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\chapter{Grundlagen}
\label{chapter:grundlagen}

  \section{Monte-Carlo-Simulation}

  Monte-Carlo-Simulationen sind numerische Computer-Experimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten.
  Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computer-Experiemnte auf stochastischen Modellen.
  Die Zuf"allgkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentlich Rolle.
  Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtest System untersucht wird.
  Eine solche Computer-Simulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
  Makroskopische, observable Gr"ossen sind, wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
  Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.

  Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist die relativ einfache Erzielung von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufwendig sind.
  Ein Beispiel hierf"ur ist das Ising Modell in drei Dimensionen, f"ur das bis jetzt keine analytische L"osung gefunden wurde.
  Die Idee besteht darin, f"ur die Berechnung der Zustandssumme 
  \begin{equation}
  Z = \sum_{i=1}^N e^{\frac{-E_i}{k_B T}} = Tr(e^{-\beta H})
  \end{equation}
  nicht den gesamten Raum der Konfigurationen, sondern nur statistisch ausgew"ahlte Punkte zu ber"ucksichtigen.
  Um die Genauigkeit der simulierten Eigenschaften des Systems in einer bestimmten Sollzeit zu verbessern, ist es n"otig die Zust"ande mit der Wahrscheinlichkeit entprechend ihres Beitrages zur Zustandssumme auszusuchen.
  Dieser Ansatz wird als \dq importance sampling\dq{} bezeichnet.
  F"ur das Ising Modell wird der Metropolis-Algorithmus verwendet, der die Dynamik des Systems in Form eines \dq update algorithm\dq{} f"ur die Mikrozust"ande vorschreibt.

  Die Monte-Carlo-Simulation ben"otigt Zufallszahlen, welche auf physikalische Gr"o"sen abgebildet werden.
  Erstaunlicherweise funktioniert diese Art der Simulation auch mit, vom Computer erzeugten, deterministischen Pseudozufallszahlen.
  Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
  Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.

    \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}

    Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode \cite{knuth,nr}, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3, \ldots$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
    Dabei gilt folgende Vorschrift:
    \begin{equation} \label{eq:kon_m}
    I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
    \end{equation}
    \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
    Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
    Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m$ und  $I_0$ ab.
    Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
    Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
    \begin{equation} \label{eq:kon_v}
    a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
    \end{equation}
    einen minimalen Standard was die Qualit"at der Zufallszahlen angeht.
    Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.

    \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}

    Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
    Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
    \begin{equation}
    p(x)dx = \left\{
      \begin{array}{ll}
      dx & 0 \leq x < 1 \\
      0  & \textrm{sonst}
      \end{array} \right.
    \end{equation}
    gegeben ist. Au"serdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
    \begin{equation}
    \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
    \end{equation}
    Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
    Einige in dieser Arbeit ben"otigten Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.

      \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}

      Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
      \begin{equation}
      z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
      \label{eq:gleichverteilte_r}
      \end{equation}

      \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
      \label{subsubsection:lin_g_p}

      Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
      \begin{equation}
      p(z) = \left\{
        \begin{array}{ll}
        az + b & 0 \leq z < Z \\
        0 & \textrm{sonst}
        \end{array} \right.
      \end{equation}
      realisiert man durch folgende Transformation:
      \begin{eqnarray}
        p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
        \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
        x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
      \end{eqnarray}
      Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
      \begin{equation}
      z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
      Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
      \begin{equation}
      z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
      \end{equation}
      berechnet werden.

      \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
      \label{subsubsection:verwerf_meth}

      Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
      Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
      Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
      Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
      Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
      \begin{enumerate}
        \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
        \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
      \end{enumerate}
      \begin{figure}
        \begin{center}
        \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
        \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$.}
        \label{img:rej_meth}
        \end{center}
      \end{figure}
      Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
      Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen. 
      Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
      Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
      Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.

  \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}

  Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation muss die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
  Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgelenkt und abgebremst.
  Es stellt sich ein entsprechendes Implantationsprofil ein.
  Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
  Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.

    \subsection{Abbremsung von Ionen}

    Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
    Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
    Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.

      \subsubsection{Bremsquerschnitt}

      Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt:
      \begin{equation}
      S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n} \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
      $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
      Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
      \begin{equation}
      - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
      Ist dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
      \begin{equation}
      R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
      \label{eq:range}
      \end{equation}
      Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.

      \subsubsection{Nukleare Bremskraft}

      Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
      Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
      Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
      Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelastische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
      Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.

      Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden. 
      Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
      Aus der Energieerhaltung folgt:
      \begin{equation}
      \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
      \end{equation}
      Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
      Aus der Impulserhaltung folgt,
      \begin{eqnarray}
      \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
      \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
      \end{eqnarray}
      wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist. 
      \begin{figure}
        \begin{center}
        \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
        \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem.}
        \label{img:scatter_lc}
        \end{center}
      \end{figure}

      Durch Transformation ins Schwerpunktsystem kann die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden.
      \begin{figure}
        \begin{center}
        \includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
        \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem.}
        \label{img:scatter_cm}
        \end{center}
      \end{figure}
      Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
      \begin{equation}
      \vec v_c = \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,}
      \label{eq:imp_cons_cm}
      \end{equation}
      wobei $\vec v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist.
      Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
      \begin{equation}
      \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
      \end{equation}
      also
      \begin{equation}
      M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
      \label{eq:m_red}
      \end{equation}
      erh"alt man f"ur die Schwerpunktbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
      \begin{equation}
      \vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
      \label{eq:v_sp}
      \end{equation}
      Daraus l"asst sich ableiten, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
      \begin{equation}
      \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
      \label{eq:inv_prop}
      \end{equation}

      F"ur die Geschwindigkeiten des Ions und des Atomkerns im Schwerpunktsystem vor dem Sto"s gilt weiterhin:
      \begin{eqnarray}
      \vec v_{Ion} = & \vec v_0 - \vec v_c = \frac{M_2}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,} \\
      \label{eq:v_ion_vor}
      \vec v_{Atom} = & 0 - \vec v_c = - \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
      \label{eq:v_atom_vor}
      \end{eqnarray}
      Der Gesamtimpuls $M_1 \vec v_{Ion} + M_2 \vec v_{Atom}$ verschwindet.
      Die Impulse der Teilchen sind vor und nach dem Sto"s entgegengesetzt gleich gro"s.
      Zusammen mit der Energieerhaltung folgt daraus, dass die Betr"age der Geschwindigkeiten durch den Sto"s nicht ver"andert werden.
      Die kinetische Energie beider Teilchen bleibt im Schwerpunktsystem einzeln erhalten.

      Abbildung \ref{img:angle_conv} zeigt die daraus abgeleitet Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Atoms nach dem Sto"s im Labor- und im Schwerpunktsystem.
      Die Transformation ist durch
      \begin{equation}
      \vec v_2 = \vec v_{Atom} + \vec v_c
      \end{equation}
      gegeben.
      Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem, sowie der Ausdruck f"ur $v_2$, sind leicht zu erkennen.
      \begin{eqnarray}
      \Phi = & 2 \phi \\
      \label{eq:angle_conv}
      v_2 = & 2 v_c cos(\phi)
      \label{eq:v_2_abs}
      \end{eqnarray}
      \begin{figure}
        \begin{center}
        \includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
        \caption{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem und im Laborsystem.}
        \label{img:angle_conv}
        \end{center}
      \end{figure}
      F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
      \begin{equation}
      T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      Aus \eqref{eq:v_2_abs} und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
      \begin{equation}
      T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
      \label{eq:delta_e}
      \end{equation}
      Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$. 
      Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist. Durch Einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
      \begin{equation}
      T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
      \label{eq:final_delta_e}
      \end{equation}
      Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
      \begin{equation}
      T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
      \label{eq:delta_e_max}
      \end{equation}
     
      Bis jetzt ist der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
      Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag, die Bremskraft,  berechnet werden.

      Unter der Annahme, dass Kr"afte nur entlang der Verbindungslinie zwischen Ion und Targetatom wirken, kann das Zweik"orperproblem  auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
      Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange-Gleichung gel"ost werden.
      \begin{equation}
      \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung.
      \begin{equation}
      \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
      \label{eq:ang_mom_exp}
      \end{equation}
      F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
      \begin{equation}
      l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
      \label{eq:ang_mom_val}
      \end{equation}
      L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
      \begin{equation}
      E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
      \end{equation}
      nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
      \begin{equation}
      \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
      \end{equation}
      und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
      \begin{equation}
      dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
      \end{equation}
      kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ darstellen, abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens.
      \begin{equation}
      \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
      \end{equation}
      Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
      \begin{equation}
      \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{\sqrt{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
      \label{eq:theta_of_p}
      \end{equation}
      Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Sto"sparameter $p$ bestimmt werden.

      Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden.
      \begin{eqnarray}
      dN = & 2 \pi p dp \, n \\
      d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp
      \end{eqnarray}
      Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
      $\Theta$ ist eine Funktion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
      Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
      \begin{equation}
      d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \left| \frac{dp}{d \Theta} \right| d \Omega
      \end{equation}

      Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$, berechnet werden.
      \begin{equation}
      S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
      \end{equation}

      Zuletzt muss noch ein geeignetes interatomares Potential $V(r)$ zur Beschreibung der Wechselwirkung der Ionen mit dem Festk"orper gefunden werden.
      F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
      \[
      V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
      \]
      Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
      Die Abschirmfunktion beachtet die Abschirmung des Coulombpotentials der Kerne des Ions und des Targetatoms durch die Elektronen.
      Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anpassen von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
      Diese ist in guter N"aherung f"ur alle Ion-Target-Kombinationen g"ultig.
      Desweiteren schl"agt Biersack in \cite{ziegler_biersack_littmark} eine analytische N"aherungsformel zur einfachen Berechnung des Ablenkwinkels $\Theta$ aus dem Sto"sparameter $p$ vor.

      \subsubsection{Elektronische Bremskraft}

      Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
      Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.
      Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
      Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
      Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
      F"ur hohe, nicht-relativistische Energien (kleiner $10 Mev/amu$) m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlustes herangezogen werden.
      Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.

      F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
      Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also proportional zur Wurzel aus der Energie des Ions.
      \begin{equation}
      S_e(E) = k_L \sqrt{E}
      \label{eq:el_sp}
      \end{equation}
      Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beinhaltet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und des Targetatoms.
      Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
      In \cite{ziegler_biersack_littmark} wird die ZBL-Theorie vorgestellt, die auch die Oszillationen erkl"art.
      Dabei werden alle Bremskr"afte auf experimentell genau bekannte Wasserstoff-Bremskr"afte f"ur jedes Element zur"uckgef"uhrt.
      Die Wasserstoff-Bremskr"afte werden mittels der Brandt-Kitagawa-Theorie f"ur schwere Ionen im gleichen Target skaliert.

    \subsection{Implantationsprofil}

    Mit den im letzten Abschnitt bestimmten Bremsquerschnitten $S_n$ und $S_e$ kann nun mittels \eqref{eq:range} die mittlere Reichweite $R$ der Ionen angegeben werden.
    Diese ist allerdings ungleich der mittleren Tiefe, in der das Ion zur Ruhe kommt, da das implantierte Ion seine Richtung nach jedem Sto"s ver"andern wird.
    Die so erhaltene projezierte Reichweite $R_p$ und deren Standardabweichung $\Delta R_p$ k"onnen durch L"osung von Integro-Differentialgleichungen \cite{lss_2} berechnet werden.

    Weiterhin wird in \cite{lss_2} vorgeschlagen, das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung anzun"ahern.
    \begin{equation}
    N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi \Delta R_p}} \exp \Big[ - \frac{(x - R_p)}{2 \Delta R_p^2}  \Big] \textrm{,} \qquad D: \textrm{ Dosis}
    \end{equation}

    \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}

    Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
    Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden.

    Das Programm folgt den Bahnen einer gro"sen Anzahl von Teilchen, die in das Target implantiert werden.
    Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
    Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen auf Grund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
    Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
    Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
    Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert, wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen, oder das Teilchen das Target verlassen hat.
    Das Target wird als amorph angenommen, weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
    Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
    Das Teilchen verliert neben den kontinuierlichen Energieverlust auf Grund der elektronischen Bremskraft einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se.
   
    Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
    Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Sto"sparamter $p$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.

    Es gibt Ans"atze die freie Wegl"ange zuf"allig zu bestimmen.
    F"ur niedrige Ionenenergien (kleiner $0,1 Mev/amu$) reicht es jedoch den amorphen Festk"orper durch eine feste freie Wegl"ange $l$ zu modellieren.
    Diese ist gegeben durch den mittleren Abstand der Targetatome.
    \begin{equation}
    l = N^{- \frac{1}{3}}
    \end{equation}
    F"ur gr"o"sere Energien muss der M"oglichkeit gr"o"serer freier Wegl"angen Rechnung getragen werden und eine entsprechende Abbildung von $R_1$ auf $l$ ist n"otig \cite{ziegler_biersack_littmark}.

    Danach wird der Sto"sparameter durch
    \begin{equation}
    p = p_{max} R_2
    \end{equation}
    bestimmt.
    Dabei gilt f"ur das Maximum $p_{max}$ des Sto"sparameters: $\pi p^2_{max} l = N^{-1}$.

    Der Azimutwinkel $\Phi$ ist statistisch isotrop verteilt.
    \begin{equation}
    \Phi = 2 \pi R_3
    \end{equation}

    Mit Hilfe der von Biersack entwickelten \dq magic formula\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark} kann aus dem Sto"ssparamter $p$ analytisch der Streuwinkel $\Theta$ errechnet werden.
    Mit Hilfe des Ablenkwinkels wird dann durch \eqref{eq:final_delta_e} der Energie"ubertrag $\Delta E$ bestimmt.
    Der elektronische Energieverlust ergibt sich aus dem Produkt der freien Wegl"ange $l$ mit dem Ausdruck f"ur die elektronische Bremskraft $S_e(E)$ aus \eqref{eq:el_sp} und der atomaren Dichte $N$.
    Durch die freie Wegl"ange und den Ablenk- und Azimutwinkel ist der Ort des n"achsten Sto"sprozesses festgelegt.
    Die Koordinaten und der Energie"ubertrag jedes Sto"ses werden protokolliert, womit die nukleare und elektronische Bremskraft bestimmt ist.
    Die Koordinaten der Ionen, die unter einen bestimmten Energiebetrag abgefallen sind, werden ebenfalls durch das Programm festgehalten.
    Damit ist das Implantationsprofil gegeben.

    \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}

    Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen.
    Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen.
    Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden.
    So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
    Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
    Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
    Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
    \begin{equation}
    N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
    \end{equation}
    abgesch"atzt werden.

    Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren.
    Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht.
    Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen.
    Dieser kann an amorph-kristal-linen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen \cite{jackson} oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren \cite{spinella}.
    Man spricht von Ionenstrahl-induzierter Defektausheilung beziehungsweise Rekristallisation (IBIC, kurz f"ur: Ion Beam Induced Crystallization).

    Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ f"ur die in einem nuklearen Sto"s deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
    In diesem Fall ergibt sich die Amorphisierungsdosis $D_0$ aus der nuklearen Bremskraft $S_n$ zu:

    \begin{equation}
    D_0 = \frac{e_c}{S_n} \quad \textrm{.}
    \end{equation}

    Bei hohen Temepraturen finden Ausheilvorg"ange statt, was eine Erh"ohung der Amorphisierungsdosis zur Folge hat.
    Das Amorphisierungsmodell nach More-head und Crowder \cite{morehead_crowder} geht von einer erh"ohten Konzentration an Leerstellen im Zentrum und einer erh"ohten Konzentration an Zwischengitteratomen im Randbereich einer Sto"skaskade aus.
    W"ahrend der Abklingzeit der Sto"skaskade ($\sim 10^{-9} s$) k"onnen Leerstellen durch thermische Diffusion aus dem Zentrum der Sto"skaskade hearsuwandern und mit Zwischengitteratomen rekombinieren.
    Dies hat eine Verkleinerung des zentralen, amorph werdenden Volumens zur Folge.
    Der Vorgang ist abh"angig von der Implantationstemperatur, welche die Diffusionsl"ange der Leerstellen bestimmt und der nuklearen Bremskraft, die das direkte Sch"adigungsvolumen festlegt.
    Die Amorphisierungsdosis lautet somit

    \begin{equation}
    D(T) = D_0 \Big[ 1 - C \, exp\Big( - \frac{E_{diff}}{2 k_B T} \Big) \Big] \quad \textrm{,}
    \end{equation}
    wobei $D_0 = \frac{E_d n}{S_n}$ die Amorphisierungsdosis f"ur $T \rightarrow 0 K$, $C = const. \, S_n^{-\frac{1}{2}}$, $E_{diff}$ die Aktivierungsenergie f"ur Leerstellendiffusion, $E_d$ die Atomverlagerungsenergie und $n$ die atomare Dichte ist.
    
    Nach dem "Uberlappungsmodell nach Gibbons \cite{gibbons} hinterl"asst jedes Ion ein zylinderf"ormiges, defektreiches Volumen mit der Grundfl"ache $A_i$.
    Amorphisierung tritt ein, wenn $m$ Ionen den selben Bereich gesch"adigt haben, also nach $m-1$-facher "Uberlappung. 
    Der "Uberlappungsparameter $m$ ist im wesentlichen abh"angig von der Ionenmasse.
    Das Verh"altnis des amorphen Fl"achenanteils $A_a$ zur gesamt bestrahlten Fl"ache $A_0$ nach einer Dosis $D$ ergibst sich zu:
    \begin{equation}
    \frac{A_a}{A_0} = 1 - \Big[ \sum^{m-1}_{k=0} \frac{A_i D}{k!} \, exp(A_i D) \Big] \quad \textrm{.}
    \end{equation}

    Dennis und Hale \cite{dennis_hale} erreichten nach diesem Modell f"ur Argon- und Krypton-Ionen in Silizium die beste "Ubereinstimmung mit experimentell bestimmten Sch"adigungsdaten f"ur $m=2$ und $m=3$.
    Dies deutet darauf hin, dass selbst bei schweren Ionen ausschliesslich direkte Amorphisierung ($m=1$) uunwahrscheinlich ist.
    Bei niedrigen Dosen zeigt sich auf Grund der direkten Amorphisierung ein linearer Zusammenhang zwischen dem amorphen Fl"achenanteil und der Dosis.
    Der lineare Verlauf geht mit steigender Dosis mit der Bildung amorpher Gebiete durch "Uberlappung in einen maximal quadratischen Anstieg "uber.
    Der Verlauf s"attigt schliesslich auf Grund der Abnahme ungesch"adigter und kristallin-gesch"adigter Fl"achenanteile.

    Da das "Uberlappungsmodell keine temperaturabh"angigen Ausheilmechanismen ber"ucksichtigt und somit lediglich f"ur tiefe Temperaturen geeignet ist wurde von Hecking \cite{hecking1,hecking2} ein neues Defekterzeugungs- und Defektwechselwirkungsmodell entwickelt.
    Ein eingeschossenes Ion "ubertr"agt seine Energie in Einzelst"o"sen auf die Targetatome, die ihrerseits weitere Targetatome ansto"sen und so eine Sto"skaskade bilden.
    Ist die Energie aller verlagerten Atome unter die Energie abgesunken welche zur weiteren Verlagerung von Atomen n"otig ist, hat sich die kinetische Energie des einfallenden Ions in Schwingungsenergie der im Kaskadenvolumen enthaltenen Atome umgewandelt.
    Dieses r"aumlich begrenzte Gebiet sehr hoher Energiedichte, in dem die kollektiv angeregten Atome einen quasi-fl"ussigen Zustand bilden, nennt man einen Energie-Spike.
    Die thermische Relaxation dieses Spikes kann als W"armediffusionsprozess beschrieben werden.
    Erreicht die Kristallisationsfront den Kaskadenkern bevor die Kristallisationstemperatur unterschritten wird, kann der Spike vollst"andig rekristallisieren.
    Dies ist bei hohen Targettemperaturen der Fall, wenn den Leerstellen und Zwischengitteratomen auf Grund der langsamen Abku"hlung genug Zeit zur Rekombination bleibt.
    Bei kleinen Temperaturen und einer darausfolgenden schnellen W"armediffusion kann wegen Unvollst"andiger Rekristallisation ein amorpher Kaskadenkern zur"uckbleiben.
    Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Bildung amorpher Volumina steigt mit fallender Temepratur.
    Neben der Implantationstemperatur h"angt der Defektzustand entscheidend von der Kaskadengeometrie und dem Sch"adigungszustand der Kaskadenumgebung ab.
    Ein hoher Sch"adigungsgrad einer Kaskadenumgebung erschwert die epitaktische Rekristallisation.