3 \section{Monte-Carlo-Simulation}
5 Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithemn basieren.
6 Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
7 Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
8 Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
10 \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
12 Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3,$ \ldots aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
13 Dabei gilt folgende Vorschrift:
14 \begin{equation} \label{eq:kon_m}
15 I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
17 \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
18 Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
19 Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
20 Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
21 Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
22 \begin{equation} \label{eq:kon_v}
23 a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
25 einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht.
26 Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.
28 \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
30 Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
31 Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
39 gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
41 \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
43 Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
44 Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
46 \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
48 Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
50 z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
51 \label{eq:gleichverteilte_r}
54 \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
55 \label{subsubsection:lin_g_p}
57 Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
61 az + b & 0 \leq z < Z \\
65 realisiert man durch folgende Transformation:
67 p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
68 \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
69 x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
71 Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
73 z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
75 So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
76 Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
78 z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
82 \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
83 \label{subsubsection:verwerf_meth}
85 Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
86 Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
87 Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
88 Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
89 Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
91 \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
92 \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
96 \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
97 \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
101 Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
102 Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
103 Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
104 Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
105 Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
107 \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
109 Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
110 Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein.
111 Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
112 Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
114 \subsection{Abbremsung von Ionen}
116 Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
117 Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
118 Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
119 Die Abbremsung der Ionen durch St"o"se mit den Atomkernen bezeichnet man als nukleare Bremskraft, die mit den Elektronen als elektronische Bremskraft.
121 \subsubsection{Bremsquerschnitt}
123 Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt.
125 S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
127 Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt, wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
128 $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
129 Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
131 - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
133 Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
134 Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
136 R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
139 Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
141 \subsubsection{Nukleare Bremskraft}
143 Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
144 Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
145 Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
146 Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelatische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
147 Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
149 Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
150 Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
151 Aus der Energieerhaltung folgt:
153 \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
155 Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
156 Aus der Impulserhaltung folgt,
158 \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
159 \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
161 wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
164 \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
165 \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
166 \label{img:scatter_lc}
170 Durch Transformation ins Schwerpunktsystem kann die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden.
173 \includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
174 \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem}
175 \label{img:scatter_cm}
178 Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
180 \vec v_c = \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,}
181 \label{eq:imp_cons_cm}
183 wobei $\vec v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist.
184 Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
186 \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
190 M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
193 erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
195 \vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
198 Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
200 \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
204 F"ur die Geschwindigkeiten des Ions und des Atomkerns im Schwerpunktsystem vor dem Sto"s gilt weiterhin:
206 \vec v_{Ion} = & \vec v_0 - \vec v_c = \frac{M_2}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,} \\
208 \vec v_{Atom} = & 0 - \vec v_c = - \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
209 \label{eq:v_atom_vor}
211 womit der Gesamtimpuls $M_1 \vec v_{Ion} + M_2 \vec v_{Atom}$ verschwindet.
212 Die Impulse der Teilchen sind vor und nach dem Sto"s entgegengesetzt gleich gro"s.
213 Zusammen mit der Energieerhaltung folgt daraus, dass die Betr"age der Geschwindigkeiten durch den Sto"s nicht ver"andert werden.
214 Die kinetische Energie beider Teilchen bleibt im Schwerpunktsystem einzeln erhalten.
216 Abbildung \ref{img:angle_conv} zeigt die daraus abgeleitet Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Atoms nach dem Sto"s im Labor- und im Schwerpunktsystem.
217 Die Transformation ist durch
219 \vec v_2 = \vec v_{Atom} + \vec v_c
222 Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem sowie der Ausdruck f"ur $v_2$ sind leicht zu erkennen.
225 \label{eq:angle_conv}
226 v_2 = & 2 v_c cos(\phi)
231 \includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
232 \caption{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
233 \label{img:angle_conv}
236 F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
238 T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
240 Aus \eqref{eq:v_2_abs} und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
242 T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
245 Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
246 Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist. Durch Einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
248 T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
249 \label{eq:final_delta_e}
251 Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
253 T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
254 \label{eq:delta_e_max}
257 Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
258 Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag, die Bremskraft, berechnet werden.
260 Unter der Annahme, dass Kr"afte nur entlang der Verbindungslinie zwischen Ion und Targetatom wirken, kann das Zweik"orperproblem auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
261 Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
263 \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
265 Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung.
267 \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
268 \label{eq:ang_mom_exp}
270 F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
272 l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
273 \label{eq:ang_mom_val}
275 L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
277 E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
279 nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
281 \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
283 und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
285 dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
287 kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
289 \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
291 Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
293 \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{\sqrt{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
294 \label{eq:theta_of_p}
296 Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
298 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden.
300 dN = & 2 \pi p dp \, n \\
301 d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp
303 Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
304 $\Theta$ ist eine Funtkion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
305 Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist diffenenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
307 d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} | \frac{dp}{d \Theta} | d \Omega
310 Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$ gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$ berechnet werden.
312 S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
315 F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
317 V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
319 Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
320 Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anfitten von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
322 \subsubsection{Elektronische Bremskraft}
324 Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
325 Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.
326 Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
327 Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
328 Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
329 F"ur hohe, nicht-relativistische Energien m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlusts herangezogen werden.
330 Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.
332 F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
333 Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also proportional zur Wurzel aus der Energie des Ions.
335 S_e(E) = k_L \sqrt{E}
337 Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beachtet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und der Targetatome.
338 Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, beachtet werden.
339 In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird eine Theorie vorgestellt die auch die Oszillationen erkl"art.
340 Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte fuer jedes Element zur"uckgef"uhrt.
341 Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.
343 \subsection{Implantationsprofil}
345 Mit den im letzten Abschnitt bestimmten Bremsquerschnitten $S_n$ uund $S_e$ kann nun mittels \eqref{eq:range} die mittlere Reichweite $R$ der Ionen angegeben werden.
346 Diese ist allerdings ungleich der mittleren Tife, in der das Ion zur Ruhe kommt, da das implantierte Ion seine Richtung nach jedem Sto"s ver"andern wird.
347 Die so erhaltene projezierte Reichweite $R_p$ und deren Standardabweichung $\Delta R_p$ k"onnen durch L"osung von Integro-Differentialgleichungen \cite{lss_2} berechnet werden.
349 Weiterhin wird in \cite{lss_2} vorgeschlagen, das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung anzun"ahern.
351 N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi \Delta R_p}} \exp \Big[ - \frac{(x - R_p)}{2 \Delta R_p^2} \Big] \textrm{,} \qquad D: \textrm{ Dosis}
354 \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
356 Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
357 Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden.
359 Das Programm folgt den Bahnen einer grossen Anzahl von Teilchen die in das Target implantiert werden.
360 Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
361 Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen auf Grund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
362 Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
363 Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
364 Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Taregt verlassen hat.
365 Das Target wird als amorph angenommen weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
366 Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
367 Das Teilchen verliert einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se und kontinuierlich auf Grund der elektronischen Bremskraft.
369 Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
370 Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Energie"ubertrag $T$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
372 Der Azimutwinkel $\Phi$ ist statistisch isotrop verteilt.
377 \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
379 Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen.
380 Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen.
381 Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden.
382 So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
383 Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
384 Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
385 Ein Ma"s f"ur die Konzentration der Strahlensch"adigung ist der Energieanteil, der in Form von Kernwechelswirkung an den Festk"orper abgegeben wurde \cite{brice1,brice2}.
386 Dieser ist prportional zu den erzeugten Leerstellen und komplexeren Defekten im Target \cite{stein_vook_borders}.
388 Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
390 N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
394 Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren.
395 Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht.
396 Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen.
397 Dieser kann an amorph-kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren.
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