physics_compact/math_app.tex

   1 \chapter{Mathematical tools}
   2
   3 \section{Vector space}
   4 \label{math_app:vector_space}
   5
   6 \begin{definition}
   7 A vector space $V$ over a field $(K,+,\cdot)$ is an additive abelian group $(V,+)$ and an additionally defined scalar multiplication of $\vec{v}\in V$ by $\lambda\in K$, which fullfills:
   8 \begin{itemize}
   9 \item $\forall \vec{v} \, \exists 1$ with: $\vec{v}1=\vec{v}$
  10       (identity element of scalar multiplication)
  11 \item $\vec{v}(\lambda_1+\lambda_2)=\vec{v}\lambda_1+\vec{v}\lambda_2$
  12       (distributivity of scalar multiplication)
  13 \item $(\vec{v}_1+\vec{v}_2)\lambda=\vec{v}_1\lambda + \vec{v}_2\lambda$
  14       (distributivity of scalar multiplication)
  15 \item $(\vec{v}\lambda_1)\lambda_2=\vec{v}(\lambda_1\lambda_2)$
  16       (compatibility of scalar multiplication with field multiplication)
  17 \end{itemize}
  18 The elements $\vec{v}\in V$ are called vectors.
  19 \end{definition}
  20 \begin{remark}
  21 Due to the additive abelian group, the following properties are additionally valid:
  22 \begin{itemize}
  23 \item $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ (commutativity of addition)
  24 \item $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
  25       (associativity of addition)
  26 \item $\forall \vec{v} \, \exists \vec{0}$ with:
  27       $\vec{0}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$
  28       (identity elemnt of addition)
  29 \item $\forall \vec{v} \, \exists -\vec{v}$ with: $\vec{v}+(-\vec{v})=0$
  30       (inverse element of addition)
  31 \end{itemize}
  32 The addition of two vectors is called vector addition.
  33 \end{remark}
  34
  35 \section{Spherical coordinates}
  36
  37 \section{Fourier integrals}
  38