2 \documentclass[landscape,semhelv]{seminar}
5 \usepackage[german]{babel}
6 \usepackage[latin1]{inputenc}
7 \usepackage[T1]{fontenc}
11 \usepackage{calc} % Simple computations with LaTeX variables
12 \usepackage[hang]{caption2} % Improved captions
13 \usepackage{fancybox} % To have several backgrounds
15 \usepackage{fancyhdr} % Headers and footers definitions
16 \usepackage{fancyvrb} % Fancy verbatim environments
17 \usepackage{pstricks} % PSTricks with the standard color package
20 \graphicspath{{../img/}}
23 \usepackage{semlayer} % Seminar overlays
24 \usepackage{slidesec} % Seminar sections and list of slides
26 \input{seminar.bug} % Official bugs corrections
27 \input{seminar.bg2} % Unofficial bugs corrections
33 \extraslideheight{10in}
39 \def\slideleftmargin{5.1cm}
40 \def\slidetopmargin{-0.6cm}
42 \newcommand{\ham}{\mathcal{H}}
43 \newcommand{\pot}{\mathcal{V}}
50 \begin{minipage}{2.0cm}
52 \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
55 \begin{minipage}{8.0cm}
58 Molekulardynamische Simulation\\
63 \begin{minipage}{2.3cm}
65 \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
69 \begin{picture}(350,40)
74 \begin{picture}(350,40)
88 \begin{picture}(350,10)
91 {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von
92 {\color{green} Silizium}
94 \begin{picture}(350,10)
97 \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
98 \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
99 \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
100 \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
106 Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
108 \begin{picture}(350,10)
111 Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
113 \begin{picture}(350,10)
117 \item stochastische Simulation
118 \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
119 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
121 \begin{picture}(350,10)
125 \item deterministische Simulation
126 \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
127 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
129 \begin{picture}(350,10)
131 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
136 Prinzip der MD-Simulation
139 \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
140 \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
141 $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
142 \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
143 \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
145 \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
147 \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
149 Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
151 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
152 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
153 \begin{picture}(350,10)
156 Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
159 \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
160 \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
161 \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
167 Integration der Bewegungsgleichungen
170 \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
171 \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
173 m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
174 \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
175 m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
178 (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
180 \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
182 \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
185 (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
188 ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
189 ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
192 Anforderungen an den Integrator
195 \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
196 \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
197 \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
203 {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
206 \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
208 {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
209 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
210 \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
212 {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
213 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
215 {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
217 {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
220 \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
221 f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
222 $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
223 $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
224 {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
227 {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
228 c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
229 {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
230 c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
231 {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
232 c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
233 {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
234 c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
236 \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
240 The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
243 Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
252 Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
254 {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
255 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
256 {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
257 {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
261 \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
262 \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
264 {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
266 \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
267 $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
268 \item Update der Geschwindigkeiten
270 {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
271 \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
276 \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
277 \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
278 \item verh"altnism"a"sig pr"azise
284 Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
286 Klassisches Potential:
288 {\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
289 \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
290 \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
293 \begin{minipage}{8.3cm}
295 \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
296 \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
297 (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
298 \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
299 (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
300 \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
301 \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
302 \item nur Paarpotential\\
303 $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
304 $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
307 \begin{minipage}{4cm}
308 \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
310 Cut-Off Radius $r_c$:
312 \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
313 \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
315 \begin{picture}(350,5)
317 Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
322 Wahl/Kontrolle des Ensembles
324 \begin{picture}(350,10)
328 \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
329 \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
330 \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
332 $\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
334 \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
336 \begin{picture}(350,10)
338 F"ur andere Ensembles:
340 \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
341 im gew"unschten Ensemble
347 \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
348 $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
349 Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
350 Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
356 kanonisches Ensemble (NVT)
358 \begin{picture}(350,10)
360 Trick: {\em temperature scaling}
362 \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
363 \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
364 \item eigentlich {\em velocity scaling}
365 \item Berendsen Thermostat:
367 \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
370 $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
371 {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
376 \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
378 \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
379 \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
380 \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
381 (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
387 isothermales isobares Ensemble (NpT)
389 \begin{picture}(350,10)
391 Trick: {\em pressure scaling}
393 \item analog zum {\em temperature scaling}
394 \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
395 \item eigentlich {\em volume scaling}
396 \item Berendsen Barostat:
398 \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
401 \begin{picture}(350,10)
405 \item modifizierte Bewegungsgleichung
406 (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
408 \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
409 =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
410 \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
411 \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
413 \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
414 \item Physikalische Interpretation:\\
415 Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
416 mit externen Druck $\alpha$
417 \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
418 ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
419 m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
421 {\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
426 Die Simulationszelle \& Randbedingungen
430 \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
431 \item meist orthogonale Simulationszelle
432 \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
433 \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
437 \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
438 (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
439 \item besser: periodische Randbedingungen
442 \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
448 Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
450 Simulation von Oberfl"achen:
452 \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
453 \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
454 \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
456 \includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
461 $SiC$-Ausscheidung in Silizium
463 \begin{picture}(350,10)
465 \begin{minipage}{8cm}
466 \includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
468 \begin{minipage}{4cm}
470 \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
471 (schaffrierter Bereich)\\
472 $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
473 \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
475 $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
476 \item feste Randatome, Bulk\\
486 Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
488 \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
490 \item gehe alle Atome $j$ durch
491 \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
493 $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
494 \item Zell-Methode:\\
495 \begin{minipage}{6cm}
497 \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
498 $M \times M \times M$ Subzellen\\
499 mit L"ange $l=L/M>r_c$
500 \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
501 $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
502 \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
503 $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
504 $N/M^3$ Materialkonstante
506 $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
508 \begin{minipage}{5cm}
509 \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
516 Thermodynamische Gr"o"sen
519 \item Innere Energie:
521 E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
523 \item Temperatur/Druck
525 <p_k \frac{\partial \ham}{\partial p_k}> &=& k_BT \nonumber \\
526 <q_k \frac{\partial \ham}{\partial q_k}> &=& k_BT \nonumber
529 "Aquipartitionstheorem
533 \sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i} = 3Nk_BT \quad
534 \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}
538 \sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \pot = 3Nk_BT \quad
539 \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad
540 - \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = -3Nk_BT \quad
542 \item W"armekapazit"at
563 Albe Reparametrisierung
569 Zusammenfassung / Ausblick
571 \begin{tabular}{|l|c|lr|}
573 Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
575 {\bf Integrator} & & & \\
576 Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
577 Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
578 {\bf Potential} & & & \\
579 Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
580 Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
581 Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
582 Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
583 & $\bullet\bullet\bullet$ \\
584 EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
585 {\bf Ensembles} & & & \\
586 {\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
587 {\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
588 Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
589 Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
590 {\bf Simulationzelle} & & & \\
591 periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
592 $T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
593 {\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
594 & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\