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[lectures/latex.git] / posic / talks / md_simulation_von_silizium.tex
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46 \begin{center}
47  \begin{minipage}{2.0cm}
48   \begin{center}
49   \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
50   \end{center}
51  \end{minipage}
52  \begin{minipage}{8.0cm}
53   \begin{center}
54   {\large\bf
55   Molekulardynamische Simulation\\
56   von Silizium
57   }
58   \end{center}
59  \end{minipage}
60  \begin{minipage}{2.3cm}
61   \begin{center}
62   \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
63   \end{center}
64  \end{minipage}
65 \end{center}
66 \begin{picture}(350,40)
67 \end{picture}
68 \begin{center}
69 Frank Zirkelbach
70 \end{center}
71 \begin{picture}(350,40)
72 \end{picture}
73 \begin{center}
74  {\small 14.06.2007}
75 \end{center}
76 \end{slide}
77
78 % start of content
79 \ptsize{8}
80
81 \begin{slide}
82 {\large\bf
83  "Uberblick
84 }
85 \begin{picture}(350,10)
86 \end{picture}
87 \begin{center}
88  {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von 
89  {\color{green} Silizium}
90 \end{center}
91 \begin{picture}(350,10)
92 \end{picture}
93 \begin{itemize}
94  \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
95  \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
96  \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
97  \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
98 \end{itemize}
99 \end{slide}
100
101 \begin{slide}
102 {\large\bf
103  Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
104 }
105 \begin{picture}(350,10)
106 \end{picture}
107 \begin{center}
108  Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
109 \end{center}
110 \begin{picture}(350,10)
111 \end{picture}
112 MC:
113 \begin{itemize}
114  \item stochastische Simulation
115  \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
116  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
117 \end{itemize}
118 \begin{picture}(350,10)
119 \end{picture}
120 MD:
121 \begin{itemize}
122  \item deterministische Simulation
123  \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
124  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
125 \end{itemize}
126 \begin{picture}(350,10)
127 \end{picture}
128 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
129 \end{slide}
130
131 \begin{slide}
132 {\large\bf
133  Prinzip der MD-Simulation
134 }
135 \begin{itemize}
136  \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
137  \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
138        $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
139  \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
140  \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
141        \[
142        \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
143        \qquad
144        \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
145        \]\\
146        Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
147 \end{itemize}
148 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
149 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
150 \begin{picture}(350,10)
151 \end{picture}
152 {\large\bf
153  Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
154 }
155 \begin{itemize}
156  \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
157  \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
158  \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
159 \end{itemize}
160 \end{slide}
161
162 \begin{slide}
163 {\large\bf
164  Integration der Bewegungsgleichungen
165 }
166 \begin{itemize}
167  \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
168  \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
169        \[
170        m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
171        \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
172        m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
173        \]
174        \begin{center}
175        (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
176        \end{center}
177  \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
178        \[
179        \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
180        \]
181        \begin{center}
182         (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
183        \end{center}
184        Beispiel Euler:\\
185        ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
186        ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
187 \end{itemize}
188 {\large\bf
189  Anforderungen an den Integrator
190 }  
191 \begin{itemize}
192  \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
193  \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
194  \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
195 \end{itemize}
196 \end{slide}
197
198 \begin{slide}
199 {\large\bf
200  {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
201 }
202 \begin{itemize}
203  \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
204        \begin{eqnarray}
205        {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
206                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
207                                 \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
208                                 \nonumber \\
209        {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
210                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
211                                 \nonumber \\
212        {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
213                                 \nonumber \\
214        {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
215                                 \nonumber
216        \end{eqnarray}
217  \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
218        f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
219        $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
220        $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
221        {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
222  \item Korrektur:
223        \begin{eqnarray}
224        {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
225                                    c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
226        {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
227                                    c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
228        {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
229                                    c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
230        {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
231                                    c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
232        \end{eqnarray}
233  \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
234 \end{itemize}
235 {\scriptsize
236  C. W. Gear.
237  The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
238  (1966)\\
239  C. W. Gear.
240  Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
241  (1971)
242 }
243 \end{slide}
244
245 \begin{slide}
246 {\large\bf
247  Velocity Verlet
248 }\\
249 Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
250 \begin{eqnarray}
251  {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
252                          \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
253  {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
254                          {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
255 \end{eqnarray}
256 Alogrithmus:
257 \begin{itemize}
258  \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
259  \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
260        \[
261        {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
262        \]
263  \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
264        $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
265  \item Update der Geschwindigkeiten
266        \[
267        {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
268                              \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
269        \]
270 \end{itemize}
271 Eigenschaften:
272 \begin{itemize}
273  \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
274  \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
275  \item verh"altnism"a"sig pr"azise
276 \end{itemize}
277 \end{slide}
278
279 \begin{slide}
280 {\large\bf
281  Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
282 }\\
283 Klassisches Potential:
284 \[
285 {\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
286                \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
287                \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
288                \ldots
289 \]
290 \begin{minipage}{8.3cm}
291 \begin{itemize}
292  \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
293  \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
294                          (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
295  \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
296        (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
297  \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
298  \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
299  \item nur Paarpotential\\
300        $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
301        $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
302 \end{itemize}
303 \end{minipage}
304 \begin{minipage}{4cm}
305  \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
306 \end{minipage}
307 Cut-Off Radius $r_c$:
308 \begin{itemize}
309  \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
310  \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
311 \end{itemize}
312 \begin{picture}(350,5)
313 \end{picture}
314 Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
315 \end{slide}
316
317 \begin{slide}
318 {\large\bf
319  Wahl/Kontrolle des Ensembles
320 }\\
321 Erinnerung:
322 \begin{itemize}
323  \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum
324  \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
325  \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
326 \end{itemize}
327 $\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
328 \[
329  \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
330 \]
331 F"ur ander Ensembles:
332 \begin{itemize}
333  \item Anpassung der Bewegungsgleichungen
334  \item Tricks
335 \end{itemize}
336 \end{slide}
337
338 \begin{slide}
339 {\large\bf
340  kanonisches Ensemble (NVT)
341 }
342 \end{slide}
343
344 \begin{slide}
345 {\large\bf
346  isothermales isobares Ensemble (NpT)
347 }
348 \end{slide}
349
350 \begin{slide}
351 {\large\bf
352  Die Simulationszelle \& Randbedingungen
353 }
354 \end{slide}
355
356 \begin{slide}
357 {\large\bf
358  Trick: Nachbarlisten \& Zell-Methode
359 }
360 \end{slide}
361
362 \begin{slide}
363 {\large\bf
364  Thermodynamische Gr"o"sen
365 }
366 \end{slide}
367
368 \begin{slide}
369 {\large\bf
370  3-K"orper Potentiale
371 }
372 \end{slide}
373
374 \begin{slide}
375 {\large\bf
376  Brenner / Tersoff
377 }
378 \end{slide}
379
380 \begin{slide}
381 {\large\bf
382  EAM
383 }
384 \end{slide}
385
386 \begin{slide}
387 {\large\bf
388  Albe Reparametrisierung
389 }
390 \end{slide}
391
392 \begin{slide}
393 {\large\bf
394  Zusammenfassung
395 }
396 \end{slide}
397
398 \begin{slide}
399 {\large\bf
400  Ausblick
401 }
402 \end{slide}
403
404 \end{document}