f8361e867081cb0b6b6e2d4efc95990e239f1807
1 \chapter{Mathematical tools}
3 \section{Vector algebra}
5 \subsection{Vector space}
6 \label{math_app:vector_space}
8 \begin{definition}[Vector space]
9 A vector space $V$ over a field $(K,+,\cdot)$ is an additive abelian group $(V,+)$ and an additionally defined scalar multiplication of $\vec{v}\in V$ by $\lambda\in K$, which fullfills:
10 \begin{itemize}
11 \item $\forall \vec{v} \, \exists 1$ with: $\vec{v}1=\vec{v}$
12       (identity element of scalar multiplication)
13 \item $\vec{v}(\lambda_1+\lambda_2)=\vec{v}\lambda_1+\vec{v}\lambda_2$
14       (distributivity of scalar multiplication)
15 \item $(\vec{v}_1+\vec{v}_2)\lambda=\vec{v}_1\lambda + \vec{v}_2\lambda$
16       (distributivity of scalar multiplication)
17 \item $(\vec{v}\lambda_1)\lambda_2=\vec{v}(\lambda_1\lambda_2)$
18       (compatibility of scalar multiplication with field multiplication)
19 \end{itemize}
20 The elements $\vec{v}\in V$ are called vectors.
21 \end{definition}
23 \begin{remark}
24 Due to the additive abelian group, the following properties are additionally valid:
25 \begin{itemize}
26 \item $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ (commutativity of addition)
27 \item $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
29 \item $\forall \vec{v} \, \exists \vec{0}$ with:
30       $\vec{0}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$
32 \item $\forall \vec{v} \, \exists -\vec{v}$ with: $\vec{v}+(-\vec{v})=0$
34 \end{itemize}
36 \end{remark}
38 \subsection{Dual space}
40 \begin{definition}[Dual space]
41 The dual space $V^{\dagger}$ of vector space $V$ over field $K$ is defined as the set of all linear maps from the vector space $V$ into its field $K$
42 \begin{equation}
43 \varphi:V\rightarrow K \text{ .}
44 \end{equation}
45 These type of linear maps are termed linear functionals.
46 The dual space $V^{\dagger}$ becomes a vector space over $K$ itself by the following additional definitions
47 \begin{eqnarray}
48 (\varphi+\psi)(\vec{v}) & = & \varphi(\vec{v})+\psi(\vec{v}) \\
49 (\lambda\varphi)(\vec{v}) & = & \lambda\varphi(\vec{v})
50 \end{eqnarray}
51 for all $\vec{v}\in V$, $\varphi,\psi\in V^{\dagger}$ and $\lambda\in K$.
53 The map $V^{\dagger}\times V \rightarrow K: [\varphi,\vec{v}]=\varphi(\vec{v})$ is termed dual pairing of a functional $\varphi\in V^{\dagger}$ and an elemnt $\vec{v}\in V$.
54 \end{definition}
56 \subsection{Inner and outer product}
57 \label{math_app:product}
59 \begin{definition}[Inner product]
60 The inner product on a vector space $V$ over $K$ is a map
61 $(\cdot,\cdot):V\times V \rightarrow K$, which satisfies
62 \begin{itemize}
63 \item $(\vec{u},\vec{v})=(\vec{v},\vec{u})^*$
64       (conjugate symmetry, symmetric for $K=\mathbb{R}$)
65 \item $(\lambda\vec{u},\vec{v})=\lambda(\vec{u},\vec{v})$ and
66       $(\vec{u}'+\vec{u}'',\vec{v})=(\vec{u}',\vec{v})+(\vec{u}'',\vec{v})$
67       (linearity in first argument)
68 \item $(\vec{u},\vec{u})\geq 0 \text{, } =" \Leftrightarrow \vec{u}=0$
69       (positive definite)
70 \end{itemize}
71 for $\vec{u},\vec{v}\in V$ and $\lambda\in K$.
72 Taking the complex conjugate $(\cdot)^*$ is the map from
73 \begin{equation}
74 z=a+bi\mapsto z^*=a-bi \text{, } z,z^*\in K \text{.}
75 \end{equation}
76 \end{definition}
78 \begin{remark}
79 \label{math_app:ip_remark}
80 Due to conjugate symmetry, linearity in the first argument results in conjugate linearity (also termed antilinearity) in the second argument.
81 \begin{equation}
82 (\vec{u},\lambda(\vec{v}'+\vec{v}''))=(\lambda(\vec{v}'+\vec{v}''),\vec{u})^*=
83 \lambda^*(\vec{v}',\vec{u})^*+\lambda^*(\vec{v}'',\vec{u})^*=
84 \lambda^*(\vec{u},\vec{v}')+\lambda^*(\vec{u},\vec{v}'')
85 \end{equation}
86 This is called a sesquilinear form.
87 If $K=\mathbb{R}$, conjugate symmetry reduces to symmetry and the sesquilinear form gets a bilinear form.
89 Furtermore, the inner product $(\cdot,\cdot)$ provides a mapping
90 \begin{equation}
91 V\rightarrow V^{\dagger}:\vec{v}\mapsto \varphi_{\vec{v}}
93 \text{ defined by }
95 \varphi_{\vec{v}}(\vec{u})=(\vec{v},\vec{u}) \text{ .}
96 \label{eq:ip_mapping}
97 \end{equation}
98 Since the inner product is linear in the first argument, the same is true for the defined mapping.
99 \begin{equation}
100 \lambda(\vec{u}+\vec{v}) \mapsto
101 \varphi_{\lambda(\vec{u}+\vec{v})}=
102 \lambda\varphi_{\vec{u}}+\lambda\varphi_{\vec{v}}\\
103 \end{equation}
104 If the inner product is nondegenerate, i.e.\  $\forall\vec{u}\, (\vec{v},\vec{u})=0 \Leftrightarrow \vec{v}=0$, as it applies for the scalar product for instance, the mapping is injective.
105 Since the dimension of $V$ and $V^{\dagger}$ is equal, it is additionally surjective.
106 Then, $V$ is isomorphic to $V^{\dagger}$.
107 Vector $\vec{v}^{\dagger}\equiv \varphi_{\vec{v}}\in V^{\dagger}$ is said to be the dual vector of $\vec{v}\in V$.
108 The dual pairing $[\vec{v}^{\dagger},\vec{u}]=[\varphi_{\vec{v}},\vec{u}]=\varphi_{\vec{v}}(\vec{u})$ is associated with the inner product $(\vec{v},\vec{u})$.
110 Now, in physics and matrix algebra, the inner product is often defined with linearity in the second argument and conjugate linearity in the first argument.
111 In this case, the antilinearity property is assigned to the element $\varphi_{\vec{v}}=\vec{v}^{\dagger}$ of dual space
112 \begin{equation}
113 \varphi_{\lambda\vec{v}}(\vec{u})=
114 (\lambda\vec{v},\vec{u})=
115 \lambda^*(\vec{v},\vec{u})=
116 \lambda^*\varphi_{\vec{v}}(\vec{u})
117 \end{equation}
118 and $V$ is found to be isomorphic to the conjugate complex of its dual space.
119 Then, the inner product $(\vec{v},\vec{u})$ is associated with the dual pairing of element $\vec{u}$ of the vector space and $\vec{v}^{\dagger}$ of its conjugate complex dual space
120 \begin{equation}
121 (\vec{v},\vec{u})\rightarrow
122 [\varphi_{\vec{v}},\vec{u}]=
123 [\vec{v}^{\dagger},\vec{u}]
124 \text{ .}
125 \end{equation}
127 The standard sesquilinear form $\langle\cdot,\cdot\rangle$, also called Hermitian form, on $\mathbb{C}^n$ and linearity in the second argument, is given by
128 \begin{equation}
129 \langle\vec{v},\vec{u}\rangle=\sum_i^nv_i^*u_i
130 \text{ .}
131 \end{equation}
132 In this case, in matrix formalism, the inner product is reformulated
133 \begin{equation}
134 (\vec{v},\vec{u}) \rightarrow \vec{v}^{\dagger}\vec{u}
135 \text{ ,}
136 \end{equation}
137 where the dual vector is associated with the conjugate transpose $\vec{v}^{\dagger}$ of the corresponding vector $\vec{v}$
138 and the usual rules of matrix multiplication.
139 \end{remark}
141 \begin{definition}[Outer product]
142 If $\vec{u}\in U$, $\vec{v},\vec{w}\in V$ are vectors within the respective vector spaces and $\varphi_{\vec{v}}\in V^{\dagger}$ is a linear functional of the dual space $V^{\dagger}$ of $V$ determined in some way from $\vec{v}$ (e.g.\  as in \eqref{eq:ip_mapping}),
143 the outer product $\vec{u}\otimes\vec{v}$ is defined as the tensor product of $\varphi_{\vec{v}}$ and $\vec{u}$,
144 which constitutes a map $A:V\rightarrow U$ by
145 \begin{equation}
146 \vec{w}\mapsto\varphi_{\vec{v}}(\vec{w})\vec{u}
147 \text{ ,}
148 \end{equation}
149 where $\varphi_{\vec{v}}(\vec{w})$ denotes the linear functional $\varphi_{\vec{v}}\in V^{\dagger}$ on $V$ when evaluated at some $\vec{w}\in V$, a scalar that in turn is multiplied with $\vec{u}\in U$.
150 \end{definition}
152 \begin{remark}
153 In matrix formalism, with respect to a given basis ${\vec{e}_i}$ of $\vec{u}$ and ${\vec{e}'_i}$ of $\vec{v}$,
154 if $\vec{u}=\sum_i^m \vec{e}_iu_i$ and $\vec{v}=\sum_i^n\vec{e}'_iv_i$,
155 the outer product can be written as matrix $A$ as
156 \begin{equation}
157 \vec{u}\otimes\vec{v}=A=\left(
158 \begin{array}{c c c c}
159 u_1v_1^* & u_1v_2^* & \cdots & u_1v_n^*\\
160 u_2v_1^* & u_2v_2^* & \cdots & u_2v_n^*\\
161 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
162 u_mv_1^* & u_mv_2^* & \cdots & u_mv_n^*\\
163 \end{array}
164 \right)
165 \text{ .}
166 \end{equation}
168 The matrix can be equivalently obtained by matrix multiplication:
169 \begin{equation}
170 \vec{u}\otimes\vec{v}=\vec{u}\vec{v}^{\dagger} \text{ ,}
171 \end{equation}
172 if $\vec{u}$ and $\vec{v}$ are represented as $m\times 1$ and $n\times 1$ column vectors, respectively.
173 Here, $\vec{v}^{\dagger}$ represents the conjugate transpose of $\vec{v}$.
174 By definition, and as can be easily seen in the matrix representation, the following identity holds:
175 \begin{equation}
176 (\vec{u}\otimes\vec{v})\vec{w}=\vec{u}(\vec{v},\vec{w})
177 \end{equation}
178 \end{remark}
180 \section{Spherical coordinates}
182 \section{Fourier integrals}