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[lectures/latex.git] / ising / ising.tex
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2
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9
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12
13 \author{Frank Zirkelbach}
14 \title{Das Ising Modell}
15
16 \begin{document}
17 \frontmatter
18 \maketitle
19 \tableofcontents
20
21 \mainmatter
22 \chapter{Einf├╝hrung}
23
24 \section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
25 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
26 \[
27  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
28 \]
29 Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
30 \begin{itemize}
31 \item Wahrscheinlichkeit fuer Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
32 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$ 
33 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
34 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
35 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
36 \end{itemize}
37
38 \section{Phasen"uberg"ange}
39 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "aussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
40 \begin{itemize}
41 \item Dichte
42 \item Magnetisierung
43 \item elektrische Leitf"ahigkeit
44 \end{itemize}
45 Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Ubrg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Ubergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
46 \begin{itemize}
47 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
48 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
49 \end{itemize}
50
51 \section{Kritische Exponenten}
52 In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
53 \begin{itemize}
54 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
55 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
56 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^\gamma$
57 \end{itemize}
58 Anmerkung:\\
59 Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung und Spindimensionalit"at ab, und nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
60
61 \section{Idee des Ising Modells}
62 Modellannahmen: 
63 \begin{itemize}
64 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
65 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
66 \[
67  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
68 \]
69 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
70 \end{itemize}
71 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
72 \[
73  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
74 \]
75 \[
76 (i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
77 \]
78 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
79 \begin{itemize}
80 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
81 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
82 \end{itemize}
83 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
84 \\
85 Molekularfeldn"aherung:\\
86 Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>)$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
87 \[
88  S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
89 \]
90 wobei $m=\frac{1}{N}(sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
91 \[
92  H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
93 \]
94 und Zustandssumme:
95 \[
96 \begin{array}{ll}
97  Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
98     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
99     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
100 \end{array}
101 \]
102 Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
103 \[
104 \begin{array}{l}
105  g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
106  m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
107 \end{array}
108 \]
109 Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
110 \[
111  \tanh (\beta Jm) = m
112 \]
113 die grafisch diskutiert werden kann.
114 \\
115 \setlength{\unitlength}{2cm}
116 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
117  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
118  \put(2.7,-0.1){$m$}
119  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
120  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
121  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
122  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
123  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
124  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
125 \end{picture}
126
127
128
129
130
131 \chapter{Loesungen des Ising Modells}
132
133 \section{1-dimensionale Loesung}
134 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
135 \begin{picture}(10,2)
136  \thicklines
137  \put(0,0.7){$\bullet$}
138  \put(0,0){$1$}
139  \put(0.1,0.9){\line(1,0){2}}
140  \put(2,0.7){$\bullet$}
141  \put(2,0){$2$}
142  \put(2.1,0.9){\line(1,0){2}}
143  \put(4,0.7){$\bullet$}
144  \put(4,0){$3$}
145  \put(4.1,0.8){\ldots \ldots}
146  \put(6,0.7){$\bullet$}
147  \put(6,0){$N$}
148 \end{picture} \\
149 \\
150 Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
151 \[
152  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
153 \]
154 Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
155 Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
156 \\
157 Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
158 \[
159  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
160 \]
161 Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
162 \[
163  M = <S_1>
164 \]
165 Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
166 \[
167  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
168 \]
169 Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
170 \\
171 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
172 \[
173 \begin{array}{l}
174  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
175  \\
176  \textrm{also:} \\
177  <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
178  <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
179  <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
180  \\
181  wobei: \\
182  \begin{array}{ll}
183   |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
184   |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
185  \end{array}
186 \end{array}
187 \]
188 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
189 \[
190  \mathbf{T} =
191  \left(
192  \begin{array}{cc}
193  e^{K+h} & e^{-K} \\
194  e^{-K} & e^{K-h}
195  \end{array}
196  \right)
197  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
198 \]
199 Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
200 \[
201  \begin{array}{ll}
202  Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
203    & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
204    & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
205  \end{array}
206 \]
207 Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
208 \[
209  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
210 \]
211 Daraus folgt:
212 \[
213  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
214 \]
215 Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
216 \[
217  \begin{array}{l}
218   \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
219   Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
220   F = -k_B T \, \textrm{ln} \. Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
221  \end{array}
222 \]
223 Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
224 Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
225 \[
226  \begin{array}{ll}
227   M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
228     & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
229     & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
230     & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
231   
232  \end{array}
233 \]
234 Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
235 \\
236 \setlength{\unitlength}{2cm}
237 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
238  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
239  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
240  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
241  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
242  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
243  \put(0.2,1.4){$M$}
244  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
245  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
246 \end{picture}
247 \\
248 Erkenntnis:\\
249 \begin{itemize}
250 \item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
251 \item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell
252 \end{itemize}
253
254 \section{2-dimensionale Loesung}
255 Waehrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu loesen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale hoechst nichttrivial. Es wird auf eine genau Loesung verzichtet. Eine Loesung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
256 \\
257 Hamiltonian und Zustandssumme:
258 \[
259 \begin{array}{l}
260  H = -J \sum_{(i,j)} S_i S_j \\
261  Z = \sum_{\{S_i\}} e^{-\beta H} \qquad \textrm{Summation erfasst alle $2^N$ Spinkonfigurationen}
262 \end{array}
263 \]
264 Weil die $S_i$ nur die Werte $+1$ oder $-1$ annehmen koennne folgt:
265 \[
266  (S_i S_j)^{2n} = 1 \, \textrm{;} \qquad (S_i S_j)^{2n+1} = S_i S_j
267 \]
268 und damit koennen wir fuer die Exponentialfunktion schreiben:
269 \[
270  e^{\beta J S_i S_j} = \cosh (\beta J) + (S_i S_j) \sinh (\beta J) = \cosh (\beta J) (1 + \upsilon (S_i S_j)) \, \textrm{,} \qquad \upsilon = \tanh (\beta J)
271 \]
272 Weil jeder Ising Spin $4$ naechste Nachbarn hat, gibt es $\frac{4 N}{2} = 2N$ verschiedene Nachbarpaare. Damit erhaelt man fuer die Zustandssumme:
273 \[
274  Z = \sum_{\{S_i\}} \prod_{(i,j)} e^{\beta J S_i S_j}
275 \]
276 Durch hier nicht weiter ausgefuehrte grafische Ueberlegungen zu den Spinprodukten und einer laenglichen Rechnung [\ref{lit1}] folgt:
277 \[
278  Z = 2^N \cosh^{2N} (\beta J) \Big( \prod_{q_1,q_2} \big( (1 + \upsilon^2)^2 - 2 \upsilon (1 - \upsilon^2) (\cos q_1 + \cos q_2) \big) \Big)^{\frac{1}{2}}
279 \]
280 Schaut man sich nun die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ an, so erhaelt man einen Ausdruck eines Logarithmus unter einem nicht weiter analytisch behandelbaren Doppelintegrals. Der Phasenuebergang findet findet statt, wenn das Argument des Logarithmus verschwindet. Man findet folgende Bedingung:
281 \[
282  1 \stackrel{!}{=} \sinh \frac{2 J}{k_B T_C} \, \qquad \textrm{$T_C$ ist kritische Temperatur}
283 \]
284 Fuer die spontane Magnetisierung gilt:
285 \[
286  M = \left\{
287  \begin{array}{ll}
288   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
289   0 & : T > T_C
290  \end{array} \right.
291 \]
292 Fazit:
293 \begin{itemize}
294 \item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
295 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
296 \end{itemize}
297
298
299 \section{3-dimensionale Loesung}
300 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch geloest werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten Loesung keine weiteren Informationen mehr.\\
301 \\
302 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenuebergaenge.
303
304 \chapter{Simulation}
305 ... noch in arbeit\\
306 \\
307 xising zeigen, besser: dfb-ising coden!
308 \\
309 grob: (pseudocode) [\ref{lit4}]\\
310 \begin{itemize}
311 \item gehe alle gitterplaetze durch
312 \item berechne $\delta E$ fuer Spinflip (naechste nachbarn anschauen)
313 \item wenn kleiner 0 flip, ansonsten nur wenn zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
314 \item Spins aufsummieren, entsprcht magnetisierung (nach genuegend vielen itterationen ($N^3$)
315 \end{itemize}
316
317 \chapter{Anwendungen}
318 \begin{itemize}
319 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
320  \[
321   \begin{array}{ll}
322    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
323    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
324    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
325    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
326   \end{array}
327  \]
328 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
329  \[
330   \begin{array}{ll}
331    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
332    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
333    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
334   \end{array}
335  \]
336 \item weitere Anwendungen
337  \begin{itemize}
338  \item Quantum Game Theory
339  \item duopoly markets
340  \end{itemize}
341 \end{itemize}
342
343 \appendix
344 \chapter{Quellen}
345 \begin{enumerate}
346 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
347 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
348 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
349 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
350 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
351 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
352 \end{enumerate}
353
354 \end{document}