der Paarbindung je mehr Nachbarn vorhanden\\
+ qualitative Motivation: Anzahl der Elektronenpaare pro Bindung
+ \item St"arke der Bindung monoton fallend mit Koordinationszahl\\
+ steiler Abfall $\Rightarrow$ Dimer\\
+ schwacher Abfall $\Rightarrow$ maximale Koordinationszahl
+ (hcp-Struktur)
+ \item Pseudopotentialtheorie:
+ \[
+ b_{ijk} \sim Z^{-\delta}
+ \]
+ \begin{center}
+ {\scriptsize Abell et al. Phys. Rev. B 31 (1985) 6184.}
+ \end{center}
+ \end{itemize}
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- EAM
-}
+ Form des Tersoff Potentials:
+}\\
+Gesamtenergie:
+\[
+E = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \pot_{ij}, \quad
+\pot_{ij} = f_C(r_{ij}) \left[ f_R(r_{ij}) + b_{ij} f_A(r_{ij}) \right]
+\]
+Repulsiver und attraktiver Beitrag:
+\begin{eqnarray}
+f_R(r_{ij}) &=& A_{ij} \exp(-\lambda_{ij} r_{ij}) \nonumber \\
+f_A(r_{ij}) &=& - B_{ij} \exp(-\mu_{ij} r_{ij}) \nonumber
+\end{eqnarray}
+Cut-Off Funktion:
+\[
+f_C(r_{ij})=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1, & r_{ij} < R_{ij} \\
+ \frac{1}{2} +
+ \frac{1}{2} \cos \Big[ \pi (r_{ij} - R_{ij})/(S_{ij} - R_{ij}) \Big],
+ & R_{ij} < r_{ij} < S_{ij} \\
+ 0, & r_{ij} > S_{ij}
+\end{array} \right.
+\]
+{\em bond order} Term:
+\begin{eqnarray}
+b_{ij} &=& \chi_{ij} (1 + \beta_i^{n_i} \zeta^{n_i}_{ij})^{-1/2n_i}
+\nonumber \\
+\zeta_{ij} &=& \sum_{k \ne i,j} f_C (r_{ik}) \omega_{ik} g(\theta_{ijk})
+\nonumber \\
+g(\theta_{ijk})&=&1+c_i^2/d_i^2 - c_i^2/[d_i^2 + (h_i - \cos \theta_{ijk})^2]
+\nonumber
+\end{eqnarray}
+Anmerkung:
+\begin{itemize}
+ \item einfach indizierte Parameter nur abh"angig vom jeweiligen Atomtyp
+ \item doppelt indizierte: geometrisches Mittel ($A,B,R,S,\omega,\chi$),
+ arithmetisches Mittel ($\lambda,\mu$)
+\end{itemize}
\end{slide}
+%\begin{slide}
+%{\large\bf
+% EAM
+%}
+%
+%\end{slide}
+
\begin{slide}
{\large\bf
Albe Reparametrisierung
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,20)
+\end{picture}
+Schw"achen von Tersoff (2,3)
+\begin{itemize}
+ \item Zu geringe Dimer-Bindungsenergie
+ \item T(2): gut f"ur Oberfl"acheneigenschaften
+ \item T(3): gut f"ur Bulkeigenschaften
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,20)
+\end{picture}
+$\Rightarrow$ Reparametrisierung durch Albe et al.\\
+{\scriptsize P. Erhart und K. Albe. Phys. Rev. B 71 (2005) 035211}
\end{slide}
\begin{slide}
{\bf Potential} & & & \\
Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
-Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
+Tersoff & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Albe & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
& $\bullet\bullet\bullet$ \\
-EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
{\bf Ensembles} & & & \\
{\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
{\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
-{\bf Simulationzelle} & & & \\
+{\bf Simulationszelle} & & & \\
periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
$T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
-{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele&$\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
+{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
+ & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{slide}
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