nlsop/diplom/simulation.tex

   1 \chapter{Simulation}
   2 \label{chapter:simulation}
   3
   4 Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
   5 Die Simulation tr"agt den Namen \linebreak[4] {\em NLSOP}, was f"ur die Schlagw"orter {\bf N}ano, {\bf L}amellar und {\bf S}elbst{\bf O}ragnisations-{\bf P}rozess steht.
   6 Ziel der Simulation ist die Validierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
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   8 Es wurden zwei Versionen der Simulation erstellt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
   9 Die erste Version beschreibt den Bereich von der Oberfl"ache des Targets bis zum Beginn der durchgehenden amorphen $SiC_x$-Schicht, also den Tiefenbereich von $0$ bis $300 nm$.
  10 Nachdem eine Beschreibung der Bildung lamellarer amorpher Ausscheidungen mit dieser Version sehr gut funktioniert hat, wurde eine zweite Version entwickelt, die den gesamten Implantationsbereich betrachtet.
  11 Auf weitere Unterschiede in den zwei Versionen wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
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  13 Die Simulation kann grob in drei Abschnitte unterteilt werden.
  14 Im ersten Schritt werden die Kollisionen eines Ions im Target und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation eines Gebietes simuliert.
  15 Nachdem das Ion seine Energie durch St"o"se im Target abgegeben hat kommt es zur Ruhe.
  16 Der Einbau des Kohlenstoffs im Target wird im zweiten Schritt ausgef"uhrt.
  17 Als letztes wird die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete und der Sputtervorgang realisiert.
  18
  19 Im Folgenden werden der Simulationsalgorithmus und die dazu ben"otigten Annahmen besprochen.
  20 Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
  21 Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen.
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  23   \section{Annahmen der Simulation}
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  25     \subsection{Unterteilung des Targets}
  26     \label{subsection:unterteilung}
  27
  28     Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit der Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
  29     \begin{figure}[h]
  30     \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
  31     \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohlenstoffkonzentration}
  32     \label{img:sim_gitter}
  33     \end{figure}
  34     Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung ist frei einstellbar.
  35     Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
  36     Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot), oder ist kristallin (blau).
  37     Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
  38
  39     Die Ausdehnung des Targets in $x,y$-Richtung ist im Gegensatz zur Tiefe sehr gro"s und kann als unendlich ausgedehnt angenommen werden.
  40     Um die Anzahl der W"urfel in diese Richtungen in der Simulation aus Gr"unden der Rechenzeit m"oglichst klein halten zu k"onnen, werden periodische Randbedingungen in der $x,y$-Ebene verwendet.
  41
  42     In Version 1 der Simulation wurden $x = y = 50$ beziehungsweise $x = y = 64$ und $z = 100$ gesetzt.
  43     In Version 2 sind $x = y = 64$ und $z = 233$.
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  45     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
  46     \label{subsection:a_and_r}
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  48     Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei statistisch unabh"angige zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
  49     Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Amorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens am Ort $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die ballistische, kohlenstoffinduzierte und spannungsinduzierte Amorphisierung zusammen.
  50     Sie wird wie folgt berechnet:
  51     \begin{equation}
  52     p_{c \rightarrow a}(\vec r) = p_{b} + p_{c} c_C (\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_C (\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}
  53     \label{eq:p_ca_local}
  54     \end{equation}
  55
  56     Der Beitrag der ballistischen Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
  57     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die ballistische Amorphisierung in einem Sto"s ist unabh"angig vom Ort und somit eine Konstante.
  58     Sie hat die Einheit $1$.
  59     Die h"ohere Wahrscheinlichkeit, im Maximum der nuklearen Bremskraft zu amorphisieren, kommt durch die h"ohere Anzahl an St"o"sen in diesem Tiefenbereich zustande.
  60     Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
  61
  62     Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_C$ angenommen.
  63     $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskonstante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
  64
  65     Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene zusammen, da nur diese unrelaxierte Spannungen aus"uben.
  66     Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens bei $\vec{r'}$ auf das Volumen am Ort $\vec{r}$ wieder proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
  67     Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in einem amorphen Volumen vorhanden ist, desto gr"o"ser ist die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
  68     Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
  69     $p_s$ ist eine Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
  70
  71     Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
  72     \begin{equation}
  73     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
  74     \label{eq:p_ac_local}
  75     \end{equation}
  76     angenommen.
  77     Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
  78     Da es sich bei den betrachteten Temperaturen allein um ionenstrahlinduzierte, epitaktische Rekristallisation handelt \cite{unklar} und einschr"ankend hier nur der Temperaturbereich bis $250 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ behandelt wird, in dem keine merkliche ionenstrahlinduzierte Nukleation innerhalb amorpher Bereiche auftritt \cite{unklar}, sollte f"ur die Rekristallisation die Strukturinformation einer kristallinen Nachbarschaft notwendig sein.
  79     Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden, wenn kein einziger kristalliner Nachbar vorhanden ist.
  80     Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Grenzfl"achen, von denen die Rekristallisationsfront ausgehen kann.
  81     Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
  82     \begin{equation}
  83     p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
  84     \label{eq:p_ac_genau}
  85     \end{equation}
  86     mit
  87     \begin{equation}
  88     \delta (\vec r) = \left\{
  89     \begin{array}{ll}
  90       1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
  91       0 & \textrm{sonst} \\
  92     \end{array}
  93     \right.
  94     \label{eq:dedltafunc}
  95     \end{equation}
  96
  97     Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind bisher experimentell nicht zug"anglich und werden daher als frei w"ahlbare Simulationsparameter angenommen.
  98     Es stellt sich also die Frage, ob ein Satz von Parametern existiert, der es erlaubt, experimentell gefundene Verteilungen, wie sie in Abbildung \ref{img:xtem_img} gezeigt werden, durch die Simulation zu erhalten.
  99     Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
 100
 101     \subsection{Diffusion}
 102
 103     Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohlenstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
 104     In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
 105     Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
 106     Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphen in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
 107     Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
 108     Aus Gr"unden der Rechenzeit sollte die Diffusionsroutine nicht nach jedem implantierten Ion ausgef"uhrt werden.
 109     Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
 110     Von einer m"oglichen Kohlenstoff"ubers"attigung im Amorphen wird nicht ausgegangen, da der Kohlenstoff in $a-Si$ gut l"oslich ist.
 111     Da die L"oslichkeit von Kohlenstoff in $c-Si$ nahezu Null ist, wird der Kohlenstoff immer bestrebt sein von dem kristallinen Bereich in die amorphen Gebiete zu diffundieren.
 112
 113     \subsection{Sputtern}
 114
 115     Es wird von einer, "uber der Oberfl"ache gleichm"assig verteilten und w"ahrend des Implantationsvorgangs konstanten Sputterrate ausgegangen.
 116     Auf Grund der Unterteilung des Targets in W"urfel mit der Seitenl"ange $3 nm$ muss diese Sputterrate in Einheiten einer Dosis, welche $3 nm$ sputtert, angegeben werden.
 117     Jedesmal, nachdem das Programm diese Dosis durchlaufen hat, wird die Sputter-Routine aufgerufen, welche die oberste Targetebene abtr"agt.
 118
 119   \section{Statistik von Sto"sprozessen}
 120
 121   F"ur die Simulation ben"otigt man die Statistik der Sto"sprozesse des Kohlenstoffs im Silizium-Target unter den gegebenen Implantationsbedingungen.
 122   Dabei sind insbesondere die nukleare Bremskraft f"ur den Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationsschritt und das Implantationsprofil f"ur den Einbau des Kohlenstoffs ins Silizium-Target von Interesse.
 123   {\em NLSOP} benutzt die Ergebnisse des {\em TRIM}-Programms, welches die Wechelswirkung der Ionen mit dem Target simuliert und somit ein geeignetes Bremskraft- und Implantationsprofil, sowie eine genaue Buchf"uhrung "uber die Sto"skaskaden bereitstellt.
 124   Durch die Abbildung von Zufallszahlen auf die so erhaltenen Verteilungen k"onnen die eigentlichen physikalischen Abl"aufe sehr schnell und einfach behandelt werden.
 125   Im Folgenden wird auf die Ermittlung einiger, f"ur {\em NLSOP} wichtige Statistiken eingegangen.
 126
 127     \subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
 128
 129     \begin{figure}[h]
 130     \includegraphics[width=12cm]{2pTRIM180C.eps}
 131     \caption{Von {\em TRIM} ermittelte Reichweitenverteilung und tiefenabh"angige Bremskr"afte f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$}
 132     \label{img:bk_impl_p}
 133     \end{figure}
 134     Abbildung \ref{img:bk_impl_p} zeigt die von {\em TRIM} ermittelte nukleare Bremskraft sowie das Kohlenstoffkonzentrationsprofil f"ur die in dieser Arbeit verwendeten Parameter.
 135     Die gestrichelte Linie markiert das Ionenprofilmaximum.
 136     Sputtereffekte und Abweichungen auf Grund der kontinuierlich ver"anderten Targetzusammensetzung w"ahrend der Hochdosisimplantation werden von {\em TRIM} allerdings nicht ber"ucksichtigt.
 137
 138     Die Profile werden von {\em TRIM} selbst in seperate Dateien geschrieben.
 139     Tauscht man die Kommata (Trennung von Ganzzahl und Kommastelle) durch Punkte aus, so kann {\em NLSOP} diese Dateien auslesen und die Profile extrahieren.
 140
 141     \subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
 142     \label{subsection:parse_trim_coll}
 143
 144     Weiterhin bietet {\em TRIM} die M"oglichkeit eine Datei Namens {\em COLLISION.TXT} anzulegen, in der s"amtliche Sto"skaskaden protokolliert sind.
 145     Zu jedem Sto"s sind Koordinaten und Energie"ubertrag angegeben.
 146     Mit dem Programm {\em parse_trim_collision} (siehe Anhang \ref{section:hilfsmittel}) kann diese Datei ausgewertet werden.
 147     Die daraus gewonnen Erkenntnisse sollen im Folgenden diskutiert werden.
 148     F"ur diese Statistik wurden die Sto"skaskaden von $8300$ implantierten Ionen verwendet.
 149
 150     \begin{figure}[h]
 151     \includegraphics[width=12cm]{trim_coll.eps}
 152     \caption{Auf das Maximum 1 skalierte tiefenabh"angige Energieabgabe (blau) und Anzahl der Kollisionen (rot)}
 153     \label{img:trim_coll}
 154     \end{figure}
 155     Abbildung \ref{img:trim_coll} zeigt die nukleare Energieabgabe und die Anzahl der St"o"se von Ionen und Recoils in Abh"angigkeit von der Tiefe.
 156     Beide Graphen wurden auf das selbe Maximum skaliert.
 157     Man erkennt, dass diese nahezu identisch sind.
 158     Die durchschnittliche Energieabgabe pro Sto"s ist also ungef"ahr konstant und unabh"angig von der Tiefe.
 159     Dies ist der Grund f"ur die Wahl eines konstanten Beitrags der ballistischen Amorphisierung in Abschnitt \ref{subsection:a_and_r}.
 160     Jeder Sto"s "ubertr"agt durchschnittlich einen konstanten Energiebetrag im Falle einer Kollision, und tr"agt somit einen konstanten Anteil zur Amorphisierungswahrscheinlichkeit bei.
 161
 162     Desweiteren ist nun die Wahrscheinlichkeit f"ur eine Kollision in einer bestimmten Tiefe bekannt.
 163     Sie ist proportional zur Anzahl der Kollisionen in dieser Tiefe.
 164
 165     \begin{figure}[h]
 166     \includegraphics[width=12cm]{trim_nel.eps}
 167     \caption{Durch {\em TRIM} berechneter nuklearer Energieverlust f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
 168     \label{img:trim_nel}
 169     \end{figure}
 170     Zum Vergleich zeigt Abbildung \ref{img:trim_nel} die von {\em TRIM} selbst berechnete nukleare Bremskraft.
 171     Wie zu erwarten entspricht sie ungef"ahr dem Verlauf der in Abbildung \ref{img:trim_coll} gezeigten Energieabgabe.
 172     Dieses Profil wird f"ur {\em NLSOP} benutzt.
 173
 174     \begin{figure}[h]
 175     \includegraphics[width=12cm]{trim_impl.eps}
 176     \caption{Durch {\em TRIM} berechnetes Implantationsprofil f"ur $180 keV$ $C^+ \rightarrow Si$.}
 177     \label{img:trim_impl}
 178     \end{figure}
 179     In Abbildung \ref{img:trim_impl} ist das f"ur diese Simulation verwendete, von {\em TRIM} berechnete Implantationsprofil abgebildet.
 180     Es wurde aus der selben Rechnung wie das nukleare Bremskraftprofil gewonnen.
 181     Das Implantationsmaximum liegt bei ungef"ahr $530 nm$.
 182     Dieses Profil wird ebenfalls f"ur {\em NLSOP} verwendet.
 183
 184     Ein implantiertes Ion und dadurch entstandene Recoils verursachen durchschnittlich eine Anzahl von $1088$ Kollisionen, bis alle Teilchen bis auf Energien unterhalb der Verlagerungsenergie f"ur $Si$-Atome von $15 eV$ \cite{unknown} abgesunken sind.
 185     Die Zahl der getroffenen W"urfel, also Volumina in denen ein Ion mindestens eine Kollision verursacht, ist sehr viel geringer.
 186     Das Auswertungsprogramm {\em parse_trim_collision} z"ahlt durchschnittlich $75$ getroffene Volumina pro implantiertem Ion.
 187     Genauer gesagt z"ahlt das Programm die Anzahl der Ebenen mit $3 nm$ H"ohe in denen Kollisionen verursacht werden.
 188     Teilchenbahnen parallel zur Targetoberfl"ache verf"alschen diese Zahl.
 189     Ausserdem werden mehrmalige Durchl"aufe der Ebenen nicht mitgez"ahlt.
 190     Man sollte weiterhin beachten, dass Volumina in denen selbst nur eine Kollision stattfindet mitgez"ahlt werden, was allerdings nur sehr unwahrscheinlich zur Amorphisierung f"uhren wird.
 191     Daher wird eine Trefferzahl von $h=100$ f"ur die Simulation angenommen.
 192
 193   \section{Simulationsalgorithmus}
 194
 195   Die Simulation kann in die drei Abschnitte Amorphisierung/Rekristallisation, Fremdatomeinbau und Diffusion/Sputtern gegliedert werden.
 196   Die beschriebenen Prozeduren werden sequentiell abgearbeitet und beliebig oft durchlaufen.
 197
 198   Wenn, wie in Version 2 der Simulation, pro Durchlauf die Anzahl der simulierten Sto"skaskaden gleich der Anzahl der getroffenen Volumina ist, entspricht ein Durchlauf genau einem implantierten Ion.
 199   Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
 200   Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
 201   \begin{equation}
 202   D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
 203   \label{eq:dose_steps}
 204   \end{equation}
 205
 206   Es wird mit einem komplett kristallinen und kohlenstofffreien Target gestartet.
 207
 208     \subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
 209     \label{subsection:a_r_step}
 210
 211       \begin{figure}[h]
 212       \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
 213
 214         \rput(6,18){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
 215
 216         \rput(6,16){\rnode{random1}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
 217           Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
 218           $R_1$, $R_2$, $R_3$ entsprechend nuklearer Bremskraft\\
 219           $R_4 \in [0,1[$
 220         }}}}
 221         \ncline[]{->}{start}{random1}
 222
 223         \rput(6,14){\rnode{koord_wahl}{\psframebox{\parbox{7.5cm}{
 224           Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_1$, $R_2$ und $R_3$ auf $k$, $l$ und $m$
 225         }}}}
 226         \ncline[]{->}{random1}{koord_wahl}
 227
 228         \rput(6,11){\rnode{berechnung_pca}{\psframebox{\parbox{12cm}{
 229           Berechnung von $p_{c \rightarrow a}(\vec{r})$ und $p_{a \rightarrow c}(\vec{r})$:
 230           \[
 231           \begin{array}{lll}
 232           p_{c \rightarrow a}(\vec r) & = & p_{b} + p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r) + \sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2} \\
 233           p_{a \rightarrow c}(\vec r) & = & (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big)
 234           \end{array}
 235           \]
 236           \[
 237           \delta (\vec r) = \left\{
 238             \begin{array}{ll}
 239             1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
 240             0 & \textrm{sonst} \\
 241             \end{array}
 242           \right.
 243           \]
 244         }}}}
 245         \ncline[]{->}{koord_wahl}{berechnung_pca}
 246
 247         \rput(6,8){\rnode{status}{\psframebox{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
 248         \ncline[]{->}{berechnung_pca}{status}
 249
 250         \rput(3,6){\rnode{cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{$R_4 \le p_{c \rightarrow a}$?}}}
 251         \rput(9,6){\rnode{amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{$R_4 \le p_{a \rightarrow c}$?}}}
 252         \ncline[]{->}{status}{cryst}
 253         \lput*{0}{nein}
 254
 255         \ncline[]{->}{status}{amorph}
 256         \lput*{0}{ja}
 257
 258         \rput(3,4){\rnode{do_amorph}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=red]{Setze Volumen amorph}}}
 259         \ncline[]{->}{cryst}{do_amorph}
 260         \lput*{0}{ja}
 261
 262         \rput(9,4){\rnode{do_cryst}{\psframebox[linestyle=solid,linecolor=blue]{Setze Volumen kristallin}}}
 263         \ncline[]{->}{amorph}{do_cryst}
 264         \lput*{0}{ja}
 265
 266         \rput(6,3){\rnode{check_h}{\psframebox{Anzahl der Durchl"aufe gleich Anzahl der Treffer pro Ion?}}}
 267
 268         \rput(6,6){\pnode{h_2}}
 269         \ncline[]{amorph}{h_2}
 270         \ncline[]{->}{h_2}{check_h}
 271         \lput*{0}{nein}
 272
 273         \rput(6,6){\pnode{h_3}}
 274         \ncline[]{cryst}{h_3}
 275         \ncline[]{->}{h_3}{check_h}
 276         \lput*{0}{nein}
 277
 278         \rput(13,3){\pnode{h_4}}
 279         \rput(13,16){\pnode{h_5}}
 280         \ncline[]{check_h}{h_4}
 281         \ncline[]{h_4}{h_5}
 282         \lput*{0}{nein}
 283         \ncline[]{->}{h_5}{random1}
 284
 285         \ncline[]{->}{do_cryst}{check_h}
 286         \ncline[]{->}{do_amorph}{check_h}
 287
 288         \rput(6,1){\rnode{weiter_1}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
 289         \ncline[]{->}{check_h}{weiter_1}
 290         \lput*{0}{ja}
 291
 292       \end{pspicture}
 293       \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 1: Amorphisierung und Rekristallisation.}
 294       \label{img:flowchart1}
 295       \end{figure}
 296
 297     Im ersten Schritt sollen die Kollisionen und die daraus resultierende Amorphisierung beziehungsweise Rekristallisation simuliert werden.
 298     Das zugeh"orige Ablaufschema ist in Abbildung \ref{img:flowchart1} gezeigt.
 299     Zun"achst muss das gesto"sene Volumen ausgew"ahlt werden.
 300     Die St"o"se sind bez"uglich der $x$ und $y$ Richtung statistisch isotrop verteilt.
 301     Es werden zwei gleichverteilte Zufallszahlen $r_1 \in [0,X[$ und $r_2 \in [0,Y[$ nach \eqref{eq:gleichverteilte_r} ausgew"urfelt.
 302     Diese werden auf die ganzen Zahlen $k$ und $l$ abgebildet und bestimmen die Lage des getroffenen Volumens in der $x,y$-Ebene.
 303     Eine weitere, mit Hilfe der Verwerfungsmethode aus Abschnitt \ref{subsubsection:verwerf_meth} erzeugte Zufallszahl $r_3 \in [0,Z[$ entsprechend der nuklearen Bremskraft, abgebildet auf die ganze Zahl $m$, legt die Tiefe des getroffenen Volumens fest.
 304     Somit hat man den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$ f"ur den Amorphisierungs- oder Rekristallisationsvorgang bestimmt.
 305     Nun kann die Amorphisierungs- beziehungsweise Rekristallisationswahrscheinlichkeit nach \eqref{eq:p_ca_local} beziehungsweise \eqref{eq:p_ac_genau} berechnet werden.
 306     Eine weitere Zufallszahl $r_4 \in [0,1[$ entscheidet dann "uber einen eventuellen Statuswechsel des Volumens.
 307     Es gibt folgende M"oglichkeiten:
 308     \begin{enumerate}
 309     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist kristallin.\\
 310           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{c \rightarrow a}$ ist, wechselt der Status zu amorph.
 311           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 312     \item Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ ist amorph.\\
 313           Wenn $r_4$ kleiner gleich $p_{a \rightarrow c}$ ist, wechselt der Status zu kristallin.
 314           Ansonsten bleibt der Status unver"andert.
 315     \end{enumerate}
 316
 317     Der gesamte Amorphisierungs- und Rekristallisationsschritt wird f"ur die Anzahl der getroffenen Volumina pro implantierten Ion $h$ wiederholt.
 318
 319     \subsection{Einbau des implantierten Kohlenstoffs ins Target}
 320
 321       \begin{figure}[h]
 322       \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
 323
 324         \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
 325
 326         \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{
 327           Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
 328           $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
 329         }}}}
 330         \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
 331
 332         \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
 333           Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
 334         }}}}
 335         \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i}
 336
 337         \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
 338           Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
 339         }}}}
 340         \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
 341
 342         \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
 343         \ncline[]{->}{inc_c}{is_d}
 344
 345         \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
 346         \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
 347         \lput*{0}{nein}
 348
 349         \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
 350         \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
 351         \lput*{0}{ja}
 352
 353         \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
 354         \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
 355
 356         \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
 357           Gehe alle/verbleibende\\
 358           direkte Nachbarn durch
 359         }}}}
 360         \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
 361         \lput*{0}{ja}
 362
 363         \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
 364         \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
 365
 366         \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
 367           "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
 368         }}}}
 369         \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
 370         \lput*{0}{ja}
 371
 372         \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
 373         \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
 374         \rput(8.5,5){\pnode{h1}}
 375         \ncline[]{is_cryst}{h1}
 376         \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}}
 377         \ncline[]{->}{h1}{h2}
 378         \lput*{0}{nein}
 379         \rput(13,3){\pnode{h3}}
 380         \ncline[]{check_dn}{h3}
 381         \rput(13,7){\pnode{h4}}
 382         \ncline[]{h3}{h4}
 383         \lput*{0}{nein}
 384         \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
 385
 386         \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
 387         \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
 388         \lput*{0}{ja}
 389         \rput(13.5,1){\pnode{h5}}
 390         \ncline[]{check_d}{h5}
 391         \rput(13.5,10){\pnode{h6}}
 392         \ncline[]{h5}{h6}
 393         \lput*{0}{nein}
 394         \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
 395         \rput(6,1){\pnode{h7}}
 396         \ncline[]{check_d}{h7}
 397         \lput*{0}{ja}
 398         \rput(6,11){\pnode{h8}}
 399         \ncline[]{h7}{h8}
 400         \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}}
 401         \ncline[]{->}{h8}{h9}
 402
 403         \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
 404           Sputterroutine:\\
 405           \begin{itemize}
 406             \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
 407                   Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
 408             \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
 409             \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
 410           \end{itemize}
 411         }}}}
 412         \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
 413         \lput*{0}{ja}
 414         \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
 415
 416         \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
 417           Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
 418         }}}}
 419         \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
 420
 421         \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
 422         \ncline[]{->}{check_n}{start}
 423         \lput*{0}{nein}
 424         \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
 425         \ncline[]{->}{check_n}{stop}
 426         \lput*{0}{ja}
 427
 428       \end{pspicture}
 429       \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
 430       \label{img:flowchart2}
 431       \end{figure}
 432
 433     Nachdem das Ion die Sto"sprozesse beendet hat, kommt es im Target zur Ruhe.
 434     Die Wahl des Volumens, in das das Ion eingebaut wird, ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
 435     Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
 436     Zur Erzeugung der entsprechenden Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
 437
 438     In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
 439
 440     \subsection{Diffusion und Sputtern}
 441
 442       \begin{figure}[h]
 443       \begin{pspicture}(0,0)(12,18)
 444
 445         \rput(6,18){\rnode{weiter_2}{\psframebox{$\bigotimes$}}}
 446
 447         \rput(6,16){\rnode{random2}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7.5cm}{
 448           Ausw"urfeln der Zufallszahlen:\\
 449           $R_5$, $R_6$, $R_7$ entsprechend Reichweitenverteilung
 450         }}}}
 451         \ncline[]{->}{weiter_2}{random2}
 452
 453         \rput(2,14){\rnode{koord_wahl_i}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
 454           Bestimmung von $\vec{r}(k,l,m)$ durch Abbildung von $R_5$, $R_6$ und $R_7$ auf $k$, $l$ und $m$
 455         }}}}
 456         \ncbar[angleA=180,angleB=180]{->}{random2}{koord_wahl_i}
 457
 458         \rput(10,14){\rnode{inc_c}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=green]{\parbox{7cm}{
 459           Erh"ohung des Kohlenstoffs im Volumen $\vec{r}(k,l,m)$
 460         }}}}
 461         \ncline[]{->}{koord_wahl_i}{inc_c}
 462
 463         \rput(10,12){\rnode{is_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Durchlauf vielfaches von $d_v$?}}}
 464         \ncline[]{->}{inc_c}{is_d}
 465
 466         \rput(2,12){\rnode{is_s}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{Durchlauf vielfaches von $n$?}}}
 467         \ncline[]{->}{is_d}{is_s}
 468         \lput*{0}{nein}
 469
 470         \rput(10,10){\rnode{loop_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Gehe alle/verbleibende Volumina durch?}}}
 471         \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
 472         \lput*{0}{ja}
 473
 474         \rput(10,9){\rnode{d_is_amorph}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Volumen $\vec{r}(k,l,m)$ amorph?}}}
 475         \ncline[]{->}{loop_d}{d_is_amorph}
 476
 477         \rput(10,7){\rnode{loop_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{4cm}{
 478           Gehe alle/verbleibende\\
 479           direkte Nachbarn durch
 480         }}}}
 481         \ncline[]{->}{d_is_amorph}{loop_dn}
 482         \lput*{0}{ja}
 483
 484         \rput(10,6){\rnode{is_cryst}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Nachbarvolumen kristallin?}}}
 485         \ncline[]{->}{loop_dn}{is_cryst}
 486
 487         \rput(11,4){\rnode{transfer}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{\parbox{3.5cm}{
 488           "Ubertrage den Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs
 489         }}}}
 490         \ncline[]{->}{is_cryst}{transfer}
 491         \lput*{0}{ja}
 492
 493         \rput(10,3){\rnode{check_dn}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Nachbarn durch?}}}
 494         \ncline[]{->}{transfer}{check_dn}
 495         \rput(8.5,5){\pnode{h1}}
 496         \ncline[]{is_cryst}{h1}
 497         \rput(8.5,3.2){\pnode{h2}}
 498         \ncline[]{->}{h1}{h2}
 499         \lput*{0}{nein}
 500         \rput(13,3){\pnode{h3}}
 501         \ncline[]{check_dn}{h3}
 502         \rput(13,7){\pnode{h4}}
 503         \ncline[]{h3}{h4}
 504         \lput*{0}{nein}
 505         \ncline[]{->}{h4}{loop_dn}
 506
 507         \rput(10,1){\rnode{check_d}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{Alle Volumina durch?}}}
 508         \ncline[]{->}{check_dn}{check_d}
 509         \lput*{0}{ja}
 510         \rput(13.5,1){\pnode{h5}}
 511         \ncline[]{check_d}{h5}
 512         \rput(13.5,10){\pnode{h6}}
 513         \ncline[]{h5}{h6}
 514         \lput*{0}{nein}
 515         \ncline[]{->}{h6}{loop_d}
 516         \rput(6,1){\pnode{h7}}
 517         \ncline[]{check_d}{h7}
 518         \lput*{0}{ja}
 519         \rput(6,11){\pnode{h8}}
 520         \ncline[]{h7}{h8}
 521         \rput(4.4,11.9){\pnode{h9}}
 522         \ncline[]{->}{h8}{h9}
 523
 524         \rput(2,9){\rnode{s_p}{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=red]{\parbox{7cm}{
 525           Sputterroutine:\\
 526           \begin{itemize}
 527             \item Kopiere Inhalt von Ebene $i$ nach\\
 528                   Ebene $i-1$ f"ur $i = Z,Z-1,\ldots ,2$
 529             \item Setze Status jedes Volumens in Ebene $Z$ kristallin
 530             \item Setze Kohlenstoff jedes Volumens in Ebene $Z$ auf Null
 531           \end{itemize}
 532         }}}}
 533         \ncline[]{->}{is_d}{loop_d}
 534         \lput*{0}{ja}
 535         \ncline[]{->}{is_s}{s_p}
 536
 537         \rput(2,5){\rnode{check_n}{\psframebox{\parbox{4cm}{
 538           Anzahl Durchl"aufe entsprechend Dosis?
 539         }}}}
 540         \ncline[]{->}{s_p}{check_n}
 541
 542         \rput(4,3){\rnode{start}{\psframebox{{\em NLSOP} Start}}}
 543         \ncline[]{->}{check_n}{start}
 544         \lput*{0}{nein}
 545         \rput(0,3){\rnode{stop}{\psframebox{{\em NLSOP} Stop}}}
 546         \ncline[]{->}{check_n}{stop}
 547         \lput*{0}{ja}
 548
 549       \end{pspicture}
 550       \caption{{\em NLSOP} Ablaufschema Teil 2: Kohlenstoffeinbau (gr"un), Diffusion (gelb) und Sputtervorgang (rot).}
 551       \label{img:flowchart3}
 552       \end{figure}
 553
 554     Im Folgenden wird auf die Realisierung der Diffusion eingegangen.
 555     Die Simulation geht der Reihe nach alle Volumina durch.
 556     Im Falle eines amorphen Volumens werden aus direkt anliegenden kristallinen Volumina ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs abgezogen und zu dem amorphen Volumen addiert.
 557     Da nur ganze Atome "ubertragen werden k"onnen, wird der Betrag auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
 558     Dieser Diffusionsvorgang wird alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt.
 559
 560     Die Sputter-Routine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von einer Ebene von Zellen ($3 nm$) entspricht, ausgef"uhrt und bewirkt, dass diese oberste Ebene entfernt wird.
 561     Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
 562     \begin{equation}
 563     S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
 564     \end{equation}
 565     Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
 566     Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
 567     Die Information der obersten Ebene $i=1$ geht dabei verloren.
 568     Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
 569     Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
 570
 571     Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
 572
 573     Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} bestimmt werden.
 574     Bei den gegebenen Bedingungen werden ungef"ahr $50 nm$ des Targets bei einer Dosis von $4,3 \times 10^{-17} cm^{-2}$ abgetragen.
 575
 576   \section{Simulierte Tiefenbereiche}
 577   \label{section:sim_tiefenbereich}
 578
 579   Wie bereits erw"ahnt gibt es zwei verschiedene Versionen des Programms. Sie simulieren zwei unterschiedlich gro"se Tiefenbereiche, welche im Folgenden Simulationsfenster genannt werden.
 580
 581   Da in erster Linie der Selbstorganisationsprozess der lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache der amorphen $SiC_x$-Schicht simuliert werden soll, ist der Tiefenbereich der ersten Version gerade bis zum Beginn der durchgehenden Schicht.
 582   Dies entspricht einer Tiefe von ungef"ahr $300 nm$, und somit einer Anzahl von $Z=100$ W"urfeln in $z$-Richtung.
 583
 584   Wie in \ref{img:bk_impl_p} gut zu erkennen ist, kann in diesem Tiefenbereich sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft durch eine von der Tiefe linear abh"angige Funktion gen"ahert werden.
 585   Daher ergeben sich "Anderungen zu den im vorigen Abschnitt erkl"arten Methoden zur Wahl des Volumens, in dem ein Sto"sprozess beziehungsweise eine Kohlenstofferh"ohung stattfindet.
 586
 587   Die Zufallszahl $z$, die auf die Tiefen-Koordinate $m$ abgebildet wird, muss der Verteilung $p(z)dz = (sz + s_0)dz$ gen"ugen.
 588   Dabei sind $s$ und $s_0$ Simulationsparameter, die die linear gen"aherte nukleare Bremskraft beschreiben.
 589   Die Transformation wird wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben durchgef"uhrt.
 590   Dasselbe betrifft die Wahl der Tiefen-Koordinate f"ur den Einbau des Kohlenstoffatoms.
 591   Anstatt der Wahrscheinlichkeitsverteilung der nuklearen Bremskraft entsprechend, wird eine Verteilung entsprechend dem  linear gen"aherte Implantationsprofil verwendet.
 592   Ausserdem wird nicht nach jedem Durchlauf ein Ion im Simulationsbereich zur Ruhe kommen.
 593   Da das Maximum der Reichweitenverteilung sehr viel tiefer liegt, werden die meisten Ionen ausserhalb des Simulationsfensters stehen bleiben.
 594   Daher wird immer nur dann ein Ion eingebaut, wenn der im Simulationsbereich vorhandene Kohlenstoff $n_c$ kleiner als die Anzahl der Durchl"aufe $n$ multipliziert mit dem Verh"altnis der Fl"ache der Implantationskurve $I(x)$ bis $300 nm$ zur Fl"ache der gesamten Implantationskurve ist.
 595   \begin{equation}
 596   n_c < n \frac{\int_0^{300 nm} I(x) dx}{\int_0^{\infty} I(x) dx}
 597   \end{equation}
 598
 599   Da sowohl die Reichweitenverteilung, als auch die nukleare Bremskraft in Ebenen gr"osser $Z$ ungleich Null ist, kann Sputtern nicht beachtet werden.
 600   Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt "moglich.
 601
 602   Hier sei angemerkt, dass die Simulation prinzipiell auch Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Volumina behandeln kann.
 603   Die erste Idee war, dass Kohlenstoff in kristalline Gebiete diffundieren kann, die bereits einen grossen Anteil ihres Kohlenstoffs an einen amorphen Nachbarn abgegeben haben.
 604   Da jedoch das Konzentrationsprofil durch Diffusionsprozesse nicht ver"andert werden darf, wurde die rein kristalline Diffusion in $z$-Richtung ausgeschlossen.
 605   Da weiterhin die Implantationsprofile von experimentellen Messungen und {\em TRIM}-Simulationen recht gut "ubereinstimmen, kann Diffusion in $z$-Richtung tats"achlich ausgeschlossen werden.
 606   Eine Vorzugsrichtung der Diffusion ist unphysikalisch, weshalb die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete in weiteren Simulationen ausgeschlossen wurde.
 607   Als Relikt bleibt die Option die Diffusion in $z$-Richtung auszuschalten.
 608
 609   In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
 610   Das Simulationsfenster geht von $0-700 nm$.
 611   Dies entspricht einer Anzahl $Z=233$ von W"urfeln in $z$-Richtung.
 612
 613   Die Tiefen-Koordinaten f"ur den Sto"sprozess und die Kohlenstoffinkorporation werden wie in Abschnitt \ref{subsection:a_r_step} beschrieben nach der Verwerfungsmethode entsprechend dem nuklearen Bremskraftprofil und der Reichweitenverteilung gewonnen.
 614
 615    Da sowohl der nukleare Energieverlust und die Kohlenstoffkonzentration in Ebenen gr"osser $Z$ auf Null abgesunken ist, kann die Sputterroutine ausgef"uhrt werden.
 616    Der Diffusionsprozess ist ebenfalls uneingeschr"ankt m"oglich.
 617
 618   \section{Test der Zufallszahlen}
 619
 620   F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
 621   Es gibt viele statistische Tests eine Zahlenfolge auf ihre Verteilung beziehungsweise Zuf"alligkeit zu "uberpr"ufen.
 622
 623   Im Folgenden soll nur kontrolliert werden, dass f"ur gleichverteilte Zufallszahlen keine lokalen Anh"aufungen von Zahlen existieren.
 624   Desweiteren werden die Methoden zur Erzeugung spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Vergleich der H"aufigkeit auftretender Zufallszahlen mit dem gew"unschten Verlauf "uberpr"uft.
 625
 626   Dazu werden f"ur die unterschiedlichen Verteilungen jeweils 10 Millionen Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$ erzeugt und auf die n"achst kleinere ganze Zahl abgerundet.
 627   Ein einfaches Script-Programm z"ahlt die H"aufigkeit der einzelnen Zufallszahlen in der Zufallszahlensequenz.
 628
 629   \begin{figure}[h]
 630   \includegraphics[width=12cm]{random.eps}
 631   \caption{H"aufigkeit ganzzahliger Zufallszahlen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. F"ur jede Verteilung wurden 10 Millionen Zufallszahlen ausgew"urfelt.}
 632   \label{img:random_distrib}
 633   \end{figure}
 634   Abbildung \ref{img:random_distrib} zeigt die H"aufigkeit von Zufallszahlen zwischen $0$ und $232$, abgerundet auf die n"achst kleinere ganze Zahl, f"ur unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
 635
 636   Die blauen Punkte zeigen die Gleichverteilung nach \eqref{eq:gleichverteilte_r}.
 637   Man erkennt keine lokalen Anh"aufungen.
 638
 639   Die roten Punkte zeigen die H"aufigkeit der Zufallszahlen bei Verwendung einer linear steigenden Wahrscheinlichkeitsverteilung wie in Abschnitt \ref{subsubsection:lin_g_p} beschrieben.
 640   Dabei wurde $a=1$, $b=0$ und $Z=233$ gew"ahlt.
 641   Wie erwartet zeigen die Punkte einen linearen Verlauf.
 642
 643   Die H"aufigkeiten, der mit der Verwerfungsmethode erzeugten Zufallszahlen entsprechend der nuklearen Bremskraft (gr"un) und dem Implantationsprofil (schwarz), stimmen sehr gut mit den Profilen in Abbildung \ref{img:bk_impl_p} "uberein.
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