nlsop/diplom/simulation.tex

   1 \chapter{Simulation}
   2
   3   Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
   4   Die Simulation tr"agt den Namen {\em NLSOP}, was kurz f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amelle und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations{\bf P}rozess steht.
   5   Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
   6   Die genauen Daten sind:
   7   \begin{itemize}
   8     \item Energie: $E=180 keV$
   9     \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$
  10     \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$
  11     \item Imlantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
  12     \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$
  13   \end{itemize}
  14   Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
  15   Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft.
  16   Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
  17   Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM} Ergebnissen werden besprochen.
  18   Das Kapitel schliesst mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.
  19
  20   \section{Annahmen der Simulation}
  21
  22     \subsection{Unterteilung des Targets}
  23     \label{subsection:unterteilung}
  24
  25     Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
  26     \begin{figure}[h]
  27     \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
  28     \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohelnstoffkonzentration}
  29     \label{img:sim_gitter}
  30     \end{figure}
  31     Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
  32     Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
  33     Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot) oder ist kristallin (blau).
  34     Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
  35
  36     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
  37     \label{subsection:a_and_r}
  38
  39     Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
  40     Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Aamorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
  41     \begin{itemize}
  42       \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
  43       \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
  44       \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte}
  45     \end{itemize}
  46     Amorphisierung zusammen.
  47     Sie wird wie folgt berechnet:
  48     \begin{equation}
  49     p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}}
  50     \label{eq:p_ca_local}
  51     \end{equation}
  52
  53     Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
  54     Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen.
  55     Sie hat keine Einheit.
  56     Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
  57
  58     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
  59     $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskosntante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
  60
  61     Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene, da nur diese Spannungen aus"uben, zusammen.
  62     Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proprtional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
  63     Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amoprhen Gebiet vorhanden ist, desto groesser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
  64     Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
  65     $p_s$ ist wieder Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
  66
  67     Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
  68     \begin{equation}
  69     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
  70     \label{eq:p_ac_local}
  71     \end{equation}
  72     angenommen.
  73     Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
  74     F"ur die Rekristallisation ist Strukturinformation krsitalliner Nachbarschaft notwendig.
  75     Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
  76     Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen.
  77     Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
  78     \begin{equation}
  79     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
  80     \label{eq:p_ac_genau}
  81     \end{equation}
  82     mit
  83     \begin{equation}
  84     \delta (\vec r) = \left\{
  85     \begin{array}{ll}
  86       1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
  87       0 & \textrm{sonst} \\
  88     \end{array}
  89     \right.
  90     \label{eq:dedltafunc}
  91     \end{equation}
  92
  93     Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter.
  94     Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebiss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
  95     Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
  96
  97     \subsection{Diffusion}
  98
  99     Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohelnstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
 100     Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben.
 101     In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
 102     Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
 103     Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
 104     Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
 105     Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
 106
 107     \subsection{Sputtern}
 108
 109     Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
 110     Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in der Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
 111     Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
 112
 113   \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen}
 114
 115   Da bereits Programme wie {\em TRIM} die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simulieren und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellen, wird auf diese Schritte in der Simulation aus Zeitgr"unden verzichtet.
 116   Stattdessen werden die von {\em TRIM} erzeugten Statistiken verwendet.
 117   Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen, k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
 118   Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP}  wichtige, Statistiken eingegangen.
 119
 120     \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
 121
 122     \begin{figure}[h]
 123     \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps}
 124     \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
 125     \label{img:bk_impl_p}
 126     \end{figure}
 127     Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare und elektronische Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
 128     Die gestrichelte Linie markiert das Implantationsmaximum.
 129     Sputtereffekte und Abweichungne auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden hier allerdings nicht ber"ucksichtigt.
 130
 131     Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
 132     Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
 133
 134     \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
 135     \label{subsection:parse_trim_coll}
 136
 137     Weiterhin legt {\em TRIM} eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} an, in der s"amtliche durch jedes Ion verursachte Sto"skaskaden protokolliert sind.
 138     Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
 139     Mit einem zur {\em NLSOP} Suite geh"orendem Programm kann diese Datei ausgewertet werden.
 140     Die Daraus gewonnen Ekenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
 141
 142     \begin{figure}[h]
 143     \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
 144     \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)}
 145     \label{img:trim_coll}
 146     \end{figure}
 147     Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die Energieabgabe und Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit der Tiefe.
 148     Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
 149     Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
 150     Die durchschnittliche Energieabgabe durch einen Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
 151     Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
 152     Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amoprhisierungswahrscheinlichkeit bei.
 153
 154     Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
 155     Sie entspricht der nuklearen Bremskraft.
 156
 157     \begin{figure}[h]
 158     \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps}
 159     \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
 160     \label{img:trim_nel}
 161     \end{figure}
 162     Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
 163     Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgab.
 164     Der Unterschied liegt daran, dass letzteres Profil durch eine gr"ossere Anzahl von {\em TRIM}-Simulationsschritten ermittelt wurde.
 165     Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
 166
 167     Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen jedoch mehr als nur eine Kollision mit den Targetatomen bis es zur Ruhe kommt.
 168     Nach dem Auswertungsprogramm hat ein Ion durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen bei den gegebenen Bedingungen zur Folge.
 169     Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
 170     Das Auswertungsprogramm z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantierten Ion.
 171     Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
 172     Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl also.
 173     Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
 174     Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
 175     Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
 176
 177   \section{Simulationsalgorithmus}
 178
 179   Die Simulation kann in drei Abschnitte geliedert werden.
 180   Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
 181
 182   Wenn pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
 183   Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
 184   Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
 185   \begin{equation}
 186   D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
 187   \end{equation}
 188
 189   Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
 190
 191     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
 192
 193     Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
 194     Zun"achst muss das gestossene Volumen ausgew"ahlt werden.
 195     Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
 196     Zun"achst werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
 197     Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
 198     Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
 199     Somit hat man den Otrsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang festgelegt.
 200     Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
 201     Eine weiter Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
 202     Es gibt folgende M"oglichkeiten:
 203     \begin{enumerate}
 204     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
 205           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu Amorph.
 206           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 207     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
 208           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu Kristallin.
 209           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 210     \end{enumerate}
 211
 212     Der Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
 213
 214     \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
 215
 216     Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
 217     Die Wahl des Volumens in dem das passiert ist analog zur Wahl des getroffenen Volumens.
 218     Jedoch wird die Tiefe durch eine Zufallszahl, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung der Reichweitenverteilung entspricht, bestimmt.
 219     Zur Erzeugung der Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
 220
 221     In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
 222
 223     \subsection{Diffusion und Sputtern}
 224
 225   \section{Simulierte Tiefenbereiche}
 226
 227   \section{Test der Zufallszahlen}
 228
 229   \section{Ablaufschema}
 230