ising/ising_slides.tex

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   2
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   9
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  13
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  17
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  20
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  24
  25 \input{seminar.bug}             % Official bugs corrections
  26 \input{seminar.bg2}             % Unofficial bugs corrections
  27
  28 \author{Frank Zirkelbach}
  29 \title{Das Ising Modell}
  30
  31 \begin{document}
  32
  33 \extraslideheight{10in}
  34
  35 \begin{slide}
  36 \maketitle
  37 \end{slide}
  38
  39 \begin{slide}
  40 \tableofcontents
  41 \end{slide}
  42
  43 \begin{slide}
  44 \section{Einf"uhrung}
  45 \end{slide}
  46
  47 \begin{slide}
  48 \slideheading{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
  49 Zustandssumme: Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande
  50 \[
  51  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
  52 \]
  53 Ableitung wichtiger Gr"o"sen:
  54 \begin{itemize}
  55 \item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
  56 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
  57 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
  58 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
  59 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
  60 \end{itemize}
  61 \end{slide}
  62
  63 \begin{slide}
  64 \slideheading{Phasen"uberg"ange}
  65 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen.\\
  66 Beispiele:
  67 \begin{itemize}
  68 \item Dichte ($H_2O$)
  69 \item Magnetisierung (Nickel)
  70 \item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
  71 \end{itemize}
  72 \end{slide}
  73
  74 \begin{slide}
  75 Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen
  76 \begin{itemize}
  77 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
  78 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
  79 % \\
  80 % \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
  81 \end{itemize}
  82 \end{slide}
  83
  84 \begin{slide}
  85 \slideheading{Kritische Exponenten}
  86 Physikalische Gr"o"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
  87 \begin{itemize}
  88 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
  89 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
  90 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
  91 \end{itemize}
  92 Anmerkung:\\
  93 $\rightarrow$ Abh"angig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
  94 \end{slide}
  95
  96 \begin{slide}
  97 \slideheading{Idee des Ising Modells}
  98 Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
  99 Modellannahmen:
 100 \begin{itemize}
 101 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
 102 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt
 103 \[
 104  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
 105 \]
 106 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
 107 \end{itemize}
 108 Hamilton-Funktion:
 109 \[
 110  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
 111 \]
 112 \[
 113 (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
 114 \]
 115 \end{slide}
 116
 117 \begin{slide}
 118 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
 119 \begin{itemize}
 120 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
 121 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
 122 \end{itemize}
 123 Ergebnis: spontane Magnetisierung unterhalb kritischer Temperatur ohne externes $B$-Feld
 124 \end{slide}
 125
 126 \begin{slide}
 127 Molekularfeldn"aherung:\\
 128 Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
 129 Spin-Wechselwirkungs-Term:
 130 \[
 131  S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
 132 \]
 133 wobei:
 134 \begin{itemize}
 135 \item $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$, mittlere Magnetisierung pro Spin
 136 \item $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ in MFN vernachl"assigt
 137 \item Definition: $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, mit $z$  Anzahl der n"achsten Nachbarn
 138 \end{itemize}
 139 \end{slide}
 140
 141 \begin{slide}
 142 Hamiltonian:
 143 \[
 144  H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
 145 \]
 146 Zustandssumme:
 147 \[
 148 \begin{array}{ll}
 149  Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
 150     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
 151     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
 152 \end{array}
 153 \]
 154 \end{slide}
 155
 156 \begin{slide}
 157 freie Energie und Magnetisierung pro Spin:
 158 \[
 159 \begin{array}{l}
 160  g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
 161  m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
 162 \end{array}
 163 \]
 164 implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$:
 165 \[
 166  \tanh (\beta Jm) = m
 167 \]
 168 \end{slide}
 169
 170 \begin{slide}
 171 \begin{itemize}
 172 \item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$
 173 \item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ f"ur $m=0$
 174 \end{itemize}
 175 % \setlength{\unitlength}{2cm}
 176 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 177 %  \put(0,0){\line(1,1){1}}
 178 %  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
 179 %  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 180 %  \put(2.7,-0.1){$m$}
 181 %  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 182 %  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 183 %  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 184 %  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
 185 %  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
 186 %  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
 187 % \end{picture}
 188 % \\
 189 \includegraphics[width=08cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
 190 \end{slide}
 191
 192 \begin{slide}
 193 \begin{itemize}
 194 \item Phasen"ubergang unabh"angig von Gitterdimension
 195 \item Widerspruch zu exakter $d=1$ L"osung
 196 \item Typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie)
 197 \end{itemize}
 198 \end{slide}
 199
 200 \begin{slide}
 201 \section{L"osungen des Ising Modells}
 202 \end{slide}
 203
 204 \begin{slide}
 205 \slideheading{L"osung f"ur $d=1$}
 206 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
 207 \begin{picture}(10,1)
 208  \thicklines
 209  \put(0,0.45){$\bullet$}
 210  \put(0,0){$1$}
 211  \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
 212  \put(2,0.45){$\bullet$}
 213  \put(2,0){$2$}
 214  \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
 215  \put(4,0.45){$\bullet$}
 216  \put(4,0){$3$}
 217  \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
 218  \put(6,0.45){$\bullet$}
 219  \put(6,0){$N$}
 220 \end{picture} \\
 221 \\
 222 Hamilton-Funktion:
 223 \[
 224  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 225 \]
 226 Annahmen:
 227 \begin{itemize}
 228  \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
 229  \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
 230 \end{itemize}
 231 Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
 232 \end{slide}
 233
 234 \begin{slide}
 235 Energie des Systems:
 236 \[
 237  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 238 \]
 239 % Magnetisierung:
 240 % \[
 241 %  M = <S_1>
 242 % \]
 243 Zustandssumme:
 244 \[
 245  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
 246 \]
 247 \end{slide}
 248
 249 \begin{slide}
 250 Bestimmung der Zustandssumme mit Transfer-Matrix-Methode: \\
 251 \\
 252 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
 253 \[
 254 \begin{array}{l}
 255  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 256  \\
 257  \textrm{also:} \\
 258  \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
 259  \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
 260  \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
 261  \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,}
 262  \quad |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
 263 \end{array}
 264 \]
 265 \end{slide}
 266
 267 \begin{slide}
 268 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
 269 \[
 270  \mathbf{T} =
 271  \left(
 272  \begin{array}{cc}
 273  e^{K+h} & e^{-K} \\
 274  e^{-K} & e^{K-h}
 275  \end{array}
 276  \right)
 277  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
 278 \]
 279 \end{slide}
 280
 281 \begin{slide}
 282 Zustandssumme:
 283 \[
 284  \begin{array}{ll}
 285  \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
 286  \displaystyle  & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
 287  \displaystyle  & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 288  \end{array}
 289 \]
 290 \begin{itemize}
 291 \item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande
 292 \item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
 293 \item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
 294 \end{itemize}
 295 \[
 296  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
 297 \]
 298 \[
 299  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
 300 \]
 301 \end{slide}
 302
 303 \begin{slide}
 304 F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
 305 \[
 306  \begin{array}{l}
 307   \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
 308   \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
 309   \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 310  \end{array}
 311 \]
 312 weil $\lambda_+^N$ viel gr"o"ser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
 313 Magnetisierung:
 314 \[
 315  \begin{array}{ll}
 316   \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
 317   \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
 318   \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
 319   \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
 320  \end{array}
 321 \]
 322 \end{slide}
 323
 324 \begin{slide}
 325 Abbidlung:
 326 \begin{itemize}
 327 \item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld
 328 \item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
 329 \item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
 330 \end{itemize}
 331 \setlength{\unitlength}{1cm}
 332 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 333  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 334  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 335  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 336  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 337  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 338  \put(0.2,1.4){$M$}
 339  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 340  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
 341 \end{picture}
 342 \end{slide}
 343
 344 \begin{slide}
 345 Erkenntnis:
 346 \begin{itemize}
 347 \item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
 348 \item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
 349 \end{itemize}
 350 F"ur $T=0$:
 351 \[
 352  \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)}
 353 \]
 354 Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
 355 Kritische Exponenten:
 356 \[
 357  \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
 358 \]
 359 \end{slide}
 360
 361 \begin{slide}
 362 \slideheading{L"osung f"ur $d=2$}
 363 \begin{itemize}
 364 \item TFM analog $d=1$ L"osung
 365 \item nur L"osung f"ur $B=0$
 366 \end{itemize}
 367 Hamiltonian:
 368 \[
 369  H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
 370 \]
 371 Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins.
 372 \end{slide}
 373
 374 \begin{slide}
 375 Abk"urzung:
 376 \[
 377  H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
 378 \]
 379 wobei
 380 \[
 381 \begin{array}{ll}
 382  \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
 383  \displaystyle E(\mu_j)       & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
 384  \displaystyle \mu_j          & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
 385 \end{array}
 386 \]
 387 \end{slide}
 388
 389 \begin{slide}
 390 Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
 391 \[
 392  <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
 393 \]
 394 $2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung.\\
 395 $[7]$ Kerson Huang, Statistical mechanics\\
 396 \\
 397 Analog zum $d=1$ Fall gilt:
 398 \[
 399  Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 400 \]
 401 \end{slide}
 402
 403 \begin{slide}
 404 freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$:
 405 \[
 406  f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
 407 \]
 408 mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
 409 \\
 410 Magnetisierung:
 411 \[
 412  m = \left\{
 413  \begin{array}{ll}
 414   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
 415   0 & : T > T_C
 416  \end{array} \right.
 417 \]
 418 \end{slide}
 419
 420 \begin{slide}
 421 kritische Temperatur:
 422 \[
 423  2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
 424 \]
 425 spezifische W"arme: (logarithmische Divergenz)
 426 \[
 427 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big)
 428 + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
 429 \]
 430 kritische Exponenten:\\
 431 $\beta = \frac{1}{8}$ \\
 432 $\alpha = 0$
 433 \end{slide}
 434
 435 \begin{slide}
 436 Fazit:
 437 \begin{itemize}
 438 \item Phasen"ubergang zweiter Ordnung
 439 \item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
 440 \end{itemize}
 441 \end{slide}
 442
 443 \begin{slide}
 444 \slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
 445 \begin{itemize}
 446 \item keine exakte analytische L"osung
 447 \item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
 448 \item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet
 449 \item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange
 450 \end{itemize}
 451 \end{slide}
 452
 453 \begin{slide}
 454 \section{Monte Carlo Simulation}
 455 \end{slide}
 456
 457 \begin{slide}
 458 Simulationen das Ising Modells durch Monte Carlo Simulation.\\
 459 \\
 460 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
 461 \[
 462 \begin{array}{l}
 463  \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
 464  \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
 465  \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
 466 \end{array}
 467 \]
 468 \end{slide}
 469
 470 \begin{slide}
 471 important sampling: Aufsummieren einiger zuf"alliger Zust"ande (Boltzmann verteilt).
 472 \[
 473  <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
 474 \]
 475 $N \equiv \textrm{Anzahl der Iterationen in der Computersimulation}$
 476 \begin{itemize}
 477  \item $P(A,t)$, Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
 478  \item $W(A \rightarrow B)$, Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
 479 \end{itemize}
 480 \end{slide}
 481
 482 \begin{slide}
 483 Damit gilt:
 484 \[
 485  P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
 486 \]
 487 Vergessen der Anfangskonfiguration f"ur gro"se $t$, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
 488 Bedingung f"ur zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung:
 489 \[
 490  W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
 491 \]
 492 somit gilt:
 493 \[
 494  \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
 495 \]
 496 \end{slide}
 497
 498 \begin{slide}
 499 Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\
 500 $[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
 501 \[
 502  W(A \rightarrow B) = \left\{
 503  \begin{array}{ll}
 504   e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
 505   1 & : \delta E < 0
 506  \end{array} \right.
 507 \]
 508 Pseudocode:
 509 \begin{itemize}
 510 \item Gehe alle Gitterpl"atze durch
 511 \item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
 512 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
 513 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
 514 \end{itemize}
 515 \end{slide}
 516
 517 \begin{slide}
 518 \section{Anwendungen}
 519 \end{slide}
 520
 521 \begin{slide}
 522 Spingl"aser ([\ref{lit8}] W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis)
 523  \begin{itemize}
 524  \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
 525  \item Beobachtungen:
 526   \begin{itemize}
 527   \item keine spontane Magnetisierung
 528   \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
 529   \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, sehr langsame Relaxation
 530   \end{itemize}
 531  \item Modell:
 532   \begin{itemize}
 533   \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
 534   \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
 535   \end{itemize}
 536  \end{itemize}
 537 \end{slide}
 538
 539 \begin{slide}
 540 Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
 541  \begin{itemize}
 542   \item Traveling Salesman Problem:
 543    \begin{itemize}
 544    \item \dq Aufheizen\dq{} des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
 545    \item \dq Abk"uhlen\dq{} des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
 546    \end{itemize}
 547   \end{itemize}
 548 \end{slide}
 549
 550 \begin{slide}
 551  \begin{itemize}
 552   \item Ged"achtnis:
 553   \begin{itemize}
 554   \item Modell:
 555    \[
 556     \begin{array}{ll}
 557      S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
 558      S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
 559      S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
 560      J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
 561      \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
 562     \end{array}
 563    \]
 564   \item einige Eigenschaften
 565    \begin{itemize}
 566    \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
 567    \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
 568    \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
 569    \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
 570    \end{itemize}
 571   \end{itemize}
 572  \end{itemize}
 573 \end{slide}
 574
 575 \begin{slide}
 576 \begin{itemize}
 577 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 578  \[
 579   \begin{array}{ll}
 580    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
 581    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
 582    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
 583    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
 584   \end{array}
 585  \]
 586 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 587  \[
 588   \begin{array}{ll}
 589    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
 590    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
 591    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
 592   \end{array}
 593  \]
 594 \item weitere Anwendungen
 595  \begin{itemize}
 596  \item Quantum Game Theory
 597  \item duopoly markets
 598  \end{itemize}
 599 \end{itemize}
 600 \end{slide}
 601
 602 \begin{slide}
 603 \section{Quellen}
 604 \end{slide}
 605
 606 \begin{slide}
 607 \begin{enumerate}
 608 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
 609 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
 610 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
 611 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
 612 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 613 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 614 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
 615 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
 616 \end{enumerate}
 617 \end{slide}
 618
 619 \end{document}