nlsop/diplom/simulation.tex

   1 \chapter{Simulation}
   2
   3   Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
   4   Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was kurz f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amelle und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations{\bf P}rozess steht.
   5   Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
   6   Die genauen Daten sind:
   7   \begin{itemize}
   8     \item Energie: $E=180 keV$
   9     \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$
  10     \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$
  11     \item Imlantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
  12     \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$
  13   \end{itemize}
  14   Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
  15   Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft.
  16   Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
  17   Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM} Ergebnissen werden besprochen.
  18   Das Kapitel schliesst mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.
  19
  20   \section{Annahmen der Simulation}
  21
  22     \subsection{Unterteilung des Targets}
  23     \label{subsection:unterteilung}
  24
  25     Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
  26     \begin{figure}[h]
  27     \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
  28     \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohelnstoffkonzentration}
  29     \label{img:sim_gitter}
  30     \end{figure}
  31     Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
  32     Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
  33     Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot) oder ist kristallin (blau).
  34     Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
  35
  36     Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gross und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
  37     Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation, aus Gr"unden der Rechenzeit, m"oglichst klein halten zu k"onen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
  38
  39     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
  40     \label{subsection:a_and_r}
  41
  42     Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
  43     Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Aamorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
  44     \begin{itemize}
  45       \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
  46       \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
  47       \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte}
  48     \end{itemize}
  49     Amorphisierung zusammen.
  50     Sie wird wie folgt berechnet:
  51     \begin{equation}
  52     p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}}
  53     \label{eq:p_ca_local}
  54     \end{equation}
  55
  56     Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
  57     Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen.
  58     Sie hat keine Einheit.
  59     Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
  60
  61     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
  62     $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskosntante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
  63
  64     Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene, da nur diese Spannungen aus"uben, zusammen.
  65     Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proprtional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
  66     Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amoprhen Gebiet vorhanden ist, desto groesser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
  67     Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
  68     $p_s$ ist wieder Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
  69
  70     Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
  71     \begin{equation}
  72     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
  73     \label{eq:p_ac_local}
  74     \end{equation}
  75     angenommen.
  76     Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
  77     F"ur die Rekristallisation ist Strukturinformation krsitalliner Nachbarschaft notwendig.
  78     Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
  79     Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen.
  80     Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
  81     \begin{equation}
  82     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
  83     \label{eq:p_ac_genau}
  84     \end{equation}
  85     mit
  86     \begin{equation}
  87     \delta (\vec r) = \left\{
  88     \begin{array}{ll}
  89       1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
  90       0 & \textrm{sonst} \\
  91     \end{array}
  92     \right.
  93     \label{eq:dedltafunc}
  94     \end{equation}
  95
  96     Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter.
  97     Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebiss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
  98     Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
  99
 100     \subsection{Diffusion}
 101
 102     Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohelnstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
 103     Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben.
 104     In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
 105     Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
 106     Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
 107     Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
 108     Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
 109
 110     \subsection{Sputtern}
 111
 112     Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
 113     Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in der Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
 114     Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
 115
 116   \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen}
 117
 118   Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet.
 119   Stattdessen werden die von {\em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet.
 120   Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
 121   Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP}  wichtige, Statistiken eingegangen.
 122
 123     \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
 124
 125     \begin{figure}[h]
 126     \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps}
 127     \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
 128     \label{img:bk_impl_p}
 129     \end{figure}
 130     Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
 131     Die gestrichelte Linie markiert das Implantationsmaximum.
 132     Sputtereffekte und Abweichungne auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt.
 133
 134     Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
 135     Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
 136
 137     \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
 138     \label{subsection:parse_trim_coll}
 139
 140     Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind.
 141     Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
 142     Mit einem zur {\em NLSOP} Suite geh"orendem Programm kann diese Datei ausgewertet werden.
 143     Die Daraus gewonnen Ekenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
 144
 145     \begin{figure}[h]
 146     \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
 147     \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)}
 148     \label{img:trim_coll}
 149     \end{figure}
 150     Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die Energieabgabe und Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit der Tiefe.
 151     Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
 152     Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
 153     Die durchschnittliche Energieabgabe durch einen Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
 154     Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
 155     Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amoprhisierungswahrscheinlichkeit bei.
 156
 157     Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
 158     Sie entspricht der nuklearen Bremskraft.
 159
 160     \begin{figure}[h]
 161     \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps}
 162     \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
 163     \label{img:trim_nel}
 164     \end{figure}
 165     Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
 166     Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgab.
 167     Der Unterschied liegt daran, dass letzteres Profil durch eine gr"ossere Anzahl von {\em TRIM}-Simulationsschritten ermittelt wurde.
 168     Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
 169
 170     Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen jedoch mehr als nur eine Kollision mit den Targetatomen bis es zur Ruhe kommt.
 171     Nach dem Auswertungsprogramm hat ein Ion durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen bei den gegebenen Bedingungen zur Folge.
 172     Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
 173     Das Auswertungsprogramm z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantierten Ion.
 174     Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
 175     Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl also.
 176     Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
 177     Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
 178     Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
 179
 180   \section{Simulationsalgorithmus}
 181
 182   Die Simulation kann in drei Abschnitte geliedert werden.
 183   Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
 184
 185   Wenn pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
 186   Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
 187   Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
 188   \begin{equation}
 189   D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
 190   \end{equation}
 191
 192   Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
 193
 194     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
 195
 196     Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
 197     Zun"achst muss das gestossene Volumen ausgew"ahlt werden.
 198     Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
 199     Zun"achst werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
 200     Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
 201     Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
 202     Somit hat man den Otrsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt.
 203     Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
 204     Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
 205     Es gibt folgende M"oglichkeiten:
 206     \begin{enumerate}
 207     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
 208           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu Amorph.
 209           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 210     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
 211           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu Kristallin.
 212           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 213     \end{enumerate}
 214
 215     Der Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
 216
 217     \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
 218
 219     Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
 220     Die Wahl des Volumens in dem das passiert ist analog zur Wahl des getroffenen Volumens.
 221     Jedoch wird die Tiefe durch eine Zufallszahl, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung der Reichweitenverteilung entspricht, bestimmt.
 222     Zur Erzeugung der Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
 223
 224     In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
 225
 226     \subsection{Diffusion und Sputtern}
 227
 228     Die Diffusions-Routine ist wie folgt realisiert.
 229     Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
 230     Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumen der Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
 231     Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
 232     Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
 233
 234     Die Sputter-Routine wird alle Schritte ausgef"uhrt.
 235     Dabei .
 236     Dies macht allerdings nur Sinn wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die darauffolgenden Ebenen auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
 237
 238   \section{Simulierte Tiefenbereiche}
 239
 240   \section{Test der Zufallszahlen}
 241
 242   \section{Ablaufschema}
 243