posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex

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   8 \usepackage{amsmath}
   9 \usepackage{ae}
  10
  11 \usepackage{calc}               % Simple computations with LaTeX variables
  12 \usepackage[hang]{caption2}     % Improved captions
  13 \usepackage{fancybox}           % To have several backgrounds
  14
  15 \usepackage{fancyhdr}           % Headers and footers definitions
  16 \usepackage{fancyvrb}           % Fancy verbatim environments
  17 \usepackage{pstricks}             % PSTricks with the standard color package
  18
  19 \usepackage{graphicx}
  20 \graphicspath{{../img/}}
  21
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  23 \usepackage{semlayer}           % Seminar overlays
  24 \usepackage{slidesec}           % Seminar sections and list of slides
  25
  26 \input{seminar.bug}             % Official bugs corrections
  27 \input{seminar.bg2}             % Unofficial bugs corrections
  28
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  30
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  32
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  41
  42 % topic
  43
  44 \begin{slide}
  45 %\centerslidesfalse
  46 \begin{center}
  47  \begin{minipage}{2.0cm}
  48   \begin{center}
  49   \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
  50   \end{center}
  51  \end{minipage}
  52  \begin{minipage}{8.0cm}
  53   \begin{center}
  54   {\large\bf
  55   Molekulardynamische Simulation\\
  56   von Silizium
  57   }
  58   \end{center}
  59  \end{minipage}
  60  \begin{minipage}{2.3cm}
  61   \begin{center}
  62   \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
  63   \end{center}
  64  \end{minipage}
  65 \end{center}
  66 \begin{picture}(350,40)
  67 \end{picture}
  68 \begin{center}
  69 Frank Zirkelbach
  70 \end{center}
  71 \begin{picture}(350,40)
  72 \end{picture}
  73 \begin{center}
  74  {\small 14.06.2007}
  75 \end{center}
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  77
  78 % start of content
  79 \ptsize{8}
  80
  81 \begin{slide}
  82 {\large\bf
  83  "Uberblick
  84 }
  85 \begin{picture}(350,10)
  86 \end{picture}
  87 \begin{center}
  88  {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von
  89  {\color{green} Silizium}
  90 \end{center}
  91 \begin{picture}(350,10)
  92 \end{picture}
  93 \begin{itemize}
  94  \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
  95  \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
  96  \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
  97  \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
  98 \end{itemize}
  99 \end{slide}
 100
 101 \begin{slide}
 102 {\large\bf
 103  Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
 104 }
 105 \begin{picture}(350,10)
 106 \end{picture}
 107 \begin{center}
 108  Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
 109 \end{center}
 110 \begin{picture}(350,10)
 111 \end{picture}
 112 MC:
 113 \begin{itemize}
 114  \item stochastische Simulation
 115  \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
 116  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
 117 \end{itemize}
 118 \begin{picture}(350,10)
 119 \end{picture}
 120 MD:
 121 \begin{itemize}
 122  \item deterministische Simulation
 123  \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
 124  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
 125 \end{itemize}
 126 \begin{picture}(350,10)
 127 \end{picture}
 128 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
 129 \end{slide}
 130
 131 \begin{slide}
 132 {\large\bf
 133  Prinzip der MD-Simulation
 134 }
 135 \begin{itemize}
 136  \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
 137  \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
 138        $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
 139  \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
 140  \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
 141        \[
 142        \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
 143        \qquad
 144        \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
 145        \]\\
 146        Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
 147 \end{itemize}
 148 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
 149 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
 150 \begin{picture}(350,10)
 151 \end{picture}
 152 {\large\bf
 153  Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
 154 }
 155 \begin{itemize}
 156  \item Methode zum Intgrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
 157  \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
 158  \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
 159 \end{itemize}
 160 \end{slide}
 161
 162 \begin{slide}
 163 {\large\bf
 164  Integration der Bewegungsgleichungen
 165 }
 166 \begin{itemize}
 167  \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
 168  \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
 169        \[
 170        m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
 171        \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
 172        m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
 173        \]
 174        \begin{center}
 175        (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
 176        \end{center}
 177  \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
 178        \[
 179        \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
 180        \]
 181        \begin{center}
 182         (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
 183        \end{center}
 184        Beispiel Euler:\\
 185        ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
 186        ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
 187 \end{itemize}
 188 {\large\bf
 189  Anforderungen an den Integrator
 190 }
 191 \begin{itemize}
 192  \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
 193  \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
 194  \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
 195 \end{itemize}
 196 \end{slide}
 197
 198 \begin{slide}
 199 {\large\bf
 200
 201 }
 202 \end{slide}
 203
 204 \begin{slide}
 205 {\large\bf
 206
 207 }
 208 \end{slide}
 209
 210 \begin{slide}
 211 {\large\bf
 212
 213 }
 214 \end{slide}
 215
 216 \begin{slide}
 217 {\large\bf
 218
 219 }
 220 \end{slide}
 221
 222 \end{document}