posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex

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  41
  42 % topic
  43
  44 \begin{slide}
  45 %\centerslidesfalse
  46 \begin{center}
  47  \begin{minipage}{2.0cm}
  48   \begin{center}
  49   \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
  50   \end{center}
  51  \end{minipage}
  52  \begin{minipage}{8.0cm}
  53   \begin{center}
  54   {\large\bf
  55   Molekulardynamische Simulation\\
  56   von Silizium
  57   }
  58   \end{center}
  59  \end{minipage}
  60  \begin{minipage}{2.3cm}
  61   \begin{center}
  62   \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
  63   \end{center}
  64  \end{minipage}
  65 \end{center}
  66 \begin{picture}(350,40)
  67 \end{picture}
  68 \begin{center}
  69 Frank Zirkelbach
  70 \end{center}
  71 \begin{picture}(350,40)
  72 \end{picture}
  73 \begin{center}
  74  {\small 14.06.2007}
  75 \end{center}
  76 \end{slide}
  77
  78 % start of content
  79 \ptsize{8}
  80
  81 \begin{slide}
  82 {\large\bf
  83  "Uberblick
  84 }
  85 \begin{picture}(350,10)
  86 \end{picture}
  87 \begin{center}
  88  {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von
  89  {\color{green} Silizium}
  90 \end{center}
  91 \begin{picture}(350,10)
  92 \end{picture}
  93 \begin{itemize}
  94  \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
  95  \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
  96  \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
  97  \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
  98 \end{itemize}
  99 \end{slide}
 100
 101 \begin{slide}
 102 {\large\bf
 103  Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
 104 }
 105 \begin{picture}(350,10)
 106 \end{picture}
 107 \begin{center}
 108  Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
 109 \end{center}
 110 \begin{picture}(350,10)
 111 \end{picture}
 112 MC:
 113 \begin{itemize}
 114  \item stochastische Simulation
 115  \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
 116  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
 117 \end{itemize}
 118 \begin{picture}(350,10)
 119 \end{picture}
 120 MD:
 121 \begin{itemize}
 122  \item deterministische Simulation
 123  \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
 124  \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
 125 \end{itemize}
 126 \begin{picture}(350,10)
 127 \end{picture}
 128 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
 129 \end{slide}
 130
 131 \begin{slide}
 132 {\large\bf
 133  Prinzip der MD-Simulation
 134 }
 135 \begin{itemize}
 136  \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
 137  \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
 138        $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
 139  \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
 140  \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
 141        \[
 142        \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
 143        \qquad
 144        \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
 145        \]\\
 146        Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
 147 \end{itemize}
 148 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
 149 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
 150 \begin{picture}(350,10)
 151 \end{picture}
 152 {\large\bf
 153  Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
 154 }
 155 \begin{itemize}
 156  \item Methode zum Intgrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
 157  \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
 158  \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
 159 \end{itemize}
 160 \end{slide}
 161
 162 \begin{slide}
 163 {\large\bf
 164  Integration der Bewegungsgleichungen
 165 }
 166 \begin{itemize}
 167  \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
 168  \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
 169        \[
 170        m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
 171        \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
 172        m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
 173        \]
 174        \begin{center}
 175        (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
 176        \end{center}
 177  \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
 178        \[
 179        \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
 180        \]
 181        \begin{center}
 182         (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
 183        \end{center}
 184        Beispiel Euler:\\
 185        ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
 186        ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
 187 \end{itemize}
 188 {\large\bf
 189  Anforderungen an den Integrator
 190 }
 191 \begin{itemize}
 192  \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
 193  \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
 194  \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
 195 \end{itemize}
 196 \end{slide}
 197
 198 \begin{slide}
 199 {\large\bf
 200  {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
 201 }
 202 \begin{itemize}
 203  \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
 204        \begin{eqnarray}
 205        {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
 206                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
 207                                 \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
 208                                 \nonumber \\
 209        {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
 210                                 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
 211                                 \nonumber \\
 212        {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
 213                                 \nonumber \\
 214        {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
 215                                 \nonumber
 216        \end{eqnarray}
 217  \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
 218        f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
 219        $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
 220        $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
 221        {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
 222  \item Korrektur:
 223        \begin{eqnarray}
 224        {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
 225                                    c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 226        {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
 227                                    c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 228        {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
 229                                    c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
 230        {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
 231                                    c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
 232        \end{eqnarray}
 233  \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
 234 \end{itemize}
 235 {\scriptsize
 236  C. W. Gear.
 237  The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
 238  (1966)\\
 239  C. W. Gear.
 240  Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
 241  (1971)
 242 }
 243 \end{slide}
 244
 245 \begin{slide}
 246 {\large\bf
 247  Velocity Verlet
 248 }\\
 249 Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
 250 \begin{eqnarray}
 251  {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
 252                          \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
 253  {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
 254                          {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
 255 \end{eqnarray}
 256 Alogrithmus:
 257 \begin{itemize}
 258  \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
 259  \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
 260        \[
 261        {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
 262        \]
 263  \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
 264        $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
 265  \item Update der Geschwindigkeiten
 266        \[
 267        {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
 268                              \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
 269        \]
 270 \end{itemize}
 271 Eigenschaften:
 272 \begin{itemize}
 273  \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
 274  \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
 275  \item verh"altnism"a"sig pr"azise
 276 \end{itemize}
 277 \end{slide}
 278
 279 \begin{slide}
 280 {\large\bf
 281  Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
 282 }\\
 283 Klassisches Potential:
 284 \[
 285 {\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
 286                \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
 287                \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
 288                \ldots
 289 \]
 290 \begin{itemize}
 291  \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
 292  \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
 293                          (nur abh"angig vom Abstand ${\bf r}_{ij}$)
 294  \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
 295 \end{itemize}
 296 \end{slide}
 297
 298 \begin{slide}
 299 {\large\bf
 300  Wahl/Kontrolle des Ensembles
 301 }
 302 \end{slide}
 303
 304 \begin{slide}
 305 {\large\bf
 306  kanonisches Ensemble (NVT)
 307 }
 308 \end{slide}
 309
 310 \begin{slide}
 311 {\large\bf
 312  isothermales isobares Ensemble (NpT)
 313 }
 314 \end{slide}
 315
 316 \begin{slide}
 317 {\large\bf
 318  Die Simulationszelle \& Randbedingungen
 319 }
 320 \end{slide}
 321
 322 \begin{slide}
 323 {\large\bf
 324  Trick: Nachbarlisten \& Zell-Methode
 325 }
 326 \end{slide}
 327
 328 \begin{slide}
 329 {\large\bf
 330  Thermodynamische Gr"o"sen
 331 }
 332 \end{slide}
 333
 334 \begin{slide}
 335 {\large\bf
 336  3-K"orper Potentiale
 337 }
 338 \end{slide}
 339
 340 \begin{slide}
 341 {\large\bf
 342  Brenner / Tersoff
 343 }
 344 \end{slide}
 345
 346 \begin{slide}
 347 {\large\bf
 348  EAM
 349 }
 350 \end{slide}
 351
 352 \begin{slide}
 353 {\large\bf
 354  Albe Reparametrisierung
 355 }
 356 \end{slide}
 357
 358 \begin{slide}
 359 {\large\bf
 360  Zusammenfassung
 361 }
 362 \end{slide}
 363
 364 \begin{slide}
 365 {\large\bf
 366  Ausblick
 367 }
 368 \end{slide}
 369
 370 \end{document}