posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex

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  41
  42 \newcommand{\ham}{\mathcal{H}}
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  44
  45 % topic
  46
  47 \begin{slide}
  48 %\centerslidesfalse
  49 \begin{center}
  50  \begin{minipage}{2.0cm}
  51   \begin{center}
  52   \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
  53   \end{center}
  54  \end{minipage}
  55  \begin{minipage}{8.0cm}
  56   \begin{center}
  57   {\large\bf
  58   Molekulardynamische Simulation\\
  59   von Silizium
  60   }
  61   \end{center}
  62  \end{minipage}
  63  \begin{minipage}{2.3cm}
  64   \begin{center}
  65   \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
  66   \end{center}
  67  \end{minipage}
  68 \end{center}
  69 \begin{picture}(350,40)
  70 \end{picture}
  71 \begin{center}
  72 Frank Zirkelbach
  73 \end{center}
  74 \begin{picture}(350,40)
  75 \end{picture}
  76 \begin{center}
  77  {\small 14.06.2007}
  78 \end{center}
  79 \end{slide}
  80
  81 % start of content
  82 \ptsize{8}
  83
  84 \begin{slide}
  85 {\large\bf
  86  "Uberblick
  87 }
  88 \begin{picture}(350,10)
  89 \end{picture}
  90 \begin{center}
  91  {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von
  92  {\color{green} Silizium}
  93 \end{center}
  94 \begin{picture}(350,10)
  95 \end{picture}
  96 \begin{itemize}
  97  \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
  98  \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
  99  \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
 100  \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
 101 \end{itemize}
 102 \end{slide}
 103
 104 \begin{slide}
 105 {\large\bf
 106  Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
 107 }
 108 \begin{picture}(350,10)
 109 \end{picture}
 110 \begin{center}
 111  Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
 112 \end{center}
 113 \begin{picture}(350,10)
 114 \end{picture}
 115 MC:
 116 \begin{itemize}
 117  \item stochastische Simulation
 118  \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
 119  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
 120 \end{itemize}
 121 \begin{picture}(350,10)
 122 \end{picture}
 123 MD:
 124 \begin{itemize}
 125  \item deterministische Simulation
 126  \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
 127  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
 128 \end{itemize}
 129 \begin{picture}(350,10)
 130 \end{picture}
 131 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
 132 \end{slide}
 133
 134 \begin{slide}
 135 {\large\bf
 136  Prinzip der MD-Simulation
 137 }
 138 \begin{itemize}
 139  \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
 140  \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
 141        $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
 142  \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
 143  \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
 144        \[
 145        \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
 146        \qquad
 147        \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
 148        \]\\
 149        Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
 150 \end{itemize}
 151 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
 152 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
 153 \begin{picture}(350,10)
 154 \end{picture}
 155 {\large\bf
 156  Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
 157 }
 158 \begin{itemize}
 159  \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
 160  \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
 161  \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
 162 \end{itemize}
 163 \end{slide}
 164
 165 \begin{slide}
 166 {\large\bf
 167  Integration der Bewegungsgleichungen
 168 }
 169 \begin{itemize}
 170  \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
 171  \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
 172        \[
 173        m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
 174        \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
 175        m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
 176        \]
 177        \begin{center}
 178        (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
 179        \end{center}
 180  \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
 181        \[
 182        \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
 183        \]
 184        \begin{center}
 185         (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
 186        \end{center}
 187        Beispiel Euler:\\
 188        ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
 189        ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
 190 \end{itemize}
 191 {\large\bf
 192  Anforderungen an den Integrator
 193 }
 194 \begin{itemize}
 195  \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
 196  \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
 197  \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
 198 \end{itemize}
 199 \end{slide}
 200
 201 \begin{slide}
 202 {\large\bf
 203  {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
 204 }
 205 \begin{itemize}
 206  \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
 207        \begin{eqnarray}
 208        {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
 209                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
 210                                 \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
 211                                 \nonumber \\
 212        {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
 213                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
 214                                 \nonumber \\
 215        {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
 216                                 \nonumber \\
 217        {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
 218                                 \nonumber
 219        \end{eqnarray}
 220  \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
 221        f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
 222        $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
 223        $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
 224        {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
 225  \item Korrektur:
 226        \begin{eqnarray}
 227        {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
 228                                    c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 229        {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
 230                                    c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 231        {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
 232                                    c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 233        {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
 234                                    c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
 235        \end{eqnarray}
 236  \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
 237 \end{itemize}
 238 {\scriptsize
 239  C. W. Gear.
 240  The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
 241  (1966)\\
 242  C. W. Gear.
 243  Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
 244  (1971)
 245 }
 246 \end{slide}
 247
 248 \begin{slide}
 249 {\large\bf
 250  Velocity Verlet
 251 }\\
 252 Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
 253 \begin{eqnarray}
 254  {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
 255                          \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
 256  {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
 257                          {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
 258 \end{eqnarray}
 259 Alogrithmus:
 260 \begin{itemize}
 261  \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
 262  \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
 263        \[
 264        {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
 265        \]
 266  \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
 267        $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
 268  \item Update der Geschwindigkeiten
 269        \[
 270        {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
 271                              \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
 272        \]
 273 \end{itemize}
 274 Eigenschaften:
 275 \begin{itemize}
 276  \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
 277  \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
 278  \item verh"altnism"a"sig pr"azise
 279 \end{itemize}
 280 \end{slide}
 281
 282 \begin{slide}
 283 {\large\bf
 284  Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
 285 }\\
 286 Klassisches Potential:
 287 \[
 288 {\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
 289                \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
 290                \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
 291                \ldots
 292 \]
 293 \begin{minipage}{8.3cm}
 294 \begin{itemize}
 295  \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
 296  \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
 297                          (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
 298  \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
 299        (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
 300  \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
 301  \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
 302  \item nur Paarpotential\\
 303        $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
 304        $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
 305 \end{itemize}
 306 \end{minipage}
 307 \begin{minipage}{4cm}
 308  \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
 309 \end{minipage}
 310 Cut-Off Radius $r_c$:
 311 \begin{itemize}
 312  \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
 313  \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
 314 \end{itemize}
 315 \begin{picture}(350,5)
 316 \end{picture}
 317 Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
 318 \end{slide}
 319
 320 \begin{slide}
 321 {\large\bf
 322  Wahl/Kontrolle des Ensembles
 323 }\\
 324 \begin{picture}(350,10)
 325 \end{picture}
 326 Erinnerung:
 327 \begin{itemize}
 328  \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
 329  \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
 330  \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
 331 \end{itemize}
 332 $\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
 333 \[
 334  \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
 335 \]
 336 \begin{picture}(350,10)
 337 \end{picture}
 338 F"ur andere Ensembles:
 339 \begin{itemize}
 340  \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
 341        im gew"unschten Ensemble
 342 \end{itemize}
 343 \begin{center}
 344 {\color{red} oder}
 345 \end{center}
 346 \begin{itemize}
 347  \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
 348        $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
 349        Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
 350        Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
 351 \end{itemize}
 352 \end{slide}
 353
 354 \begin{slide}
 355 {\large\bf
 356  kanonisches Ensemble (NVT)
 357 }\\
 358 \begin{picture}(350,10)
 359 \end{picture}
 360 Trick: {\em temperature scaling}
 361 \begin{itemize}
 362  \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
 363  \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
 364  \item eigentlich {\em velocity scaling}
 365  \item Berendsen Thermostat:
 366        \[
 367        \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
 368        \]
 369        \begin{center}
 370        $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
 371        {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
 372        \end{center}
 373 \end{itemize}
 374 Andersen:
 375 \begin{itemize}
 376  \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
 377        der Temperatur
 378  \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
 379  \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
 380  \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
 381        (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
 382 \end{itemize}
 383 \end{slide}
 384
 385 \begin{slide}
 386 {\large\bf
 387  isothermales isobares Ensemble (NpT)
 388 }\\
 389 \begin{picture}(350,10)
 390 \end{picture}
 391 Trick: {\em pressure scaling}
 392 \begin{itemize}
 393  \item analog zum {\em temperature scaling}
 394  \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
 395  \item eigentlich {\em volume scaling}
 396  \item Berendsen Barostat:
 397        \[
 398        \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
 399        \]
 400 \end{itemize}
 401 \begin{picture}(350,10)
 402 \end{picture}
 403 Andersen:
 404 \begin{itemize}
 405  \item modifizierte Bewegungsgleichung
 406        (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
 407        \[
 408        \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
 409                   =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
 410                    \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
 411                    \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
 412        \]
 413  \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
 414  \item Physikalische Interpretation:\\
 415        Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
 416        mit externen Druck $\alpha$
 417  \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
 418        ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
 419                  m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
 420 \end{itemize}
 421 {\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
 422 \end{slide}
 423
 424 \begin{slide}
 425 {\large\bf
 426  Die Simulationszelle \& Randbedingungen
 427 }\\
 428 Simulationszelle:
 429 \begin{itemize}
 430  \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
 431  \item meist orthogonale Simulationszelle
 432  \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
 433  \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
 434 \end{itemize}
 435 Randbedingungen:
 436 \begin{itemize}
 437  \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
 438        (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
 439  \item besser: periodische Randbedingungen
 440 \end{itemize}
 441 \begin{center}
 442  \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
 443 \end{center}
 444 \end{slide}
 445
 446 \begin{slide}
 447 {\large\bf
 448  Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
 449 }\\
 450 Simulation von Oberfl"achen:
 451 \begin{itemize}
 452  \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
 453  \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
 454  \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
 455 \end{itemize}
 456 \includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
 457 \end{slide}
 458
 459 \begin{slide}
 460 {\large\bf
 461  $SiC$-Ausscheidung in Silizium
 462 }\\
 463 \begin{picture}(350,10)
 464 \end{picture}
 465 \begin{minipage}{8cm}
 466 \includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
 467 \end{minipage}
 468 \begin{minipage}{4cm}
 469 \begin{itemize}
 470  \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
 471        (schaffrierter Bereich)\\
 472        $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
 473  \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
 474        (blauer Bereich)\\
 475        $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
 476  \item feste Randatome, Bulk\\
 477        (schwarzer Bereich)
 478 \end{itemize}
 479 \end{minipage}
 480 \end{slide}
 481
 482 \begin{slide}
 483 {\large\bf
 484  Die Zell-Methode
 485 }\\
 486 Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
 487 \begin{itemize}
 488  \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
 489        \begin{itemize}
 490         \item gehe alle Atome $j$ durch
 491         \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
 492        \end{itemize}
 493        $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
 494  \item Zell-Methode:\\
 495        \begin{minipage}{6cm}
 496        \begin{itemize}
 497         \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
 498               $M \times M \times M$ Subzellen\\
 499               mit L"ange $l=L/M>r_c$
 500         \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
 501               $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
 502         \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
 503               $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
 504               $N/M^3$ Materialkonstante
 505        \end{itemize}
 506        $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
 507        \end{minipage}
 508        \begin{minipage}{5cm}
 509         \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
 510        \end{minipage}
 511 \end{itemize}
 512 \end{slide}
 513
 514 \begin{slide}
 515 {\large\bf
 516  Thermodynamische Gr"o"sen
 517 }
 518 \begin{itemize}
 519  \item Innere Energie:
 520        \[
 521        E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
 522        \]
 523  \item Temperatur/Druck
 524        \begin{eqnarray}
 525        <p_k \frac{\partial \ham}{\partial p_k}> &=& k_BT \nonumber \\
 526        <q_k \frac{\partial \ham}{\partial q_k}> &=& k_BT \nonumber
 527        \end{eqnarray}
 528        \begin{center}
 529        "Aquipartitionstheorem
 530        \end{center}
 531        Temperatur:
 532        \[
 533        \sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i} = 3Nk_BT \quad
 534        \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}
 535        \]
 536        Druck:
 537        \[
 538        \sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \pot = 3Nk_BT \quad
 539        \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad
 540        - \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = -3Nk_BT \quad
 541        \]
 542  \item W"armekapazit"at
 543  \item Struktur Werte
 544  \item Diffusion
 545 \end{itemize}
 546 \end{slide}
 547
 548 \begin{slide}
 549 {\large\bf
 550  Tersoff
 551 }
 552 \end{slide}
 553
 554 \begin{slide}
 555 {\large\bf
 556  EAM
 557 }
 558
 559 \end{slide}
 560
 561 \begin{slide}
 562 {\large\bf
 563  Albe Reparametrisierung
 564 }
 565 \end{slide}
 566
 567 \begin{slide}
 568 {\large\bf
 569  Zusammenfassung / Ausblick
 570 }\\
 571 \begin{tabular}{|l|c|lr|}
 572 \hline
 573 Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
 574 \hline
 575 {\bf Integrator} & & & \\
 576 Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 577 Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
 578 {\bf Potential} & & & \\
 579 Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 580 Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
 581 Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
 582 Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
 583                                  &  $\bullet\bullet\bullet$ \\
 584 EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
 585 {\bf Ensembles} & & & \\
 586 {\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 587 {\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 588 Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
 589 Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
 590 {\bf Simulationzelle} & & & \\
 591 periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 592 $T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 593 {\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
 594                                 & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
 595 \hline
 596 \end{tabular}
 597 \end{slide}
 598
 599 \end{document}