\def\slideleftmargin{5.1cm}
\def\slidetopmargin{-0.6cm}
+\def\slidetopmargin{-0.6cm}
+
+\newcommand{\ham}{\mathcal{H}}
+\newcommand{\pot}{\mathcal{V}}
+\newcommand{\foo}{\mathcal{U}}
+\newcommand{\vir}{\mathcal{W}}
% topic
}\\
Simulationszelle:
\begin{itemize}
- \item definiert durch Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
+ \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
\item meist orthogonale Simulationszelle
\item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
\item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
\end{itemize}
Randbedingungen:
\begin{itemize}
- \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte
- \item periodische Randbedingungen:
- \item festgehaltene Randatome: unphysikalisch
- (verwerfen einer gro"sen Region um fixierte Atome)
+ \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
+ (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
+ \item besser: periodische Randbedingungen
\end{itemize}
+\begin{center}
+ \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
+\end{center}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
+}\\
+Simulation von Oberfl"achen:
+\begin{itemize}
+ \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
+ \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
+ \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
+\end{itemize}
+\includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ $SiC$-Ausscheidung in Silizium
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+\begin{minipage}{8cm}
+\includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
+ (schraffierter Bereich)\\
+ $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
+ \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
+ (blauer Bereich)\\
+ $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
+ \item feste Randatome, Bulk\\
+ (schwarzer Bereich)
+\end{itemize}
+\end{minipage}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
Die Zell-Methode
}\\
+Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
+\begin{itemize}
+ \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
+ \begin{itemize}
+ \item gehe alle Atome $j$ durch
+ \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
+ \item Zell-Methode:\\
+ \begin{minipage}{6cm}
+ \begin{itemize}
+ \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
+ $M \times M \times M$ Subzellen\\
+ mit L"ange $l=L/M>r_c$
+ \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
+ \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
+ $N/M^3$ Materialkonstante
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
+ \end{minipage}
+ \begin{minipage}{5cm}
+ \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
+ \end{minipage}
+\end{itemize}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Thermodynamische Gr"o"sen
+}
+\begin{itemize}
+ \item Innere Energie:
+ \[
+ E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
+ \]
+ \item Temperatur/Druck
+ \[
+ <p_k \frac{\partial \ham}{\partial p_k}> = k_BT, \quad
+ <q_k \frac{\partial \ham}{\partial q_k}> = k_BT
+ \]
+ \begin{center}
+ {\em "Aquipartitionstheorem}
+ \end{center}
+ Temperatur:
+ \[
+ <\sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i}> = 3Nk_BT \quad
+ \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} <\sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}>
+ \]
+ Druck:
+ \[
+ <\sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \foo> = 3Nk_BT \quad
+ \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad
+ - \frac{1}{3} <\sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \foo> = -Nk_BT
+ \]
+ \begin{center}
+ mit
+ \end{center}
+ \[
+ - \nabla_{{\bf r}_i} \foo = {\bf f}_i^{tot} = {\bf f}_i^{ext} + {\bf f}_i^{int}
+ \]
+ \begin{center}
+ wobei
+ \end{center}
+ \[
+ \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{ext}=-pV, \quad
+ \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{int}=
+ - \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = \vir
+ \]
+ \begin{center}
+ folgt
+ \end{center}
+ \[
+ pV = Nk_BT + <\vir>
+ \]
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
Thermodynamische Gr"o"sen
}
\begin{itemize}
- \item Innere Energie: $E = ...$
- \item Temperatur
- \item Druck
\item W"armekapazit"at
\item Struktur Werte
\item Diffusion
{\large\bf
EAM
}
-\end{slide}
-\begin{slide}
-{\large\bf
- Albe Reparametrisierung
-}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Zusammenfassung
+ Albe Reparametrisierung
}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Ausblick
-}
+ Zusammenfassung / Ausblick
+}\\
+\begin{tabular}{|l|c|lr|}
+\hline
+Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
+\hline
+{\bf Integrator} & & & \\
+Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Potential} & & & \\
+Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
+ & $\bullet\bullet\bullet$ \\
+EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Ensembles} & & & \\
+{\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
+Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
+{\bf Simulationzelle} & & & \\
+periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+$T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
+ & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
+\hline
+\end{tabular}
\end{slide}
\end{document}
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