posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex

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  41
  42 % topic
  43
  44 \begin{slide}
  45 %\centerslidesfalse
  46 \begin{center}
  47  \begin{minipage}{2.0cm}
  48   \begin{center}
  49   \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
  50   \end{center}
  51  \end{minipage}
  52  \begin{minipage}{8.0cm}
  53   \begin{center}
  54   {\large\bf
  55   Molekulardynamische Simulation\\
  56   von Silizium
  57   }
  58   \end{center}
  59  \end{minipage}
  60  \begin{minipage}{2.3cm}
  61   \begin{center}
  62   \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
  63   \end{center}
  64  \end{minipage}
  65 \end{center}
  66 \begin{picture}(350,40)
  67 \end{picture}
  68 \begin{center}
  69 Frank Zirkelbach
  70 \end{center}
  71 \begin{picture}(350,40)
  72 \end{picture}
  73 \begin{center}
  74  {\small 14.06.2007}
  75 \end{center}
  76 \end{slide}
  77
  78 % start of content
  79 \ptsize{8}
  80
  81 \begin{slide}
  82 {\large\bf
  83  "Uberblick
  84 }
  85 \begin{picture}(350,10)
  86 \end{picture}
  87 \begin{center}
  88  {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von
  89  {\color{green} Silizium}
  90 \end{center}
  91 \begin{picture}(350,10)
  92 \end{picture}
  93 \begin{itemize}
  94  \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
  95  \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
  96  \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
  97  \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
  98 \end{itemize}
  99 \end{slide}
 100
 101 \begin{slide}
 102 {\large\bf
 103  Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
 104 }
 105 \begin{picture}(350,10)
 106 \end{picture}
 107 \begin{center}
 108  Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
 109 \end{center}
 110 \begin{picture}(350,10)
 111 \end{picture}
 112 MC:
 113 \begin{itemize}
 114  \item stochastische Simulation
 115  \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
 116  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
 117 \end{itemize}
 118 \begin{picture}(350,10)
 119 \end{picture}
 120 MD:
 121 \begin{itemize}
 122  \item deterministische Simulation
 123  \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
 124  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
 125 \end{itemize}
 126 \begin{picture}(350,10)
 127 \end{picture}
 128 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
 129 \end{slide}
 130
 131 \begin{slide}
 132 {\large\bf
 133  Prinzip der MD-Simulation
 134 }
 135 \begin{itemize}
 136  \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
 137  \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
 138        $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
 139  \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
 140  \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
 141        \[
 142        \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
 143        \qquad
 144        \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
 145        \]\\
 146        Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
 147 \end{itemize}
 148 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
 149 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
 150 \begin{picture}(350,10)
 151 \end{picture}
 152 {\large\bf
 153  Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
 154 }
 155 \begin{itemize}
 156  \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
 157  \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
 158  \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
 159 \end{itemize}
 160 \end{slide}
 161
 162 \begin{slide}
 163 {\large\bf
 164  Integration der Bewegungsgleichungen
 165 }
 166 \begin{itemize}
 167  \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
 168  \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
 169        \[
 170        m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
 171        \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
 172        m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
 173        \]
 174        \begin{center}
 175        (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
 176        \end{center}
 177  \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
 178        \[
 179        \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
 180        \]
 181        \begin{center}
 182         (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
 183        \end{center}
 184        Beispiel Euler:\\
 185        ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
 186        ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
 187 \end{itemize}
 188 {\large\bf
 189  Anforderungen an den Integrator
 190 }
 191 \begin{itemize}
 192  \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
 193  \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
 194  \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
 195 \end{itemize}
 196 \end{slide}
 197
 198 \begin{slide}
 199 {\large\bf
 200  {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
 201 }
 202 \begin{itemize}
 203  \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
 204        \begin{eqnarray}
 205        {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
 206                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
 207                                 \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
 208                                 \nonumber \\
 209        {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
 210                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
 211                                 \nonumber \\
 212        {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
 213                                 \nonumber \\
 214        {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
 215                                 \nonumber
 216        \end{eqnarray}
 217  \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
 218        f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
 219        $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
 220        $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
 221        {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
 222  \item Korrektur:
 223        \begin{eqnarray}
 224        {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
 225                                    c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 226        {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
 227                                    c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 228        {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
 229                                    c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 230        {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
 231                                    c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
 232        \end{eqnarray}
 233  \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
 234 \end{itemize}
 235 {\scriptsize
 236  C. W. Gear.
 237  The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
 238  (1966)\\
 239  C. W. Gear.
 240  Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
 241  (1971)
 242 }
 243 \end{slide}
 244
 245 \begin{slide}
 246 {\large\bf
 247  Velocity Verlet
 248 }\\
 249 Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
 250 \begin{eqnarray}
 251  {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
 252                          \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
 253  {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
 254                          {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
 255 \end{eqnarray}
 256 Alogrithmus:
 257 \begin{itemize}
 258  \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
 259  \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
 260        \[
 261        {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
 262        \]
 263  \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
 264        $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
 265  \item Update der Geschwindigkeiten
 266        \[
 267        {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
 268                              \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
 269        \]
 270 \end{itemize}
 271 Eigenschaften:
 272 \begin{itemize}
 273  \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
 274  \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
 275  \item verh"altnism"a"sig pr"azise
 276 \end{itemize}
 277 \end{slide}
 278
 279 \begin{slide}
 280 {\large\bf
 281  Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
 282 }\\
 283 Klassisches Potential:
 284 \[
 285 {\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
 286                \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
 287                \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
 288                \ldots
 289 \]
 290 \begin{minipage}{8.3cm}
 291 \begin{itemize}
 292  \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
 293  \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
 294                          (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
 295  \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
 296        (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
 297  \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
 298  \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
 299  \item nur Paarpotential\\
 300        $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
 301        $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
 302 \end{itemize}
 303 \end{minipage}
 304 \begin{minipage}{4cm}
 305  \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
 306 \end{minipage}
 307 Cut-Off Radius $r_c$:
 308 \begin{itemize}
 309  \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
 310  \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
 311 \end{itemize}
 312 \begin{picture}(350,5)
 313 \end{picture}
 314 Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
 315 \end{slide}
 316
 317 \begin{slide}
 318 {\large\bf
 319  Wahl/Kontrolle des Ensembles
 320 }\\
 321 \begin{picture}(350,10)
 322 \end{picture}
 323 Erinnerung:
 324 \begin{itemize}
 325  \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
 326  \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
 327  \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
 328 \end{itemize}
 329 $\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
 330 \[
 331  \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
 332 \]
 333 \begin{picture}(350,10)
 334 \end{picture}
 335 F"ur andere Ensembles:
 336 \begin{itemize}
 337  \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
 338        im gew"unschten Ensemble
 339 \end{itemize}
 340 \begin{center}
 341 {\color{red} oder}
 342 \end{center}
 343 \begin{itemize}
 344  \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
 345        $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
 346        Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
 347        Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
 348 \end{itemize}
 349 \end{slide}
 350
 351 \begin{slide}
 352 {\large\bf
 353  kanonisches Ensemble (NVT)
 354 }\\
 355 \begin{picture}(350,10)
 356 \end{picture}
 357 Trick: {\em temperature scaling}
 358 \begin{itemize}
 359  \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
 360  \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
 361  \item eigentlich {\em velocity scaling}
 362  \item Berendsen Thermostat:
 363        \[
 364        \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
 365        \]
 366        \begin{center}
 367        $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
 368        {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
 369        \end{center}
 370 \end{itemize}
 371 Andersen:
 372 \begin{itemize}
 373  \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
 374        der Temperatur
 375  \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
 376  \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
 377  \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
 378        (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
 379 \end{itemize}
 380 \end{slide}
 381
 382 \begin{slide}
 383 {\large\bf
 384  isothermales isobares Ensemble (NpT)
 385 }\\
 386 \begin{picture}(350,10)
 387 \end{picture}
 388 Trick: {\em pressure scaling}
 389 \begin{itemize}
 390  \item analog zum {\em temperature scaling}
 391  \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
 392  \item eigentlich {\em volume scaling}
 393  \item Berendsen Barostat:
 394        \[
 395        \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
 396        \]
 397 \end{itemize}
 398 \begin{picture}(350,10)
 399 \end{picture}
 400 Andersen:
 401 \begin{itemize}
 402  \item modifizierte Bewegungsgleichung
 403        (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
 404        \[
 405        \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
 406                   =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
 407                    \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
 408                    \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
 409        \]
 410  \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
 411  \item Physikalische Interpretation:\\
 412        Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
 413        mit externen Druck $\alpha$
 414  \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
 415        ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
 416                  m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
 417 \end{itemize}
 418 {\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
 419 \end{slide}
 420
 421 \begin{slide}
 422 {\large\bf
 423  Die Simulationszelle \& Randbedingungen
 424 }\\
 425 Simulationszelle:
 426 \begin{itemize}
 427  \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
 428  \item meist orthogonale Simulationszelle
 429  \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
 430  \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
 431 \end{itemize}
 432 Randbedingungen:
 433 \begin{itemize}
 434  \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
 435        (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
 436  \item besser: periodische Randbedingungen
 437 \end{itemize}
 438 \begin{center}
 439  \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
 440 \end{center}
 441 \end{slide}
 442
 443 \begin{slide}
 444 {\large\bf
 445  Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
 446 }\\
 447 Simulation von Oberfl"achen:
 448 \begin{itemize}
 449  \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
 450  \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
 451  \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
 452 \end{itemize}
 453 \includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
 454 \end{slide}
 455
 456 \begin{slide}
 457 {\large\bf
 458  $SiC$-Ausscheidung in Silizium
 459 }\\
 460 \begin{picture}(350,10)
 461 \end{picture}
 462 \begin{minipage}{8cm}
 463 \includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
 464 \end{minipage}
 465 \begin{minipage}{4cm}
 466 \begin{itemize}
 467  \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
 468        (schaffrierter Bereich)\\
 469        $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
 470  \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
 471        (blauer Bereich)\\
 472        $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
 473  \item feste Randatome, Bulk\\
 474        (schwarzer Bereich)
 475 \end{itemize}
 476 \end{minipage}
 477 \end{slide}
 478
 479 \begin{slide}
 480 {\large\bf
 481  Die Zell-Methode
 482 }\\
 483 Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
 484 \begin{itemize}
 485  \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
 486        \begin{itemize}
 487         \item gehe alle Atome $j$ durch
 488         \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
 489        \end{itemize}
 490        $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
 491  \item Zell-Methode:\\
 492        \begin{minipage}{6cm}
 493        \begin{itemize}
 494         \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
 495               $M \times M \times M$ Subzellen\\
 496               mit L"ange $l=L/M>r_c$
 497         \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
 498               $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
 499         \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
 500               $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
 501               $N/M^3$ Materialkonstante
 502        \end{itemize}
 503        $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
 504        \end{minipage}
 505        \begin{minipage}{5cm}
 506         \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
 507        \end{minipage}
 508 \end{itemize}
 509 \end{slide}
 510
 511 \begin{slide}
 512 {\large\bf
 513  Thermodynamische Gr"o"sen
 514 }
 515 \begin{itemize}
 516  \item Innere Energie:
 517        \[
 518        E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{|{\bf p}_i|^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
 519        \]
 520  \item Temperatur:
 521        \[
 522        E_{kin}=<K>=\frac{3}{2}Nk_BT
 523        \Rightarrow T=\frac{1}{3Nk_B} \sum_i \frac{|{\bf p}_i|^2}{m_i}
 524        \]
 525  \item Druck
 526  \item W"armekapazit"at
 527  \item Struktur Werte
 528  \item Diffusion
 529 \end{itemize}
 530 \end{slide}
 531
 532 \begin{slide}
 533 {\large\bf
 534  Tersoff
 535 }
 536 \end{slide}
 537
 538 \begin{slide}
 539 {\large\bf
 540  EAM
 541 }
 542 \end{slide}
 543
 544 \begin{slide}
 545 {\large\bf
 546  Albe Reparametrisierung
 547 }
 548 \end{slide}
 549
 550 \begin{slide}
 551 {\large\bf
 552  Zusammenfassung / Ausblick
 553 }\\
 554 \begin{tabular}{|l|c|lr|}
 555 \hline
 556 Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
 557 \hline
 558 {\bf Integrator} & & & \\
 559 Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 560 Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
 561 {\bf Potential} & & & \\
 562 Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 563 Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
 564 Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
 565 Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
 566                                  &  $\bullet\bullet\bullet$ \\
 567 EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
 568 {\bf Ensembles} & & & \\
 569 {\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 570 {\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 571 Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
 572 Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
 573 {\bf Simulationzelle} & & & \\
 574 periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 575 $T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
 576 {\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
 577                                 & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
 578 \hline
 579 \end{tabular}
 580 \end{slide}
 581
 582 \end{document}