nlsop/diplom/simulation.tex

   1 \chapter{Simulation}
   2 \label{chapter:simulation}
   3
   4   Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
   5   Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was kurz f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amelle und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations{\bf P}rozess steht.
   6   Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
   7   Die genauen Daten sind:
   8   \begin{itemize}
   9     \item Energie: $E=180 keV$
  10     \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$
  11     \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$
  12     \item Imlantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
  13     \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$
  14   \end{itemize}
  15   Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
  16   Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft.
  17   Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
  18   Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM} Ergebnissen werden besprochen.
  19   Das Kapitel schliesst mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.
  20
  21   \section{Annahmen der Simulation}
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  23     \subsection{Unterteilung des Targets}
  24     \label{subsection:unterteilung}
  25
  26     Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
  27     \begin{figure}[h]
  28     \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
  29     \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohelnstoffkonzentration}
  30     \label{img:sim_gitter}
  31     \end{figure}
  32     Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
  33     Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
  34     Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot) oder ist kristallin (blau).
  35     Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
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  37     Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gross und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
  38     Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
  39
  40     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
  41     \label{subsection:a_and_r}
  42
  43     Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
  44     Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Aamorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
  45     \begin{itemize}
  46       \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
  47       \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
  48       \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte}
  49     \end{itemize}
  50     Amorphisierung zusammen.
  51     Sie wird wie folgt berechnet:
  52     \begin{equation}
  53     p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}}
  54     \label{eq:p_ca_local}
  55     \end{equation}
  56
  57     Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
  58     Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen.
  59     Sie hat keine Einheit.
  60     Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
  61
  62     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
  63     $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskosntante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
  64
  65     Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene, da nur diese Spannungen aus"uben, zusammen.
  66     Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proprtional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
  67     Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amoprhen Gebiet vorhanden ist, desto groesser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
  68     Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
  69     $p_s$ ist wieder Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
  70
  71     Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
  72     \begin{equation}
  73     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
  74     \label{eq:p_ac_local}
  75     \end{equation}
  76     angenommen.
  77     Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
  78     F"ur die Rekristallisation ist Strukturinformation krsitalliner Nachbarschaft notwendig.
  79     Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
  80     Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen.
  81     Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
  82     \begin{equation}
  83     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
  84     \label{eq:p_ac_genau}
  85     \end{equation}
  86     mit
  87     \begin{equation}
  88     \delta (\vec r) = \left\{
  89     \begin{array}{ll}
  90       1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
  91       0 & \textrm{sonst} \\
  92     \end{array}
  93     \right.
  94     \label{eq:dedltafunc}
  95     \end{equation}
  96
  97     Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter.
  98     Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebiss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
  99     Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
 100
 101     \subsection{Diffusion}
 102
 103     Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohelnstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
 104     Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben.
 105     In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
 106     Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
 107     Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
 108     Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
 109     Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
 110
 111     Prinzipiell sollte man den Kohlenstoff"ubertrag abh"angig von dem bereits vorhandenen Kohlenstoff in dem amorphen Volumen bestimmen.
 112     Da die implantierte Dosis maximal die St"ochiometridosis und der Parameter $d_r$ gro"s genug gew"ahlt ist, kommt es nicht zur "Ubers"attigung.
 113     Der Kohlenstoff in kristallinen Gebieten ist also immer bestrebt in amorphe Gebiete zu diffundieren um die sehr viel geringere S"attigung im Kristallinen zu reduzieren.
 114
 115     \subsection{Sputtern}
 116
 117     Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
 118     Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in der Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
 119     Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
 120
 121   \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen}
 122
 123   Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet.
 124   Stattdessen werden die von {\em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet.
 125   Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
 126   Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP}  wichtige, Statistiken eingegangen.
 127
 128     \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
 129
 130     \begin{figure}[h]
 131     \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps}
 132     \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
 133     \label{img:bk_impl_p}
 134     \end{figure}
 135     Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
 136     Die gestrichelte Linie markiert das Implantationsmaximum.
 137     Sputtereffekte und Abweichungne auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt.
 138
 139     Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
 140     Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
 141
 142     \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
 143     \label{subsection:parse_trim_coll}
 144
 145     Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind.
 146     Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
 147     Mit einem zur {\em NLSOP} Suite geh"orendem Programm kann diese Datei ausgewertet werden.
 148     Die Daraus gewonnen Ekenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
 149
 150     \begin{figure}[h]
 151     \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
 152     \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)}
 153     \label{img:trim_coll}
 154     \end{figure}
 155     Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die Energieabgabe und Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit der Tiefe.
 156     Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
 157     Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
 158     Die durchschnittliche Energieabgabe durch einen Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
 159     Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
 160     Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amoprhisierungswahrscheinlichkeit bei.
 161
 162     Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
 163     Sie entspricht der nuklearen Bremskraft.
 164
 165     \begin{figure}[h]
 166     \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps}
 167     \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
 168     \label{img:trim_nel}
 169     \end{figure}
 170     Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
 171     Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgab.
 172     Der Unterschied liegt daran, dass letzteres Profil durch eine gr"ossere Anzahl von {\em TRIM}-Simulationsschritten ermittelt wurde.
 173     Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
 174
 175     Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen jedoch mehr als nur eine Kollision mit den Targetatomen bis es zur Ruhe kommt.
 176     Nach dem Auswertungsprogramm hat ein Ion durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen bei den gegebenen Bedingungen zur Folge.
 177     Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
 178     Das Auswertungsprogramm z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantierten Ion.
 179     Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
 180     Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl also.
 181     Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
 182     Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
 183     Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
 184
 185   \section{Simulationsalgorithmus}
 186
 187   Die Simulation kann in drei Abschnitte geliedert werden.
 188   Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
 189
 190   Wenn pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
 191   Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
 192   Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
 193   \begin{equation}
 194   D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
 195   \label{eq:dose_steps}
 196   \end{equation}
 197
 198   Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
 199
 200     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
 201     \label{subsection:a_r_step}
 202
 203     Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
 204     Zun"achst muss das gestossene Volumen ausgew"ahlt werden.
 205     Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
 206     Zun"achst werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
 207     Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
 208     Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
 209     Somit hat man den Otrsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt.
 210     Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
 211     Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
 212     Es gibt folgende M"oglichkeiten:
 213     \begin{enumerate}
 214     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
 215           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu Amorph.
 216           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 217     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
 218           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu Kristallin.
 219           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 220     \end{enumerate}
 221
 222     Der Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
 223
 224     \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
 225
 226     Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
 227     Die Wahl des Volumens in dem das passiert ist analog zur Wahl des getroffenen Volumens.
 228     Jedoch wird die Tiefe durch eine Zufallszahl, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung der Reichweitenverteilung entspricht, bestimmt.
 229     Zur Erzeugung der Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
 230
 231     In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
 232
 233     \subsection{Diffusion und Sputtern}
 234
 235     Die Diffusions-Routine ist wie folgt realisiert.
 236     Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
 237     Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumen der Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
 238     Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
 239     Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
 240
 241     Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von $3 nm$ enstpricht ausgef"uhrt.
 242     Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
 243     \begin{equation}
 244     S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
 245     \end{equation}
 246     Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
 247     Dies geschieht wie folgt.
 248     Der Inhalt der Eben $i$ wrd auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
 249     Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
 250     Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
 251     Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
 252
 253     Dies macht allerdings nur Sinn wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
 254
 255     Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} bestimmt werden.
 256     Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen.
 257
 258   \section{Simulierte Tiefenbereiche}
 259   \label{section:sim_tiefenbereich}
 260
 261   Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms, die verschiedene Tiefenbereiche, im Folgenden Simulationsfenster genannt, simulieren.
 262
 263   Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zu Beginn der durchgehenden Schicht.
 264   Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$, und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
 265
 266   Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
 267   Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet.
 268
 269   Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefen-Koordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
 270   Dabei sind $s$ unnd $s_0$ die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreibende Simulationsparameter.
 271   Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
 272   Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefen-Koordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
 273   Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend wird das linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet.
 274   Ausserdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
 275   Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters stehen bleiben.
 276   Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Implantationskurve $I(x)$ bis $300 nm$ zur Fl"ache der gesamten Implantationskurve ist.
 277   \begin{equation}
 278   n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} I(x) dx}{\int_0^{\infty} I(x) dx}
 279   \end{equation}
 280
 281   Da sowohl die Reichweitenverteilung als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist kann Sputtern nicht beachtet werden.
 282   Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt "moglich.
 283
 284   Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
 285   Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen grossen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
 286   Da jedoch das Konzentartionsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert werden darf, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
 287   Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
 288   Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in weiteren Simulationen ausgeschlossen wurde.
 289   Als Relikt bleibt die Option die Diffusion in $z$-Richtung auszuschalten.
 290
 291   In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
 292   Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$.
 293   Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
 294
 295   Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohelnstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
 296
 297    Da sowohl der nukleare Energieverlust und die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
 298    Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
 299
 300   \section{Test der Zufallszahlen}
 301
 302   F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
 303   Es gibt viele statistische Tests eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen.
 304
 305   Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren.
 306   Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
 307
 308   Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
 309   Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen der Zufallszahlensequenz.
 310
 311   \begin{figure}[h]
 312   \includegraphics[width=12cm]{random.eps}
 313   \caption{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.}
 314   \label{img:random_distrib}
 315   \end{figure}
 316   Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
 317
 318   Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}.
 319   Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen.
 320
 321   Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben.
 322   Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
 323   Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
 324
 325   Die H"aufigkeit der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz) stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
 326
 327   \section{Ablaufschema}
 328
 329   Das Ablaufshema ist aus Platzgr"unden in zwei Teile gegliedert.
 330   Abbildung \ref{img:flowchart1} zeigt das Ablaufshema des Amorphisierungs- und Rekristallisationsvorgangs.
 331   In Abbildung \ref{img:flowchart2} wird der Kohlenstoffeinbau sowie Diffusion und Sputtern behandelt.
 332
 333   \begin{figure}[h]
 334   \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
 335
 336     \rput(6,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
 337
 338     \rput(6,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
 339       Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
 340       $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
 341       $R_4 \in [0,1[$
 342     }}}}
 343     \ncline[]{->}{start}{random1}
 344
 345     \rput(6,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
 346       Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$
 347     }}}}
 348     \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
 349
 350     \rput(6,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{
 351       Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$:
 352       \[
 353       \begin{array}{lll}
 354       p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\
 355       p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big)
 356       \end{array}
 357       \]
 358       \[
 359       \delta (\vec r) = \left\{
 360         \begin{array}{ll}
 361         1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
 362         0 & \textrm{sonst} \\
 363         \end{array}
 364       \right.
 365       \]
 366     }}}}
 367     \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca}
 368
 369     \rput(6,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
 370     \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
 371
 372     \rput(3,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
 373     \rput(9,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
 374     \ncline[]{->}{status}{cryst}
 375     \lput*{0}{nein}
 376
 377     \ncline[]{->}{status}{amorph}
 378     \lput*{0}{ja}
 379
 380     \rput(3,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}}
 381     \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph}
 382     \lput*{0}{ja}
 383
 384     \rput(9,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}}
 385     \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst}
 386     \lput*{0}{ja}
 387
 388     \rput(6,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}}
 389
 390     \rput(6,6){\pnode{h_2}}
 391     \ncline[]{amorph}{h_2}
 392     \ncline[]{->}{h_2}{check_h}
 393     \lput*{0}{nein}
 394
 395     \rput(6,6){\pnode{h_3}}
 396     \ncline[]{cryst}{h_3}
 397     \ncline[]{->}{h_3}{check_h}
 398     \lput*{0}{nein}
 399
 400     \rput(13,3){\pnode{h_4}}
 401     \rput(13,16){\pnode{h_5}}
 402     \ncline[]{check_h}{h_4}
 403     \ncline[]{h_4}{h_5}
 404     \lput*{0}{nein}
 405     \ncline[]{->}{h_5}{random1}
 406
 407     \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h}
 408     \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h}
 409
 410     \rput(6,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
 411     \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1}
 412     \lput*{0}{ja}
 413
 414   \end{pspicture}
 415   \caption{{\em NLSOP} Ablaufshema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
 416   \label{img:flowchart1}
 417   \end{figure}
 418
 419   \begin{figure}[h]
 420   \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
 421
 422     \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
 423
 424     \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{
 425       Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
 426       $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
 427     }}}}
 428     \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
 429
 430     \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
 431       Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
 432     }}}}
 433     \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i}
 434
 435     \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
 436       Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
 437     }}}}
 438     \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
 439
 440     \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
 441     \ncline[]{->}{inc_c}{is_d}
 442
 443     \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
 444     \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
 445     \lput*{0}{nein}
 446
 447     \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
 448     \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
 449     \lput*{0}{ja}
 450
 451     \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
 452     \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
 453
 454     \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
 455       Gehe alle/verbleibende\\
 456       direkte Nachbarn durch
 457     }}}}
 458     \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
 459     \lput*{0}{ja}
 460
 461     \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
 462     \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
 463
 464     \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
 465       "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
 466     }}}}
 467     \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
 468     \lput*{0}{ja}
 469
 470     \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
 471     \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
 472     \rput(8.5,5){\pnode{h1}}
 473     \ncline[]{is_cryst}{h1}
 474     \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}}
 475     \ncline[]{->}{h1}{h2}
 476     \lput*{0}{nein}
 477     \rput(13,3){\pnode{h3}}
 478     \ncline[]{check_dn}{h3}
 479     \rput(13,7){\pnode{h4}}
 480     \ncline[]{h3}{h4}
 481     \lput*{0}{nein}
 482     \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
 483
 484     \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
 485     \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
 486     \lput*{0}{ja}
 487     \rput(13.5,1){\pnode{h5}}
 488     \ncline[]{check_d}{h5}
 489     \rput(13.5,10){\pnode{h6}}
 490     \ncline[]{h5}{h6}
 491     \lput*{0}{nein}
 492     \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
 493     \rput(6,1){\pnode{h7}}
 494     \ncline[]{check_d}{h7}
 495     \lput*{0}{ja}
 496     \rput(6,11){\pnode{h8}}
 497     \ncline[]{h7}{h8}
 498     \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}}
 499     \ncline[]{->}{h8}{h9}
 500
 501     \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
 502       Sputterroutine:\\
 503       \begin{itemize}
 504         \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
 505               Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
 506         \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
 507         \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
 508       \end{itemize}
 509     }}}}
 510     \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
 511     \lput*{0}{ja}
 512     \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
 513
 514     \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
 515       Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
 516     }}}}
 517     \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
 518
 519     \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
 520     \ncline[]{->}{check_n}{start}
 521     \lput*{0}{nein}
 522     \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
 523     \ncline[]{->}{check_n}{stop}
 524     \lput*{0}{ja}
 525
 526   \end{pspicture}
 527   \caption{{\em NLSOP} Ablaufshema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
 528   \label{img:flowchart2}
 529   \end{figure}
 530