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   1 \chapter{Grundlagen}
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   3   \section{Monte-Carlo-Simulation}
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   5   Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithemn basieren.
   6   Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
   7   Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
   8   Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
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  10     \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
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  12     Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3,$ \ldots aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
  13     Dabei gilt folgende Vorschrift:
  14     \begin{equation} \label{eq:kon_m}
  15     I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
  16     \end{equation}
  17     \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
  18     Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
  19     Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
  20     Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
  21     Nach Park und Miller \cite{park_miller} erf"ullt man mit
  22     \begin{equation} \label{eq:kon_v}
  23     a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
  24     \end{equation}
  25     einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht.
  26     Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.
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  28     \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
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  30     Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
  31     Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
  32     \begin{equation}
  33     p(x)dx = \left\{
  34       \begin{array}{ll}
  35       dx & 0 \leq x < 1 \\
  36       0  & \textrm{sonst}
  37       \end{array} \right.
  38     \end{equation}
  39     gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
  40     \begin{equation}
  41     \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
  42     \end{equation}
  43     Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
  44     Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
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  46       \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
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  48       Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
  49       \begin{equation}
  50       z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
  51       \end{equation}
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  53       \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
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  55       Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
  56       \begin{equation}
  57       p(z) = \left\{
  58         \begin{array}{ll}
  59         az + b & 0 \leq z < Z \\
  60         0 & \textrm{sonst}
  61         \end{array} \right.
  62       \end{equation}
  63       realisiert man durch folgende Transformation:
  64       \begin{eqnarray}
  65         p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
  66         \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
  67         x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
  68       \end{eqnarray}
  69       Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
  70       \begin{equation}
  71       z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
  72       \end{equation}
  73       So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
  74       Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
  75       \begin{equation}
  76       z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
  77       \end{equation}
  78       berechnet werden.
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  80       \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
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  82       Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
  83       Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung.
  84       Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
  85       Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
  86       Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
  87       \begin{enumerate}
  88         \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
  89         \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
  90       \end{enumerate}
  91       \begin{figure}[h]
  92         \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
  93         \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
  94         \label{img:rej_meth}
  95       \end{figure}
  96       Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
  97       Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
  98       Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
  99       Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
 100       Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
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 102   \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
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 104   Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
 105   Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein.
 106   Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
 107   Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
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 109     \subsection{Abbremsung von Ionen}
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 111     Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
 112     Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
 113     Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
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 115       \subsubsection{Bremsquerschnitt}
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 117       Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt.
 118       \begin{equation}
 119       S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
 120       \end{equation}
 121       Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt, wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
 122       $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
 123       Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
 124       \begin{equation}
 125       - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
 126       \end{equation}
 127       Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
 128       Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
 129       \begin{equation}
 130       R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
 131       \end{equation}
 132       Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
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 134       \subsubsection{Nukleare Bremskraft}
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 136       Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
 137       Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
 138       Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
 139
 140       Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
 141       Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion.
 142
 143       Aus der Energieerhaltung folgt:
 144       \begin{equation}
 145       \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
 146       \end{equation}
 147       Dabei ist $v_0$ die anfaengliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
 148
 149       Aus der Impulserhaltung folgt,
 150       \begin{eqnarray}
 151       \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
 152       \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
 153       \end{eqnarray}
 154       wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
 155       \begin{figure}[h]
 156         \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
 157         \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
 158         \label{img:scatter_lc}
 159       \end{figure}
 160
 161       \subsubsection{Elektronische Bremskraft}
 162
 163     \subsection{Implantationsprofil}
 164
 165     \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}