Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
}
\begin{itemize}
- \item Methode zum Intgrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
+ \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
\item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
\item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
\end{itemize}
\begin{slide}
{\large\bf
+ {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
+}
+\begin{itemize}
+ \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
+ \begin{eqnarray}
+ {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
+ \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber
+ \end{eqnarray}
+ \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
+ f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
+ $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
+ $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
+ {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
+ \item Korrektur:
+ \begin{eqnarray}
+ {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
+ c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
+ c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
+ c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
+ c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
+ \end{eqnarray}
+ \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
+\end{itemize}
+{\scriptsize
+ C. W. Gear.
+ The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
+ (1966)\\
+ C. W. Gear.
+ Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
+ (1971)
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Velocity Verlet
+}\\
+Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
+\begin{eqnarray}
+ {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
+ {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
+ {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
+\end{eqnarray}
+Alogrithmus:
+\begin{itemize}
+ \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
+ \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
+ \[
+ {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
+ \]
+ \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
+ $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
+ \item Update der Geschwindigkeiten
+ \[
+ {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
+ \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
+ \]
+\end{itemize}
+Eigenschaften:
+\begin{itemize}
+ \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
+ \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
+ \item verh"altnism"a"sig pr"azise
+\end{itemize}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
+}\\
+Klassisches Potential:
+\[
+{\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
+ \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
+ \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
+ \ldots
+\]
+\begin{minipage}{8.3cm}
+\begin{itemize}
+ \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
+ \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
+ (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
+ \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
+ (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
+ \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
+ \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
+ \item nur Paarpotential\\
+ $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
+ $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+ \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
+\end{minipage}
+Cut-Off Radius $r_c$:
+\begin{itemize}
+ \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
+ \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,5)
+\end{picture}
+Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Wahl/Kontrolle des Ensembles
}
+Erinnerung:\\
+Stichproben
+Bisher: NVE-Ensemble
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
+ kanonisches Ensemble (NVT)
+}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ isothermales isobares Ensemble (NpT)
}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
+ Die Simulationszelle \& Randbedingungen
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Trick: Nachbarlisten \& Zell-Methode
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Thermodynamische Gr"o"sen
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ 3-K"orper Potentiale
+}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Brenner / Tersoff
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ EAM
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Albe Reparametrisierung
}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
+ Zusammenfassung
+}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Ausblick
}
\end{slide}
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