ising/ising.tex

   1 \documentclass{report}
   2
   3 \usepackage{verbatim}
   4 \usepackage[german]{babel}
   5 \usepackage[latin1]{inputenc}
   6 \usepackage[T1]{fontenc}
   7 \usepackage{amsmath}
   8
   9 \usepackage{graphicx}
  10 \graphicspath{{./img/}}
  11
  12 \author{Frank Zirkelbach}
  13 \title{Das Ising Modell}
  14
  15 \begin{document}
  16 \frontmatter
  17 \maketitle
  18 \tableofcontents
  19
  20 \mainmatter
  21 \chapter{Einfuehrung}
  22
  23 \section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
  24 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
  25 \[
  26  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
  27 \]
  28 Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
  29 \[
  30 \begin{array}{l}
  31  \textrm{Wahrscheinlichkeit fuer Zustand} \, i \quad P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta} \\
  32  \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \\
  33  \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \\
  34  \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H}
  35 \end{array}
  36 \]
  37
  38 \section{Phasenuebergaenge}
  39 Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
  40 \begin{itemize}
  41 \item Dichte
  42 \item Magnetisierung
  43 \item elektrische Leitfaehigkeit
  44 \end{itemize}
  45 Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
  46 \begin{itemize}
  47 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
  48 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
  49 \end{itemize}
  50
  51 \section{Idee des Ising Modells}
  52 Modellannahmen:
  53 \begin{itemize}
  54 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
  55 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
  56 \[
  57  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
  58 \]
  59 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
  60 \end{itemize}
  61 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
  62 \[
  63  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
  64 \]
  65 \[
  66 (i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
  67 \]
  68 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
  69 \begin{itemize}
  70 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
  71 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
  72 \end{itemize}
  73 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
  74
  75 \chapter{Loesungen des Ising Modells}
  76
  77 \section{1-dimensionale Loesung}
  78 \setlength{\unitlength}{0.5cm}
  79 \begin{picture}(10,2)
  80  \thicklines
  81  \put(0,0.7){$\bullet$}
  82  \put(0,0){$1$}
  83  \put(0.1,0.9){\line(1,0){2}}
  84  \put(2,0.7){$\bullet$}
  85  \put(2,0){$2$}
  86  \put(2.1,0.9){\line(1,0){2}}
  87  \put(4,0.7){$\bullet$}
  88  \put(4,0){$3$}
  89  \put(4.1,0.8){\ldots \ldots}
  90  \put(6,0.7){$\bullet$}
  91  \put(6,0){$N$}
  92 \end{picture} \\
  93 \\
  94 Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
  95 \[
  96  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
  97 \]
  98 Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
  99 Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
 100 \\
 101 Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
 102 \[
 103  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 104 \]
 105 Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
 106 \[
 107  M = <S_1>
 108 \]
 109 Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
 110 \[
 111  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
 112 \]
 113 Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
 114 \\
 115 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
 116 \[
 117 \begin{array}{l}
 118  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 119  \\
 120  \textrm{also:} \\
 121  <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
 122  <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
 123  <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
 124  \\
 125  wobei: \\
 126  \begin{array}{ll}
 127   |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
 128   |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
 129  \end{array}
 130 \end{array}
 131 \]
 132 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
 133 \[
 134  \mathbf{T} =
 135  \left(
 136  \begin{array}{cc}
 137  e^{K+h} & e^{-K} \\
 138  e^{-K} & e^{K-h}
 139  \end{array}
 140  \right)
 141  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
 142 \]
 143 Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
 144 \[
 145  \begin{array}{ll}
 146  Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
 147    & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
 148    & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 149  \end{array}
 150 \]
 151 Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
 152 \[
 153  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
 154 \]
 155 Daraus folgt:
 156 \[
 157  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
 158 \]
 159 Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
 160 \[
 161  \begin{array}{l}
 162   \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
 163   Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
 164   F = -k_B T \, \textrm{ln} \. Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 165  \end{array}
 166 \]
 167 Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
 168 Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
 169 \[
 170  \begin{array}{ll}
 171   M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
 172     & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
 173     & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
 174     & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
 175
 176  \end{array}
 177 \]
 178 Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
 179 \\
 180 \setlength{\unitlength}{2cm}
 181 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 182  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 183  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 184  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 185  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 186  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 187  \put(0.2,1.4){$M$}
 188  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 189  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
 190 \end{picture}
 191 \\
 192 Erkenntnis:\\
 193 \begin{itemize}
 194 \item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
 195 \item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell
 196 \end{itemize}
 197
 198 \section{2-dimensionale Loesung}
 199 Waehrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu loesen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale hoechst nichttrivial. Es wird auf eine genau Loesung verzichtet. Eine Loesung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
 200 \\
 201 Hamiltonian und Zustandssumme:
 202 \[
 203 \begin{array}{l}
 204  H = -J \sum_{(i,j)} S_i S_j \\
 205  Z = \sum_{\{S_i\}} e^{-\beta H} \qquad \textrm{Summation erfasst alle $2^N$ Spinkonfigurationen}
 206 \end{array}
 207 \]
 208 Weil die $S_i$ nur die Werte $+1$ oder $-1$ annehmen koennne folgt:
 209 \[
 210  (S_i S_j)^{2n} = 1 \, \textrm{;} \qquad (S_i S_j)^{2n+1} = S_i S_j
 211 \]
 212 und damit koennen wir fuer die Exponentialfunktion schreiben:
 213 \[
 214  e^{\beta J S_i S_j} = \cosh (\beta J) + (S_i S_j) \sinh (\beta J) = \cosh (\beta J) (1 + \upsilon (S_i S_j)) \, \textrm{,} \qquad \upsilon = \tanh (\beta J)
 215 \]
 216 Weil jeder Ising Spin $4$ naechste Nachbarn hat, gibt es $\frac{4 N}{2} = 2N$ verschiedene Nachbarpaare. Damit erhaelt man fuer die Zustandssumme:
 217 \[
 218  Z = \sum_{\{S_i\}} \prod_{(i,j)} e^{\beta J S_i S_j}
 219 \]
 220 Durch hier nicht weiter ausgefuehrte grafische Ueberlegungen zu den Spinprodukten und einer laenglichen Rechnung [\ref{lit1}] folgt:
 221 \[
 222  Z = 2^N \cosh^{2N} (\beta J) \Big( \prod_{q_1,q_2} \big( (1 + \upsilon^2)^2 - 2 \upsilon (1 - \upsilon^2) (\cos q_1 + \cos q_2) \big) \Big)^{\frac{1}{2}}
 223 \]
 224 Schaut man sich nun die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ an, so erhaelt man einen Ausdruck eines Logarithmus unter einem nicht weiter analytisch behandelbaren Doppelintegrals. Der Phasenuebergang findet findet statt, wenn das Argument des Logarithmus verschwindet. Man findet folgende Bedingung:
 225 \[
 226  1 \stackrel{!}{=} \sinh \frac{2 J}{k_B T_C} \, \qquad \textrm{$T_C$ ist kritische Temperatur}
 227 \]
 228 Fuer die spontane Magnetisierung gilt:
 229 \[
 230  M = \left\{
 231  \begin{array}{ll}
 232   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
 233   0 & : T > T_C
 234  \end{array} \right.
 235 \]
 236 Fazit:
 237 \begin{itemize}
 238 \item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
 239 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
 240 \end{itemize}
 241
 242
 243 \section{3-dimensionale Loesung}
 244 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch geloest werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten Loesung keine weiteren Informationen mehr.\\
 245 \\
 246 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenuebergaenge.
 247
 248 \chapter{Simulation}
 249 ... noch in arbeit\\
 250 \\
 251 xising zeigen, besser: dfb-ising coden!
 252 \\
 253 grob: (pseudocode) [\ref{lit4}]\\
 254 \begin{itemize}
 255 \item gehe alle gitterplaetze durch
 256 \item berechne $\delta E$ fuer Spinflip (naechste nachbarn anschauen)
 257 \item wenn kleiner 0 flip, ansonsten nur wenn zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
 258 \item Spins aufsummieren, entsprcht magnetisierung (nach genuegend vielen itterationen ($N^3$)
 259 \end{itemize}
 260
 261 \chapter{Anwendungen}
 262 \begin{itemize}
 263 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 264  \[
 265   \begin{array}{ll}
 266    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
 267    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
 268    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
 269    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
 270   \end{array}
 271  \]
 272 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 273  \[
 274   \begin{array}{ll}
 275    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
 276    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
 277    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
 278   \end{array}
 279  \]
 280 \item weitere Anwendungen
 281  \begin{itemize}
 282  \item Quantum Game Theory
 283  \item duopoly markets
 284  \end{itemize}
 285 \end{itemize}
 286
 287 \appendix
 288 \chapter{Quellen}
 289 \begin{enumerate}
 290 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
 291 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
 292 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
 293 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
 294 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 295 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 296 \end{enumerate}
 297
 298 \end{document}