ising/ising_slides.tex

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   2
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   9
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  13
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  17
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  20
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  25
  26 \input{seminar.bug}             % Official bugs corrections
  27 \input{seminar.bg2}             % Unofficial bugs corrections
  28
  29 \author{Frank Zirkelbach}
  30 \title{Das Ising Modell}
  31
  32 \begin{document}
  33
  34 \begin{slide}
  35 \maketitle
  36 \end{slide}
  37
  38 \begin{slide}
  39 \tableofcontents
  40 \end{slide}
  41
  42 \section{Einf"uhrung}
  43
  44 \subsection{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
  45 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
  46 \[
  47  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
  48 \]
  49 Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
  50 \begin{itemize}
  51 \item Wahrscheinlichkeit fuer Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
  52 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
  53 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
  54 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
  55 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
  56 \end{itemize}
  57
  58 \subsection{Phasen"uberg"ange}
  59 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "aussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
  60 \begin{itemize}
  61 \item Dichte
  62 \item Magnetisierung
  63 \item elektrische Leitf"ahigkeit
  64 \end{itemize}
  65 Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Ubrg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Ubergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
  66 \begin{itemize}
  67 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
  68 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
  69 \end{itemize}
  70
  71 \subsection{Kritische Exponenten}
  72 In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
  73 \begin{itemize}
  74 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
  75 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
  76 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^\gamma$
  77 \end{itemize}
  78 Anmerkung:\\
  79 Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung und Spindimensionalit"at ab, und nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
  80
  81 \subsection{Idee des Ising Modells}
  82 Modellannahmen:
  83 \begin{itemize}
  84 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
  85 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
  86 \[
  87  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
  88 \]
  89 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
  90 \end{itemize}
  91 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
  92 \[
  93  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
  94 \]
  95 \[
  96 (i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
  97 \]
  98 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
  99 \begin{itemize}
 100 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
 101 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
 102 \end{itemize}
 103 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
 104 \\
 105 \\
 106 Molekularfeldn"aherung:\\
 107 Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>)$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
 108 \[
 109  S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
 110 \]
 111 wobei $m=\frac{1}{N}(sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
 112 \[
 113  H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
 114 \]
 115 und Zustandssumme:
 116 \[
 117 \begin{array}{ll}
 118  Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
 119     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
 120     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
 121 \end{array}
 122 \]
 123 Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
 124 \[
 125 \begin{array}{l}
 126  g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
 127  m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
 128 \end{array}
 129 \]
 130 Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
 131 \[
 132  \tanh (\beta Jm) = m
 133 \]
 134 die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die Anfangssteigung der linken Seite der Gleichung gr"o"ser $1$ ist. F"ur die kritische Temperatur gilt somit $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$.
 135 \\
 136 \setlength{\unitlength}{2cm}
 137 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 138  \put(0,0){\line(1,1){1}}
 139  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
 140  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 141  \put(2.7,-0.1){$m$}
 142  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 143  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 144  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 145  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
 146  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
 147  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
 148 \end{picture}
 149 \\
 150 Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
 151
 152 \section{Loesungen des Ising Modells}
 153
 154 \subsection{1-dimensionale L"osung}
 155 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
 156 \begin{picture}(10,1)
 157  \thicklines
 158  \put(0,0.45){$\bullet$}
 159  \put(0,0){$1$}
 160  \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
 161  \put(2,0.45){$\bullet$}
 162  \put(2,0){$2$}
 163  \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
 164  \put(4,0.45){$\bullet$}
 165  \put(4,0){$3$}
 166  \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
 167  \put(6,0.45){$\bullet$}
 168  \put(6,0){$N$}
 169 \end{picture} \\
 170 \\
 171 Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
 172 \[
 173  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 174 \]
 175 Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
 176 Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
 177 \\
 178 Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
 179 \[
 180  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 181 \]
 182 Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
 183 \[
 184  M = <S_1>
 185 \]
 186 Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
 187 \[
 188  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
 189 \]
 190 Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
 191 \\
 192 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
 193 \[
 194 \begin{array}{l}
 195  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 196  \\
 197  \textrm{also:} \\
 198  <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
 199  <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
 200  <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
 201  \\
 202  wobei: \\
 203  \begin{array}{ll}
 204   |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
 205   |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
 206  \end{array}
 207 \end{array}
 208 \]
 209 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
 210 \[
 211  \mathbf{T} =
 212  \left(
 213  \begin{array}{cc}
 214  e^{K+h} & e^{-K} \\
 215  e^{-K} & e^{K-h}
 216  \end{array}
 217  \right)
 218  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
 219 \]
 220 Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
 221 \[
 222  \begin{array}{ll}
 223  Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
 224    & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
 225    & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 226  \end{array}
 227 \]
 228 Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
 229 \[
 230  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
 231 \]
 232 Daraus folgt:
 233 \[
 234  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
 235 \]
 236 Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
 237 \[
 238  \begin{array}{l}
 239   \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
 240   Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
 241   F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 242  \end{array}
 243 \]
 244 Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
 245 Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
 246 \[
 247  \begin{array}{ll}
 248   M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
 249     & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
 250     & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
 251     & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
 252
 253  \end{array}
 254 \]
 255 Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
 256 \\
 257 \setlength{\unitlength}{2cm}
 258 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 259  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 260  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 261  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 262  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 263  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 264  \put(0.2,1.4){$M$}
 265  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 266  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
 267 \end{picture}
 268 \\
 269 Erkenntnis:\\
 270 \begin{itemize}
 271 \item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
 272 \item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
 273 \end{itemize}
 274 F"ur $T=0$ kann obere Approximation nichtmehr verwendet werden, da gilt:
 275 \[
 276  \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
 277 \]
 278 Mann kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergagng liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
 279 \[
 280  \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
 281 \]
 282
 283 \subsection{2-dimensionale L"osung}
 284 W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
 285 \\
 286 Hamiltonian:
 287 \[
 288  H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
 289 \]
 290 Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
 291 \[
 292  H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
 293 \]
 294 wobei
 295 \[
 296 \begin{array}{ll}
 297  E(\mu_j,\mu_k) & \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\
 298  E(\mu_j)       & \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\
 299  \mu_j          & \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
 300 \end{array}
 301 \]
 302 Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
 303 \[
 304  <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
 305 \]
 306 Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
 307 \[
 308  Z = \textrm{Sp} \, mathbf{T}^N
 309 \]
 310 Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden Werden nur die Endresultate betrachtet.\\
 311 \\
 312 F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
 313 \[
 314  f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
 315 \]
 316 mit $K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
 317 \[
 318  m = \left\{
 319  \begin{array}{ll}
 320   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
 321   0 & : T > T_C
 322  \end{array} \right.
 323 \]
 324 F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
 325 \[
 326  2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
 327 \]
 328 In der N"ahe von $T=T_C$ erkennt man eine logarithmische Divergenz der spezifischen W"arme.
 329 \[
 330 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big) + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
 331 \]
 332 Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
 333 \\
 334 Fazit:
 335 \begin{itemize}
 336 \item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
 337 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
 338 \end{itemize}
 339
 340 \subsection{3-dimensionale L"osung}
 341 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
 342 \\
 343 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
 344
 345 \section{Monte Carlo Simulation}
 346 Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
 347 \\
 348 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
 349 \[
 350 \begin{array}{l}
 351  <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\
 352  p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\
 353  E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
 354 \end{array}
 355 \]
 356 Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht.
 357 \[
 358  <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
 359 \]
 360 $N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in der Computersimulation.
 361 \begin{itemize}
 362  \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
 363  \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s dir Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
 364 \end{itemize}
 365 Damit gilt:
 366 \[
 367  P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
 368 \]
 369 und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
 370 Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
 371 \[
 372  W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t)
 373 \]
 374 und somit gilt:
 375 \[
 376  \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
 377 \]
 378 Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
 379 \[
 380  W(A \rightarrow B) = \left\{
 381  \begin{array}{ll}
 382   e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
 383   1 & : \delta E < 0
 384  \end{array} \right.
 385 \]
 386 Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
 387 \begin{itemize}
 388 \item Gehe alle Gitterplaetze durch
 389 \item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
 390 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
 391 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Itterationen ($N^3$))
 392 \end{itemize}
 393
 394 \section{Anwendungen}
 395 \begin{itemize}
 396 \item Spingl"aser [\ref{lit8}]
 397  \begin{itemize}
 398  \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
 399  \item Beobachtungen:
 400   \begin{itemize}
 401   \item keine spontane Magnetisierung
 402   \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
 403   \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
 404   \end{itemize}
 405  \item Modell:
 406   \begin{itemize}
 407   \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
 408   \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
 409   \end{itemize}
 410  \end{itemize}
 411 \item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
 412  \begin{itemize}
 413   \item Traveling Salesman Problem:
 414    \begin{itemize}
 415    \item "Aufheizen" des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
 416    \item "Abk"uhlen des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
 417    \end{itemize}
 418   \item Ged"achtnis:
 419   \begin{itemize}
 420   \item Modell:
 421    \[
 422     \begin{array}{ll}
 423      S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
 424      S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
 425      S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
 426      J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
 427      \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
 428     \end{array}
 429    \]
 430   \item einige Eigenschaften
 431    \begin{itemize}
 432    \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
 433    \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
 434    \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
 435    \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
 436    \end{itemize}
 437   \end{itemize}
 438  \end{itemize}
 439 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 440  \[
 441   \begin{array}{ll}
 442    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
 443    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
 444    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
 445    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
 446   \end{array}
 447  \]
 448 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 449  \[
 450   \begin{array}{ll}
 451    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
 452    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
 453    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
 454   \end{array}
 455  \]
 456 \item weitere Anwendungen
 457  \begin{itemize}
 458  \item Quantum Game Theory
 459  \item duopoly markets
 460  \end{itemize}
 461 \end{itemize}
 462
 463 \appendix
 464 \section{Quellen}
 465 \begin{enumerate}
 466 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
 467 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
 468 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
 469 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
 470 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 471 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 472 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
 473 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
 474 \end{enumerate}
 475
 476 \end{document}