2 \label{chapter:simulation}
4 Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
5 Die Simulation tr"agt den Namen {\em nlsop}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations-{\bf P}rozess steht.
6 Die Simulation ist in der Programmiersprache {\em C} \cite{kerningham_ritchie} geschrieben.
7 Der Simulationscode wurde auf Computern der {\em IA32}-Rechnerarchitektur mit dem {\em GNU C Compiler} auf einem Linux Bestriebssystem "ubersetzt und betrieben.
9 Ziel der Simulation ist die Validierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
10 Es wurden zwei Versionen der Simulation erstellt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
11 Die erste Version beschreibt den Bereich von der Oberfl"ache des Targets bis zum Beginn der durchgehenden amorphen $SiC_x$-Schicht, also den Tiefenbereich von $0$ bis $300 nm$.
12 Nachdem eine Beschreibung der Bildung lamellarer amorpher Ausscheidungen mit dieser Version sehr gut funktioniert hat, wurde eine zweite Version entwickelt, die den gesamten Implantationsbereich betrachtet.
13 Auf weitere Unterschiede in den zwei Versionen wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
15 Die Simulation kann grob in drei Abschnitte unterteilt werden.
16 Im ersten Schritt werden die Kollisionen eines Ions im Target und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation eines Gebietes simuliert.
17 Nachdem das Ion seine Energie durch St"o"se im Target abgegeben hat kommt es zur Ruhe.
18 Der Einbau des Kohlenstoffs im Target wird im zweiten Schritt ausgef"uhrt.
19 Als letztes wird die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete und der Sputtervorgang realisiert.
21 Im Folgenden werden der Simulationsalgorithmus und die dazu ben"otigten Annahmen besprochen.
22 Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
23 Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen.
25 \section{Annahmen der Simulation}
27 \subsection{Unterteilung des Targets}
28 \label{subsection:unterteilung}
30 Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
31 \printimg{h}{width=12cm}{gitter_oZ.eps}{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration.}{img:sim_gitter}
32 Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung ist frei einstellbar.
33 Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
34 Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
35 Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
37 Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
38 Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation aus Gr"unden der Rechenzeit m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
40 In Version 1 der Simulation wurden $x = y = 50$ beziehungsweise $x = y = 64$ und $z = 100$ gesetzt.
41 In Version 2 sind $x = y = 64$ und $z = 233$.
43 \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
44 \label{subsection:a_and_r}
46 Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei statistisch unabh"angige zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
47 Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens am Ort $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die ballistische, kohlenstoffinduzierte und spannungsinduzierte Amorphisierung zusammen.
48 Sie wird wie folgt berechnet:
50 p_{c \rightarrow a}(\vec r) = p_{b} + p_{c} c_C (\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_C (\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}
54 Der Beitrag der ballistischen Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
55 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die ballistische Amorphisierung in einem Sto"s ist unabh"angig vom Ort und somit eine Konstante.
56 Sie hat die Einheit $1$.
57 Die h"ohere Wahrscheinlichkeit, im Maximum der nuklearen Bremskraft zu amorphisieren, kommt durch die h"ohere Anzahl an St"o"sen in diesem Tiefenbereich zustande.
58 Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
60 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_C$ angenommen.
61 $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
63 Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese unrelaxierte Spannungen aus"uben.
64 Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens bei $\vec{r'}$ auf das Volumen am Ort $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
65 Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in einem amorphen Volumen vorhanden ist, desto gr"o"ser ist die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
66 Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
67 $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
69 Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
71 p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
75 Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
76 Da es sich bei den betrachteten Temperaturen allein um ionenstrahlinduzierte, epitaktische Rekristallisation handelt \cite{unklar} und einschr"ankend hier nur der Temperaturbereich bis $250 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ behandelt wird, in dem keine merkliche ionenstrahlinduzierte Nukleation innerhalb amorpher Bereiche auftritt \cite{unklar}, sollte f"ur die Rekristallisation die Strukturinformation einer kristallinen Nachbarschaft notwendig sein.
77 Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachbar vorhanden ist.
78 Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Grenzfl"achen, von denen die Rekristallisationsfront ausgehen kann.
79 Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
81 p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
86 \delta (\vec r) = \left\{
88 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
95 Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind bisher experimentell nicht zug"anglich und werden daher als frei w"ahlbare Simulationsparameter angenommen.
96 Es stellt sich also die Frage, ob ein Satz von Parametern existiert, der es erlaubt, experimentell gefundene Verteilungen, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} gezeigt werden, durch die Simulation zu reproduzieren.
97 Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
99 \subsection{Diffusion}
101 Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
102 In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
103 Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
104 Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphen in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
105 Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
106 Aus Gr"unden der Rechenzeit sollte die Diffusionsroutine nicht nach jedem implantierten Ion ausgef"uhrt werden.
107 Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
108 Von einer m"oglichen Kohlenstoff"ubers"attigung im Amorphen wird nicht ausgegangen, da der Kohlenstoff in $a-Si$ gut l"oslich ist.
109 Da die L"oslichkeit von Kohlenstoff in $c-Si$ nahezu Null ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren.
111 \subsection{Sputtern}
113 Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
114 Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit der Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in Einheiten einer Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
115 Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputterroutine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
117 \section{Statistik von Sto"sprozessen}
119 F"ur die Simulation ben"otigt man die Statistik der Sto"sprozesse des Kohlenstoffs im Siliziumtarget unter den gegebenen Implantationsbedingungen.
120 Dabei sind insbesondere die nukleare Bremskraft f"ur den Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationsschritt und das Implantationsprofil f"ur den Einbau des Kohlenstoffs ins Siliziumtarget von Interesse.
121 {\em nlsop} benutzt die Ergebnisse des {\em TRIM}-Programms, welches die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simuliert und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellt.
122 Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
123 Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em nlsop} wichtige Statistiken eingegangen.
125 \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
127 \printimg{h}{width=13cm}{trim92_2.eps}{Von {\em TRIM 92} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:bk_impl_p}
128 Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM 92} ermittelte nukleare Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
129 Die gestrichelte Linie markiert das Ionenprofilmaximum bei $500 nm$.
130 Sputtereffekte und Abweichungen auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden von {\em TRIM} allerdings nicht ber"ucksichtigt.
132 Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
133 Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em nlsop} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
135 \printimg{h}{width=12cm}{trim_impl.eps}{Durch {\em SRIM 2003.26} berechnetes Implantationsprofil f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:trim_impl}
136 In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von einer neueren {\em TRIM}-Version ({\em SRIM 2003.26}) berechnete Implantationsprofil abgebildet.
137 Dieses Profil verwendet {\em nlsop} zum Einbau des Kohelnstoffs.
138 Das Implantationsmaximum liegt hier bei ungef"ahr $530 nm$.
139 Auff"allig ist eine Verschiebung des Maximums um $30 nm$ zu dem Maximum aus Abbildung \ref{img:bk_impl_p}.
140 Dies ist auf eine Ver"anderung in der elektronischen Bremskrfat zuru"ckzuf"uhren.
142 \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
143 \label{subsection:parse_trim_coll}
145 Weiterhin bietet {\em TRIM} die M"oglichkeit eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} anzulegen, in der s"amtliche Sto"skaskaden protokolliert sind.
146 Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
147 Mit dem Programm {\em parse\_trim\_collision} (siehe Anhang \ref{section:hilfsmittel}) kann diese Datei ausgewertet werden.
148 Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
149 F"ur diese Statistik wurden die Sto"skaskaden von $8300$ implantierten Ionen verwendet.
151 \printimg{h}{width=12cm}{trim_coll.eps}{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot).}{img:trim_coll}
152 Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die nukleare Energieabgabe und die Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit von der Tiefe.
153 Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
154 Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
155 Die durchschnittliche Energieabgabe pro Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
156 Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
157 Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
159 Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
160 Sie ist proportional zur Anzahl der Kollisionen in dieser Tiefe.
161 Durch die h"ohere Anzahl der St"o"se im Maximum der nuklearen Bremskraft steigt die Wahrscheinlichkeit f"ur ein Ion in diesem Tiefenbereich zu amorphisieren.
163 \printimg{h}{width=12cm}{trim_nel.eps}{Durch {\em SRIM 2003.26} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}{img:trim_nel}
164 Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em SRIM 2003.26} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
165 Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
166 Daher wird dieses Profil f"ur {\em nlsop} zur Verteilung der Kollisionen im Taregt verwendet.
168 Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen, bis alle Teilchen bis auf Energien unterhalb der Verlagerungsenergie f"ur $Si$ Atome von $15 eV$ \cite{unknown} abgesunken sind.
169 Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
170 Das Auswertungsprogramm {\em parse\_trim\_collision} z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantiertem Ion.
171 Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
172 Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl.
173 Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
174 Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
175 Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
177 \section{Simulationsalgorithmus}
179 Die Simulation kann in die drei Abschnitte Amorphisierung/Rekristallisation, Fremdatomeinbau und Diffusion/Sputtern gegliedert werden.
180 Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
182 Wenn, wie in Version 2 der Simulation, pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
183 Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
184 Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
186 D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
187 \label{eq:dose_steps}
190 Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
192 \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
193 \label{subsection:a_r_step}
197 \begin{pspicture}(0,0)(15,18)
199 \rput(7,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em nlsop} Start}}}
201 \rput(7,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{8.5cm}{
202 Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
203 $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
206 \ncline[]{->}{start}{random1}
208 \rput(7,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
209 Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$
211 \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
213 \rput(7,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{
214 Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$:
217 p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\
218 p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big)
222 \delta (\vec r) = \left\{
224 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
225 0 & \textrm{sonst} \\
230 \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca}
232 \rput(7,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
233 \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
235 \rput(4,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
236 \rput(10,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
237 \ncline[]{->}{status}{cryst}
240 \ncline[]{->}{status}{amorph}
243 \rput(4,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}}
244 \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph}
247 \rput(10,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}}
248 \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst}
251 \rput(7,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}}
253 \rput(7,6){\pnode{h_2}}
254 \ncline[]{amorph}{h_2}
255 \ncline[]{->}{h_2}{check_h}
258 \rput(7,6){\pnode{h_3}}
259 \ncline[]{cryst}{h_3}
260 \ncline[]{->}{h_3}{check_h}
263 \rput(14,3){\pnode{h_4}}
264 \rput(14,16){\pnode{h_5}}
265 \ncline[]{check_h}{h_4}
268 \ncline[]{->}{h_5}{random1}
270 \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h}
271 \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h}
273 \rput(7,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
274 \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1}
278 \caption{{\em nlsop} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
279 \label{img:flowchart1}
283 Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
284 Das zugeh"orige Ablaufschema ist in Abbildung \ref{img:flowchart1} gezeigt.
285 Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden.
286 Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
287 Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
288 Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
289 Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
290 Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang bestimmt.
291 Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
292 Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
293 Es gibt folgende M"oglichkeiten:
295 \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
296 Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph.
297 Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
298 \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
299 Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin.
300 Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
303 Der gesamte Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
305 \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
309 \begin{pspicture}(0,0)(15,5)
311 \rput(2,5){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
313 \rput(7,5){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{8.5cm}{
314 Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
315 $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
317 \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
319 \rput(7,3){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
320 Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
322 \ncline[]{->}{random2}{koord_wahl_i}
324 \rput(7,1){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
325 Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
327 \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
329 \rput(12,1){\rnode{weiter_3}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
330 \ncline[]{->}{inc_c}{weiter_3}
333 \caption{{\em nlsop} Ablaufschema Teil 2: Einbau des Kohlenstoffs (gr"un).}
334 \label{img:flowchart2}
338 Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
339 Die Wahl des Volumens, in das das Ion eingebaut wird, ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
340 Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
341 Zur Erzeugung der entsprechenden Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
343 In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
345 \subsection{Diffusion und Sputtern}
349 \begin{pspicture}(0,0)(15,14)
351 \rput(7,14){\rnode{weiter_4}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
353 \rput(11,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
354 \ncline[]{->}{weiter_4}{is_d}
356 \rput(3,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
357 \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
360 \rput(11,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
361 \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
364 \rput(11,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
365 \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
367 \rput(11,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
368 Gehe alle/verbleibende\\
369 direkte Nachbarn durch
371 \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
374 \rput(11,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
375 \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
377 \rput(12,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
378 "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
380 \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
383 \rput(11,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
384 \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
385 \rput(9.5,5){\pnode{h1}}
386 \ncline[]{is_cryst}{h1}
387 \rput(9.5,3.2){\pnode{h2}}
388 \ncline[]{->}{h1}{h2}
390 \rput(14,3){\pnode{h3}}
391 \ncline[]{check_dn}{h3}
392 \rput(14,7){\pnode{h4}}
395 \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
397 \rput(11,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
398 \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
400 \rput(14.5,1){\pnode{h5}}
401 \ncline[]{check_d}{h5}
402 \rput(14.5,10){\pnode{h6}}
405 \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
406 \rput(7,1){\pnode{h7}}
407 \ncline[]{check_d}{h7}
409 \rput(7,11){\pnode{h8}}
411 \rput(5.4,11.9){\pnode{h9}}
412 \ncline[]{->}{h8}{h9}
414 \rput(3,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
417 \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
418 Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
419 \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
420 \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
423 \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
425 \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
427 \rput(3,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
428 Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
430 \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
432 \rput(5,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em nlsop} Start}}}
433 \ncline[]{->}{check_n}{start}
435 \rput(1,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em nlsop} Stop}}}
436 \ncline[]{->}{check_n}{stop}
440 \caption{{\em nlsop} Ablaufschema Teil 2: Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
441 \label{img:flowchart3}
445 Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen.
446 Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
447 Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumina ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
448 Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
449 Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
451 Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
452 Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen grossen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
453 Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert wird \cite{goetz}, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
454 %Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
455 Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die gesamte Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in den folgenden Simulationen ausgeschlossen wurde.
456 Als Relikt bleibt die Option die Diffusion auch vom Kristallinen ins Amorphe in $z$-Richtung auszuschalten.
457 Setzt sich die Diffusionsrate aus einem Beitrag $d_r^{x,y}$ f"ur Diffusion in der Ebene und einem Beitrag $d_r^z$ f"ur Diffusion in $z$-Richtung zusammen, so kann durch diese Option $d_r^z = 0$ gesetzt werden.
459 Die Sputterroutine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von einer Ebene von Zellen ($3 nm$) entspricht, ausgef"uhrt und bewirkt, dass diese oberste Ebene entfernt wird.
460 Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
462 S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
464 Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
465 Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
466 Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
467 Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
468 Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
470 Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
471 Daher wird das Sputtern nur in Simulationen "uber gro"se Tiefenbereiche ber"ucksichtigt.
473 Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} beziehungsweise Messungen des Kohlenstoffprofils bestimmt werden.
474 Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen \cite{basic_phys_proc}.
476 \section{Simulierte Tiefenbereiche}
477 \label{section:sim_tiefenbereich}
479 Wie bereits erw"ahnt wurden zwei verschiedene Versionen des Programms entwickelt. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden.
481 Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, behandelt die erste Version den Tiefenbereich von der Oberfl"ache bis zum Beginn der durchgehend amorphen Schicht.
482 Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$ und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
484 Wie in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
485 Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Konzentrationserh"ohung stattfindet.
487 Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefenkoordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
488 Dabei beschreiben $s$ und $s_0$ die linear gen"aherte nukleare Bremskraft.
489 Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
490 Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefenkoordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
491 Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet.
492 Ausserdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
493 Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters liegen bleiben.
494 Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Kohlenstoffverteilungskurvekurve $c_C(z)$ bis $300 nm$ zur Fl"ache der gesamten Kohlenstoffverteilungskurve ist.
496 n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} c_C(z) dz}{\int_0^{\infty} c_C(z) dz}
499 Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden.
500 Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt m"oglich.
502 In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
503 Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$.
504 Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
506 Die Tiefenkoordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden, wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben, nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
508 Da sowohl der nukleare Energieverlust als auch die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
509 Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
511 \section{Test der Zufallszahlen}
513 Die Simulation kann auf zwei verschiedene Arten die ben"otigten Zufallszahlen beziehen.
514 Die erste M"oglichkeit ist das Lesen der Zufallszahlen aus einer speziellen, vom Betriebssystem bereitgestellten Zeichendatei {\em /dev/urandom}.
515 Das Betriebssystem generiert aus dem Rauschen einiger Treiber, zum Beispiel den Treibern f"ur Tastatur, Maus und Festplatte einen Vorrat an Entropie.
516 Eine Zufallszahl wird durch Anwendung des {\em SHA}-Algorithmus (kurz f"ur {\bf S}ecure {\bf H}ash {\bf}Algorithm) auf den Inhalt des Entropievorrates erzeugt.
517 Eine zweite M"oglichkeit ist die Verwendung des Zufallszahlengenerators der Standardbibliothek der Programmiersprache {\em C}.
518 Diese generiert die Zufallszahlensequenz nach der im Abschnitt \ref{subsection:rand_gen} vorgestellten linearen Kongruenzmethode.
519 Das zuletzt genannte Verfahren ist damit unabh"angig vom Betriebssystem.
521 F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
522 Es gibt viele statistische Tests um eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen.
523 Die am h"aufigsten verwendeten Testverfahren sind der $\chi^2$-Test und der Kolmogorov-Smirnov-Test \cite{knuth}.
525 Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren.
526 Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
528 Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
529 Ein einfaches Scriptprogramm ({\em random\_parse.sh}, siehe Anhang \ref{section:hilfsmittel}) z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz.
531 \printimg{h}{width=13cm}{random.eps}{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.}{img:random_distrib}
532 Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
534 Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}.
535 Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen.
537 Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben.
538 Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
539 Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
541 Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
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