9ff2b4b39b6a303405994ee0b29d6375491c5197
1 \chapter{Mathematical tools}
3 \section{Vector algebra}
5 \subsection{Vector space}
6 \label{math_app:vector_space}
8 \begin{definition}
9 A vector space $V$ over a field $(K,+,\cdot)$ is an additive abelian group $(V,+)$ and an additionally defined scalar multiplication of $\vec{v}\in V$ by $\lambda\in K$, which fullfills:
10 \begin{itemize}
11 \item $\forall \vec{v} \, \exists 1$ with: $\vec{v}1=\vec{v}$
12       (identity element of scalar multiplication)
13 \item $\vec{v}(\lambda_1+\lambda_2)=\vec{v}\lambda_1+\vec{v}\lambda_2$
14       (distributivity of scalar multiplication)
15 \item $(\vec{v}_1+\vec{v}_2)\lambda=\vec{v}_1\lambda + \vec{v}_2\lambda$
16       (distributivity of scalar multiplication)
17 \item $(\vec{v}\lambda_1)\lambda_2=\vec{v}(\lambda_1\lambda_2)$
18       (compatibility of scalar multiplication with field multiplication)
19 \end{itemize}
20 The elements $\vec{v}\in V$ are called vectors.
21 \end{definition}
22 \begin{remark}
23 Due to the additive abelian group, the following properties are additionally valid:
24 \begin{itemize}
25 \item $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ (commutativity of addition)
26 \item $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
28 \item $\forall \vec{v} \, \exists \vec{0}$ with:
29       $\vec{0}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$
31 \item $\forall \vec{v} \, \exists -\vec{v}$ with: $\vec{v}+(-\vec{v})=0$
33 \end{itemize}
35 \end{remark}
37 \subsection{Dual space}
39 \subsection{Inner and outer product}
40 \label{math_app:product}
42 \begin{definition}
43 The inner product on a vector space $V$ over $K$ is a map $(\cdot,\cdot):V\times V \rightarrow K$, which satisfies
44 \begin{itemize}
45 \item $(\vec{u},\vec{v})=(\vec{v},\vec{u})^*$
46       (conjugate symmetry, symmetric for $K=\mathbb{R}$)
47 \item $(\lambda\vec{u},\vec{v})=\lambda(\vec{u},\vec{v})$ and
48       $(\vec{u}'+\vec{u}'',\vec{v})=(\vec{u}',\vec{v})+(\vec{u}'',\vec{v})$
49       (linearity in first argument)
50 \item $(\vec{u},\vec{u})\geq 0 \text{, } =" \Leftrightarrow \vec{u}=0$
51       (positive definite)
52 \end{itemize}
53 for $\vec{u},\vec{v}\in V$ and $\lambda\in K$.
54 \end{definition}
56 \begin{remark}
57 Due to conjugate symmetry, linearity in the first argument results in conjugate linearity (also termed antilinearity) in the second argument.
58 This is called a sesquilinear form.
59 \begin{equation}
60 (\vec{u},\lambda(\vec{v}'+\vec{v}''))=(\lambda(\vec{v}'+\vec{v}''),\vec{u})^*=
61 \lambda^*(\vec{v}',\vec{u})^*+\lambda^*(\vec{v}'',\vec{u})^*=
62 \lambda^*(\vec{u},\vec{v}')+\lambda^*(\vec{u},\vec{v}'')
63 \end{equation}
64 In physics and matrix algebra, the inner product is often defined with linearity in the second argument and conjugate linearity in the first argument.
65 This allows to express the inner product $(\vec{u},\vec{v})$ as a product of vector $\vec{v}$ with the dual vector or linear functional of dual space $V^{\dagger}$
66 \begin{equation}
67 (\vec{u},\vec{v}) \rightarrow \vec{u}^{\dagger}(\vec{u})\vec{v}
68 \end{equation}
69 or the conjugate transpose in matrix formalism
70 \begin{equation}
71 (\vec{u},\vec{v}) \rightarrow \vec{u}^{\dagger}\vec{v} \text{ .}
72 \end{equation}
73 In doing so, conjugacy is associated with duality.
74 \end{remark}
76 \begin{definition}
77 If $\vec{u}\in U$, $\vec{v}\in V$ and $\vec{v}^{\dagger}\in V^{\dagger}$  are vectors within the respective vector spaces and $V^{\dagger}$ is the dual space of $V$,
78 the outer product $\vec{u}\otimes\vec{v}$ is defined as the tensor product of $\vec{v}^{\dagger}$ and $\vec{u}$,
79 which constitutes a map $A:V\rightarrow U$ by
80 \begin{equation}
81 \vec{v}\mapsto\vec{v}^{\dagger}(\vec{v})\vec{u}
82 \text{ ,}
83 \end{equation}
84 where $\vec{v}^{\dagger}(\vec{v})$ denotes the linear functional $\vec{v}^{\dagger}\in V^{\dagger}$ on $V$ when evaluated at $\vec{v}\in V$, a scalar that in turn is multiplied with $\vec{u}\in U$.
86 In matrix formalism, with respect to a given basis ${\vec{e}_i}$ of $\vec{u}$ and ${\vec{e}'_i}$ of $\vec{v}$,
87 if $\vec{u}=\sum_i^m \vec{e}_iu_i$ and $\vec{v}=\sum_i^n\vec{e}'_iv_i$,
88 the outer product can be written as matrix $A$ as
89 \begin{equation}
90 \vec{u}\otimes\vec{v}=A=\left(
91 \begin{array}{c c c c}
92 u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_n\\
93 u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n\\
94 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
95 u_mv_1 & u_mv_2 & \cdots & u_mv_n\\
96 \end{array}
97 \right)
98 \text{ .}
99 \end{equation}
100 \end{definition}
101 \begin{remark}
102 The matrix can be equivalently obtained by matrix multiplication:
103 \begin{equation}
104 \vec{u}\otimes\vec{v}=\vec{u}\vec{v}^{\dagger} \text{ ,}
105 \end{equation}
106 if $\vec{u}$ and $\vec{v}$ are represented as $m\times 1$ and $n\times 1$ column vectors, respectively.
107 Here, $\vec{v}^{\dagger}$ represents the conjugate transpose of $\vec{v}$.
108 By definition, and as can be easily seen in the matrix representation, the following identity holds:
109 \begin{equation}
110 (\vec{u}\otimes\vec{v})\vec{w}=\vec{u}(\vec{v},\vec{w})
111 \end{equation}
112 \end{remark}
114 \section{Spherical coordinates}
116 \section{Fourier integrals}