posic/talks/upb-ua-xc.tex

   1 \pdfoutput=0
   2 \documentclass[landscape,semhelv]{seminar}
   3
   4 \usepackage{verbatim}
   5 \usepackage[greek,german]{babel}
   6 \usepackage[latin1]{inputenc}
   7 \usepackage[T1]{fontenc}
   8 \usepackage{amsmath}
   9 \usepackage{latexsym}
  10 \usepackage{ae}
  11
  12 \usepackage{calc}               % Simple computations with LaTeX variables
  13 \usepackage{caption}            % Improved captions
  14 \usepackage{fancybox}           % To have several backgrounds
  15
  16 \usepackage{fancyhdr}           % Headers and footers definitions
  17 \usepackage{fancyvrb}           % Fancy verbatim environments
  18 \usepackage{pstricks}           % PSTricks with the standard color package
  19
  20 \usepackage{pstricks}
  21 \usepackage{pst-node}
  22
  23 %\usepackage{epic}
  24 %\usepackage{eepic}
  25
  26 \usepackage{graphicx}
  27 \graphicspath{{../img/}}
  28
  29 \usepackage[setpagesize=false]{hyperref}
  30
  31 \usepackage{semcolor}
  32 \usepackage{semlayer}           % Seminar overlays
  33 \usepackage{slidesec}           % Seminar sections and list of slides
  34
  35 \input{seminar.bug}             % Official bugs corrections
  36 \input{seminar.bg2}             % Unofficial bugs corrections
  37
  38 \articlemag{1}
  39
  40 \special{landscape}
  41
  42 % font
  43 %\usepackage{cmbright}
  44 %\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
  45 %\usepackage{mathptmx}
  46
  47 \usepackage{upgreek}
  48
  49 \begin{document}
  50
  51 \extraslideheight{10in}
  52 \slideframe{none}
  53
  54 \pagestyle{empty}
  55
  56 % specify width and height
  57 \slidewidth 27.7cm
  58 \slideheight 19.1cm
  59
  60 % shift it into visual area properly
  61 \def\slideleftmargin{3.3cm}
  62 \def\slidetopmargin{0.6cm}
  63
  64 \newcommand{\ham}{\mathcal{H}}
  65 \newcommand{\pot}{\mathcal{V}}
  66 \newcommand{\foo}{\mathcal{U}}
  67 \newcommand{\vir}{\mathcal{W}}
  68
  69 % itemize level ii
  70 \renewcommand\labelitemii{{\color{gray}$\bullet$}}
  71
  72 % colors
  73 \newrgbcolor{si-yellow}{.6 .6 0}
  74 \newrgbcolor{hb}{0.75 0.77 0.89}
  75 \newrgbcolor{lbb}{0.75 0.8 0.88}
  76 \newrgbcolor{lachs}{1.0 .93 .81}
  77
  78 % topic
  79
  80 \begin{slide}
  81 \begin{center}
  82
  83  \vspace{16pt}
  84
  85  {\LARGE\bf
  86   Atomistic simulation study\\[0.2cm]
  87   of the SiC precipitation in Si
  88  }
  89
  90  \vspace{48pt}
  91
  92  \textsc{F. Zirkelbach}
  93
  94  \vspace{48pt}
  95
  96  For the exchange among Paderborn and Augsburg
  97
  98  \vspace{08pt}
  99
 100  July 2009
 101
 102 \end{center}
 103 \end{slide}
 104
 105 % start of contents
 106
 107 \begin{slide}
 108
 109  {\large\bf
 110   VASP parameters
 111  }
 112
 113  \small
 114  \begin{minipage}{6.5cm}
 115  \begin{itemize}
 116   \item Start from scratch
 117   \item $V_{xc}$: US LDA (out of ./pot directory)
 118   \item $k$-points: Monkhorst $4\times 4\times 4$
 119   \item Ionic relaxation
 120         \begin{itemize}
 121          \item Conjugate gradient method
 122          \item Scaling constant of 0.1 for forces
 123          \item Default break condition ($0.1 \cdot 10^{-2}$ eV)
 124          \item Maximum of 100 steps
 125         \end{itemize}
 126         {\color{blue} NVT}:
 127         \begin{itemize}
 128          \item No change in volume
 129         \end{itemize}
 130         {\color{red} NPT}:
 131         \begin{itemize}
 132          \item Change of cell volume and shape\\
 133                allowed
 134         \end{itemize}
 135  \end{itemize}
 136  \end{minipage}
 137  \hspace*{0.5cm}
 138  \begin{minipage}{6.0cm}
 139 {\scriptsize\color{blue}
 140  Example INCAR file (NVT):
 141 }
 142 \begin{verbatim}
 143 System = C 100 interstitial in Si
 144
 145 ISTART = 0
 146
 147 NSW = 100
 148 IBRION = 2
 149 ISIF = 2
 150 POTIM = 0.1
 151 \end{verbatim}
 152 {\scriptsize\color{red}
 153  Example INCAR file (NPT):
 154 }
 155 \begin{verbatim}
 156 System = C hexagonal interstitial in Si
 157
 158 ISTART = 0
 159
 160 NSW = 100
 161 IBRION = 2
 162 ISIF = 3
 163 POTIM = 0.1
 164 \end{verbatim}
 165  \end{minipage}
 166
 167 \end{slide}
 168
 169 \begin{slide}
 170
 171  {\large\bf
 172   Silicon bulk properties
 173  }
 174
 175  \small
 176
 177  Simulations (NPT, $\textrm{EDIFFG}=0.1\cdot 10^{-3}$ eV):
 178  \begin{enumerate}
 179   \item Supercell: $x_1=(0,0.5,0.5),\, x_2=(0.5,0,0.5),\, x_3=(0.5,0.5,0)$;
 180         2 atoms (1 {\bf p}rimitive {\bf c}ell)
 181   \item Supercell: $x_1=(0.5,-0.5,0),\, x_2=(0.5,0.5,0),\, x_3=(0,0,1)$;
 182         4 atoms (2 pc)
 183   \item Supercell: $x_1=(1,0,0),\, x_2=(0,1,0),\, x_3=(0,0,1)$;
 184         8 atoms (4 pc)
 185   \item Supercell: $x_1=(2,0,0),\, x_2=(0,2,0),\, x_3=(0,0,2)$;
 186         64 atoms (32 pc)
 187  \end{enumerate}
 188  \begin{minipage}{6cm}
 189  Cohesive energy / Lattice constant:
 190  \begin{enumerate}
 191   \item $E_{\textrm{cut-off}}=150\, \textrm{eV}$: 5.955 eV / 5.378 \AA\\
 192         $E_{\textrm{cut-off}}=300\, \textrm{eV}$: 5.975 eV / 5.387 \AA
 193   \item $E_{\textrm{cut-off}}=150\, \textrm{eV}$: 5.989 eV / 5.356 \AA
 194   \item $E_{\textrm{cut-off}}=150\, \textrm{eV}$: 5.955 eV / 5.380 \AA\\
 195         $E_{\textrm{cut-off}}=200\, \textrm{eV}$: 5.972 eV / 5.388 \AA\\
 196         $E_{\textrm{cut-off}}=250\, \textrm{eV}$: 5.975 eV / 5.389 \AA\\
 197         $E_{\textrm{cut-off}}=300\, \textrm{eV}$: 5.975 eV / 5.389 \AA\\
 198         $E_{\textrm{cut-off}}=300\, \textrm{eV}^{*}$: 5.975 eV / 5.390 \AA
 199   \item $E_{\textrm{cut-off}}=300\, \textrm{eV}$: 5.977 eV / 5.389 \AA
 200  \end{enumerate}
 201  \end{minipage}
 202  \begin{minipage}{7cm}
 203  \includegraphics[width=7cm]{si_lc_and_ce.ps}
 204  \end{minipage}\\[0.3cm]
 205  {\scriptsize
 206   $^*$special settings (p. 138, VASP manual):
 207   spin polarization, no symmetry, ...
 208  }
 209
 210 \end{slide}
 211
 212 \begin{slide}
 213
 214  {\large\bf
 215   Silicon bulk properties
 216  }
 217
 218  \begin{itemize}
 219   \item Calculation of cohesive energies for different lattice constants
 220   \item No ionic update
 221   \item Tetrahedron method with Blöchl corrections for
 222         the partial occupancies $f(\{\epsilon_{n{\bf k}}\})$
 223   \item Supercell 3 (8 atoms, 4 primitive cells)
 224  \end{itemize}
 225  \vspace*{0.6cm}
 226  \begin{minipage}{6.5cm}
 227  \begin{center}
 228  $E_{\textrm{cut-off}}=150$ eV\\
 229  \includegraphics[width=6.5cm]{si_lc_fit.ps}
 230  \end{center}
 231  \end{minipage}
 232  \begin{minipage}{6.5cm}
 233  \begin{center}
 234  $E_{\textrm{cut-off}}=250$ eV\\
 235  \includegraphics[width=6.5cm]{si_lc_fit_250.ps}
 236  \end{center}
 237  \end{minipage}
 238
 239 \end{slide}
 240
 241 \begin{slide}
 242
 243  {\large\bf
 244   3C-SiC bulk properties\\[0.2cm]
 245  }
 246
 247  \begin{minipage}{6.5cm}
 248  \includegraphics[width=6.5cm]{sic_lc_and_ce2.ps}
 249  \end{minipage}
 250  \begin{minipage}{6.5cm}
 251  \includegraphics[width=6.5cm]{sic_lc_and_ce.ps}
 252  \end{minipage}\\[0.3cm]
 253  \begin{itemize}
 254   \item Supercell 3 (4 primitive cells, 4+4 atoms)
 255   \item Error in equilibrium lattice constant: {\color{green} $0.9\,\%$}
 256   \item Error in cohesive energy: {\color{red} $31.6\,\%$}
 257  \end{itemize}
 258
 259 \end{slide}
 260
 261 \begin{slide}
 262
 263  {\large\bf
 264   3C-SiC bulk properties\\[0.2cm]
 265  }
 266
 267  \small
 268
 269  \begin{itemize}
 270   \item Calculation of cohesive energies for different lattice constants
 271   \item No ionic update
 272   \item Tetrahedron method with Blöchl corrections for
 273         the partial occupancies $f(\{\epsilon_{n{\bf k}}\})$
 274  \end{itemize}
 275  \vspace*{0.6cm}
 276  \begin{minipage}{6.5cm}
 277  \begin{center}
 278  Supercell 3, $4\times 4\times 4$ k-points\\
 279  \includegraphics[width=6.5cm]{sic_lc_fit.ps}
 280  \end{center}
 281  \end{minipage}
 282  \begin{minipage}{6.5cm}
 283  \begin{center}
 284  {\color{red}
 285   Non-continuous energies\\
 286   for $E_{\textrm{cut-off}}<1050\,\textrm{eV}$!\\
 287  }
 288  \vspace*{0.5cm}
 289  {\footnotesize
 290  Does this matter in structural optimizaton simulations?
 291  \begin{itemize}
 292   \item Derivative might be continuous
 293   \item Similar lattice constants where derivative equals zero
 294  \end{itemize}
 295  }
 296  \end{center}
 297  \end{minipage}
 298
 299 \end{slide}
 300
 301 \begin{slide}
 302
 303  {\large\bf
 304   3C-SiC bulk properties\\[0.2cm]
 305  }
 306
 307  \footnotesize
 308
 309 \begin{picture}(0,0)(-188,80)
 310  %Supercell 1, $3\times 3\times 3$ k-points\\
 311  \includegraphics[width=6.5cm]{sic_lc_fit_k3.ps}
 312 \end{picture}
 313
 314  \begin{minipage}{6.5cm}
 315  \begin{itemize}
 316   \item Supercell 1 simulations
 317   \item Variation of k-points
 318   \item Continuous energies for
 319         $E_{\textrm{cut-off}} > 550\,\textrm{eV}$
 320   \item Critical $E_{\textrm{cut-off}}$ for
 321         different k-points\\
 322         depending on supercell?
 323  \end{itemize}
 324  \end{minipage}\\[1.0cm]
 325  \begin{minipage}{6.5cm}
 326  \begin{center}
 327  \includegraphics[width=6.5cm]{sic_lc_fit_k5.ps}
 328  \end{center}
 329  \end{minipage}
 330  \begin{minipage}{6.5cm}
 331  \begin{center}
 332  \includegraphics[width=6.5cm]{sic_lc_fit_k7.ps}
 333  \end{center}
 334  \end{minipage}
 335
 336 \end{slide}
 337
 338 \begin{slide}
 339
 340  {\large\bf
 341   Cohesive energies
 342  }
 343
 344  {\bf\color{red} From now on ...}
 345
 346  {\small Energies used: free energy without entropy ($\sigma \rightarrow 0$)}
 347
 348  \small
 349
 350  \begin{itemize}
 351   \item $E_{\textrm{free,sp}}$:
 352         energy of spin polarized free atom
 353         \begin{itemize}
 354          \item $k$-points: Monkhorst $1\times 1\times 1$
 355          \item Symmetry switched off
 356          \item Spin polarized calculation
 357          \item Interpolation formula according to Vosko Wilk and Nusair
 358                for the correlation part of the exchange correlation functional
 359          \item Gaussian smearing for the partial occupancies
 360                $f(\{\epsilon_{n{\bf k}}\})$
 361                ($\sigma=0.05$)
 362          \item Magnetic mixing: AMIX = 0.2, BMIX = 0.0001
 363          \item Supercell: one atom in cubic
 364                $10\times 10\times 10$ \AA$^3$ box
 365         \end{itemize}
 366         {\color{blue}
 367         $E_{\textrm{free,sp}}(\textrm{Si},{\color{green}250}\, \textrm{eV})=
 368          -0.70036911\,\textrm{eV}$
 369         }\\
 370         {\color{blue}
 371         $E_{\textrm{free,sp}}(\textrm{Si},{\color{red}650}\, \textrm{eV})=
 372          -0.70021403\,\textrm{eV}$
 373         },
 374         {\color{gray}
 375         $E_{\textrm{free,sp}}(\textrm{C},{\color{red}650}\, \textrm{eV})=
 376          -1.3535731\,\textrm{eV}$
 377         }
 378   \item $E$:
 379         energy (non-polarized) of system of interest composed of\\
 380         n atoms of type N, m atoms of type M, \ldots
 381  \end{itemize}
 382  \vspace*{0.2cm}
 383  {\color{red}
 384  \[
 385  \Rightarrow
 386  E_{\textrm{coh}}=\frac{
 387  -\Big(E(N_nM_m\ldots)-nE_{\textrm{free,sp}}(N)-mE_{\textrm{free,sp}}(M)
 388  -\ldots\Big)}
 389  {n+m+\ldots}
 390  \]
 391  }
 392
 393 \end{slide}
 394
 395 \begin{slide}
 396
 397  {\large\bf
 398   Calculation of the defect formation energy\\
 399  }
 400
 401  \small
 402
 403  {\color{blue}Method 1} (single species)
 404  \begin{itemize}
 405   \item $E_{\textrm{coh}}^{\textrm{initial conf}}$:
 406         cohesive energy per atom of the initial system
 407   \item $E_{\textrm{coh}}^{\textrm{interstitial conf}}$:
 408         cohesive energy per atom of the interstitial system
 409   \item N: amount of atoms in the interstitial system
 410  \end{itemize}
 411  \vspace*{0.2cm}
 412  {\color{blue}
 413  \[
 414  \Rightarrow
 415  E_{\textrm{f}}=\Big(E_{\textrm{coh}}^{\textrm{interstitial conf}}
 416                -E_{\textrm{coh}}^{\textrm{initial conf}}\Big) N
 417  \]
 418  }\\[0.4cm]
 419  {\color{magenta}Method 2} (two and more species)
 420  \begin{itemize}
 421   \item $E$: energy of the interstitial system
 422         (with respect to the ground state of the free atoms!)
 423   \item $N_{\text{Si}}$, $N_{\text{C}}$:
 424         amount of Si and C atoms
 425   \item $\mu_{\text{Si}}$, $\mu_{\text{C}}$:
 426         chemical potential (cohesive energy) of Si and C
 427  \end{itemize}
 428  \vspace*{0.2cm}
 429  {\color{magenta}
 430  \[
 431  \Rightarrow
 432  E_{\textrm{f}}=E-N_{\text{Si}}\mu_{\text{Si}}-N_{\text{C}}\mu_{\text{C}}
 433  \]
 434  }
 435
 436 \end{slide}
 437
 438 \begin{slide}
 439
 440  {\large\bf
 441   Used types of supercells\\
 442  }
 443
 444  \footnotesize
 445
 446  \begin{minipage}{4.3cm}
 447   \includegraphics[width=4cm]{sc_type0.eps}\\[0.3cm]
 448   \underline{Type 0}\\[0.2cm]
 449   Basis: fcc\\
 450   $x_1=(0.5,0.5,0)$\\
 451   $x_2=(0,0.5,0.5)$\\
 452   $x_3=(0.5,0,0.5)$\\
 453   1 primitive cell / 2 atoms
 454  \end{minipage}
 455  \begin{minipage}{4.3cm}
 456   \includegraphics[width=4cm]{sc_type1.eps}\\[0.3cm]
 457   \underline{Type 1}\\[0.2cm]
 458   Basis:\\
 459   $x_1=(0.5,-0.5,0)$\\
 460   $x_2=(0.5,0.5,0)$\\
 461   $x_3=(0,0,1)$\\
 462   2 primitive cells / 4 atoms
 463  \end{minipage}
 464  \begin{minipage}{4.3cm}
 465   \includegraphics[width=4cm]{sc_type2.eps}\\[0.3cm]
 466   \underline{Type 2}\\[0.2cm]
 467   Basis: sc\\
 468   $x_1=(1,0,0)$\\
 469   $x_2=(0,1,0)$\\
 470   $x_3=(0,0,1)$\\
 471   4 primitive cells / 8 atoms
 472  \end{minipage}\\[0.4cm]
 473
 474  {\bf\color{blue}
 475  In the following these types of supercells are used and
 476  are possibly scaled by integers in the different directions!
 477  }
 478
 479 \end{slide}
 480
 481 \begin{slide}
 482
 483  {\large\bf
 484   Silicon point defects\\
 485  }
 486
 487  \small
 488
 489  Influence of supercell size\\
 490  \begin{minipage}{8cm}
 491  \includegraphics[width=7.0cm]{si_self_int.ps}
 492  \end{minipage}
 493  \begin{minipage}{5cm}
 494  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{110},\,32\textrm{pc}}=3.38\textrm{ eV}$\\
 495  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{tet},\,32\textrm{pc}}=3.41\textrm{ eV}$\\
 496  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{hex},\,32\textrm{pc}}=3.42\textrm{ eV}$\\
 497  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{vac},\,32\textrm{pc}}=3.51\textrm{ eV}$\\\\
 498  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{hex},\,54\textrm{pc}}=3.42\textrm{ eV}$\\
 499  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{tet},\,54\textrm{pc}}=3.45\textrm{ eV}$\\
 500  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{vac},\,54\textrm{pc}}=3.47\textrm{ eV}$\\
 501  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{110},\,54\textrm{pc}}=3.48\textrm{ eV}$
 502  \end{minipage}
 503
 504  Comparison with literature (PRL 88 235501 (2002)):\\[0.2cm]
 505  \begin{minipage}{8cm}
 506  \begin{itemize}
 507   \item GGA and LDA
 508   \item $E_{\text{cut-off}}=35 / 25\text{ Ry}=476 / 340\text{ eV}$
 509   \item 216 atom supercell
 510   \item Gamma point only calculations
 511  \end{itemize}
 512  \end{minipage}
 513  \begin{minipage}{5cm}
 514  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{110}}=3.31 / 2.88\textrm{ eV}$\\
 515  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{hex}}=3.31 / 2.87\textrm{ eV}$\\
 516  $E_{\textrm{f}}^{\textrm{vac}}=3.17 / 3.56\textrm{ eV}$
 517  \end{minipage}
 518
 519
 520 \end{slide}
 521
 522 \begin{slide}
 523
 524  {\large\bf
 525   Questions so far ...\\
 526  }
 527
 528  What configuration to chose for C in Si simulations?
 529  \begin{itemize}
 530   \item Switch to another method for the XC approximation (GGA, PAW)?
 531   \item Reasonable cut-off energy
 532   \item Switch off symmetry? (especially for defect simulations)
 533   \item $k$-points
 534         (Monkhorst? $\Gamma$-point only if cell is large enough?)
 535   \item Switch to tetrahedron method or Gaussian smearing ($\sigma$?)
 536   \item Size and type of supercell
 537         \begin{itemize}
 538          \item connected to choice of $k$-point mesh?
 539          \item hence also connected to choice of smearing method?
 540          \item constraints can only be applied to the lattice vectors!
 541         \end{itemize}
 542   \item Use of real space projection operators?
 543   \item \ldots
 544  \end{itemize}
 545
 546 \end{slide}
 547
 548 \begin{slide}
 549
 550  {\large\bf
 551   Review (so far) ...\\
 552  }
 553
 554  Smearing method for the partial occupancies $f(\{\epsilon_{n{\bf k}}\})$
 555  and $k$-point mesh
 556
 557  \begin{minipage}{4.4cm}
 558   \includegraphics[width=4.4cm]{sic_smear_k.ps}
 559  \end{minipage}
 560  \begin{minipage}{4.4cm}
 561   \includegraphics[width=4.4cm]{c_smear_k.ps}
 562  \end{minipage}
 563  \begin{minipage}{4.3cm}
 564   \includegraphics[width=4.4cm]{si_smear_k.ps}
 565  \end{minipage}\\[0.3cm]
 566  \begin{itemize}
 567   \item Convergence reached at $6\times 6\times 6$ k-point mesh
 568   \item No difference between Gauss ($\sigma=0.05$)
 569         and tetrahedron smearing method!
 570  \end{itemize}
 571  \begin{center}
 572  $\Downarrow$\\
 573  {\color{blue}\bf
 574    Gauss ($\sigma=0.05$) smearing
 575    and $6\times 6\times 6$ Monkhorst $k$-point mesh used
 576  }
 577  \end{center}
 578
 579 \end{slide}
 580
 581 \begin{slide}
 582
 583  {\large\bf
 584   Review (so far) ...\\
 585  }
 586
 587  \underline{Symmetry (in defect simulations)}
 588
 589  \begin{center}
 590  {\color{red}No}
 591  difference in $1\times 1\times 1$ Type 2 defect calculations\\
 592  $\Downarrow$\\
 593  Symmetry precission (SYMPREC) small enough\\
 594  $\Downarrow$\\
 595  {\bf\color{blue}Symmetry switched on}\\
 596  \end{center}
 597
 598  \underline{Real space projection}
 599
 600  \begin{center}
 601  Error in lattice constant of plain Si ($1\times 1\times 1$ Type 2):
 602  $0.025\,\%$\\
 603  Error in position of the 110 interstitital in Si ($1\times 1\times 1$ Type 2):
 604  $0.026\,\%$\\
 605  $\Downarrow$\\
 606  {\bf\color{blue}
 607   Real space projection used for 'large supercell' simulations}
 608  \end{center}
 609
 610 \end{slide}
 611
 612 \begin{slide}
 613
 614  {\large\bf
 615   Review (so far) ...
 616  }
 617
 618  Energy cut-off\\
 619
 620  \begin{center}
 621
 622  {\small
 623  3C-SiC equilibrium lattice constant and free energy\\
 624  \includegraphics[width=7cm]{plain_sic_lc.ps}\\
 625  $\rightarrow$ Convergence reached at 650 eV\\[0.2cm]
 626  }
 627
 628  $\Downarrow$\\
 629
 630  {\bf\color{blue}
 631   650 eV used as energy cut-off
 632  }
 633
 634  \end{center}
 635
 636 \end{slide}
 637
 638 \begin{slide}
 639
 640  {\large\bf
 641   Not answered (so far) ...\\
 642  }
 643
 644 \vspace{1.5cm}
 645
 646  \LARGE
 647  \bf
 648  \color{blue}
 649
 650  \begin{center}
 651  Continue\\
 652  with\\
 653  US LDA?
 654  \end{center}
 655
 656 \vspace{1.5cm}
 657
 658 \end{slide}
 659
 660 \begin{slide}
 661
 662  {\large\bf
 663   Final parameter choice
 664  }
 665
 666  \footnotesize
 667
 668  \underline{Param 1}\\
 669  My first choice. Used for more accurate calculations.
 670  \begin{itemize}
 671   \item $6\times 6 \times 6$ Monkhorst k-point mesh
 672   \item $E_{\text{cut-off}}=650\text{ eV}$
 673   \item Gaussian smearing ($\sigma=0.05$)
 674   \item Use symmetry
 675  \end{itemize}
 676  \vspace*{0.2cm}
 677  \underline{Param 2}\\
 678  After talking to the pros!
 679  \begin{itemize}
 680   \item $\Gamma$-point only
 681   \item $E_{\text{cut-off}}=xyz\text{ eV}$
 682   \item Gaussian smearing ($\sigma=0.05$)
 683   \item Use symmetry
 684   \item Real space projection (Auto, Medium) for 'large' simulations
 685  \end{itemize}
 686  \vspace*{0.2cm}
 687  {\color{blue}
 688   In both parameter sets the ultra soft pseudo potential method
 689   as well as the projector augmented wave method is used with both,
 690   the LDA and GGA exchange correlation potential!
 691  }
 692 \end{slide}
 693
 694 \begin{slide}
 695
 696  \footnotesize
 697
 698  {\large\bf
 699   Properties of Si, C and SiC using the new parameters\\
 700  }
 701
 702  $2\times 2\times 2$ Type 2 supercell, Param 1, LDA, US PP\\[0.2cm]
 703  \begin{tabular}{|l|l|l|l|}
 704  \hline
 705   & c-Si & c-C (diamond) & 3C-SiC \\
 706  \hline
 707  Lattice constant [\AA] & 5.389 & 3.527 & 4.319 \\
 708  Expt. [\AA] & 5.429 & 3.567 & 4.359 \\
 709  Error [\%] & {\color{green}0.7} & {\color{green}1.1} & {\color{green}0.9} \\
 710  \hline
 711  Cohesive energy [eV] & -5.277 & -8.812 & -7.318 \\
 712  Expt. [eV] & -4.63 & -7.374 & -6.340 \\
 713  Error [\%] & {\color{red}14.0} & {\color{red}19.5} & {\color{red}15.4} \\
 714  \hline
 715  \end{tabular}\\
 716
 717  \begin{minipage}{10cm}
 718  $2\times 2\times 2$ Type 2 supercell, 3C-SiC, Param 1\\[0.2cm]
 719  \begin{tabular}{|l|l|l|l|}
 720  \hline
 721   & {\color{magenta}US PP, GGA} & PAW, LDA & PAW, GGA \\
 722  \hline
 723  Lattice constant [\AA] & 4.370 & 4.330 & 4.379 \\
 724  Error [\%] & {\color{green}0.3} & {\color{green}0.7} & {\color{green}0.5} \\
 725  \hline
 726  Cohesive energy [eV] & -6.426 & -7.371 & -6.491 \\
 727  Error [\%] & {\color{green}1.4} & {\color{red}16.3} & {\color{green}2.4} \\
 728  \hline
 729  \end{tabular}
 730  \end{minipage}
 731  \begin{minipage}{3cm}
 732  US PP, GGA\\[0.2cm]
 733  \begin{tabular}{|l|l|}
 734  \hline
 735  c-Si & c-C \\
 736  \hline
 737  5.455 & 3.567 \\
 738  {\color{green}0.5} & {\color{green}0.01} \\
 739  \hline
 740  -4.591 & -7.703 \\
 741  {\color{green}0.8} & {\color{orange}4.5} \\
 742  \hline
 743  \end{tabular}
 744  \end{minipage}
 745
 746 \end{slide}
 747
 748 \begin{slide}
 749
 750  {\large\bf
 751   Energy cut-off for $\Gamma$-point only caclulations
 752  }
 753
 754  $2\times 2\times 2$ Type 2 supercell, Param 2, US PP, LDA, 3C-SiC\\[0.2cm]
 755  \includegraphics[width=5.5cm]{sic_32pc_gamma_cutoff.ps}
 756  \includegraphics[width=5.5cm]{sic_32pc_gamma_cutoff_lc.ps}\\
 757  $\Rightarrow$ Use 300 eV as energy cut-off?\\[0.2cm]
 758  $2\times 2\times 2$ Type 2 supercell, Param 2, 300 eV, US PP, GGA\\[0.2cm]
 759  \small
 760  \begin{minipage}{10cm}
 761  \begin{tabular}{|l|l|l|l|}
 762  \hline
 763   & c-Si & c-C (diamond) & 3C-SiC \\
 764  \hline
 765  Lattice constant [\AA] & 5.470 & 3.569 & 4.364 \\
 766  Error [\%] & {\color{green}0.8} & {\color{green}0.1} & {\color{green}0.1} \\
 767  \hline
 768  Cohesive energy [eV] & -4.488 & -7.612 & -6.359 \\
 769  Error [\%] & {\color{orange}3.1} & {\color{orange}3.2} & {\color{green}0.3} \\
 770  \hline
 771  \end{tabular}
 772  \end{minipage}
 773  \begin{minipage}{2cm}
 774  {\LARGE
 775   ${\color{green}\surd}$
 776  }
 777  \end{minipage}
 778
 779 \end{slide}
 780
 781 \begin{slide}
 782
 783  {\large\bf
 784   C 100 interstitial migration along 110 in c-Si (Albe potential)
 785  }
 786
 787  \small
 788
 789  \begin{minipage}[t]{4.2cm}
 790  \underline{Starting configuration}\\
 791  \includegraphics[width=4cm]{c_100_mig/start.eps}
 792  \end{minipage}
 793  \begin{minipage}[t]{4.0cm}
 794  \vspace*{0.8cm}
 795  $\Delta x=\frac{1}{4}a_{\text{Si}}=1.357\text{ \AA}$\\
 796  $\Delta y=\frac{1}{4}a_{\text{Si}}=1.357\text{ \AA}$\\
 797  $\Delta z=0.325\text{ \AA}$\\
 798  \end{minipage}
 799  \begin{minipage}[t]{4.2cm}
 800  \underline{{\bf Expected} final configuration}\\
 801  \includegraphics[width=4cm]{c_100_mig/final.eps}\\
 802  \end{minipage}
 803  \begin{minipage}{6cm}
 804  \begin{itemize}
 805   \item Fix border atoms of the simulation cell
 806   \item Constraints and displacement of the C atom:
 807         \begin{itemize}
 808          \item along {\color{green}110 direction}\\
 809                displaced by {\color{green} $\frac{1}{10}(\Delta x,\Delta y)$}
 810          \item C atom {\color{red}entirely fixed in position}\\
 811                displaced by
 812                {\color{red}$\frac{1}{10}(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$}
 813         \end{itemize}
 814   \item Berendsen thermostat applied
 815  \end{itemize}
 816  {\bf\color{blue}Expected configuration not obtained!}
 817  \end{minipage}
 818  \begin{minipage}{0.5cm}
 819  \hfill
 820  \end{minipage}
 821  \begin{minipage}{6cm}
 822  \includegraphics[width=6.0cm]{c_100_110mig_01_albe.ps}
 823  \end{minipage}
 824
 825 \end{slide}
 826
 827 \begin{slide}
 828
 829  {\large\bf
 830   C 100 interstitial migration along 110 in c-Si (Albe potential)
 831  }
 832
 833  \footnotesize
 834
 835  \begin{minipage}{3.2cm}
 836  \includegraphics[width=3cm]{c_100_mig/fixmig_50.eps}
 837  \begin{center}
 838  50 \%
 839  \end{center}
 840  \end{minipage}
 841  \begin{minipage}{3.2cm}
 842  \includegraphics[width=3cm]{c_100_mig/fixmig_80.eps}
 843  \begin{center}
 844  80 \%
 845  \end{center}
 846  \end{minipage}
 847  \begin{minipage}{3.2cm}
 848  \includegraphics[width=3cm]{c_100_mig/fixmig_90.eps}
 849  \begin{center}
 850  90 \%
 851  \end{center}
 852  \end{minipage}
 853  \begin{minipage}{3.2cm}
 854  \includegraphics[width=3cm]{c_100_mig/fixmig_99.eps}
 855  \begin{center}
 856  100 \%
 857  \end{center}
 858  \end{minipage}
 859
 860  Open questions ...
 861  \begin{enumerate}
 862   \item Why is the expected configuration not obtained?
 863   \item How to find a migration path preceding to the expected configuration?
 864  \end{enumerate}
 865
 866  Answers ...
 867  \begin{enumerate}
 868   \item Simple: it is not the right migration path!
 869         \begin{itemize}
 870          \item (Surrounding) atoms settle into a local minimum configuration
 871          \item A possibly existing more favorable configuration is not achieved
 872         \end{itemize}
 873   \item \begin{itemize}
 874          \item Search global minimum in each step (by simulated annealing)\\
 875                {\color{red}But:}
 876                Loss of the correct energy needed for migration
 877          \item Smaller displacements\\
 878                A more favorable configuration might be achieved
 879                possibly preceding to the expected configuration
 880         \end{itemize}
 881  \end{enumerate}
 882
 883
 884 \end{slide}
 885
 886 \begin{slide}
 887
 888  {\large\bf
 889   C 100 interstitial migration along 110 in c-Si (Albe potential)\\
 890  }
 891
 892  Displacement step size decreased to
 893  $\frac{1}{100} (\Delta x,\Delta y)$\\[0.2cm]
 894
 895  \begin{minipage}{7.5cm}
 896  Result: (Video \href{../video/c_in_si_smig_albe.avi}{$\rhd_{\text{local}}$ } $|$
 897  \href{http://www.physik.uni-augsburg.de/~zirkelfr/download/posic/c_in_si_smig_albe.avi}{$\rhd_{\text{remote url}}$})
 898  \begin{itemize}
 899   \item Expected final configuration not obtained
 900   \item Bonds to neighboured silicon atoms persist
 901   \item C and neighboured Si atoms move along the direction of displacement
 902   \item Even the bond to the lower left silicon atom persists
 903  \end{itemize}
 904  {\color{red}
 905   Obviously: overestimated bond strength
 906  }
 907  \end{minipage}
 908  \begin{minipage}{5cm}
 909   \includegraphics[width=6cm]{c_100_110smig_01_albe.ps}
 910  \end{minipage}\\[0.4cm]
 911  New approach to find the migration path:\\
 912  {\color{blue}
 913  Place interstitial carbon atom at the respective coordinates
 914  into a perfect c-Si matrix!
 915  }
 916
 917 \end{slide}
 918
 919 \begin{slide}
 920
 921  {\large\bf
 922   C 100 interstitial migration along 110 in c-Si (Albe potential)
 923  }
 924
 925  {\color{blue}New approach:}\\
 926  Place interstitial carbon atom at the respective coordinates
 927  into a perfect c-Si matrix!\\
 928  {\color{blue}Problem:}\\
 929  Too high forces due to the small distance of the C atom to the Si
 930  atom sharing the lattice site.\\
 931  {\color{blue}Solution:}
 932  \begin{itemize}
 933   \item {\color{red}Slightly displace the Si atom}
 934   (Video \href{../video/c_in_si_pmig_albe.avi}{$\rhd_{\text{local}}$ } $|$
 935   \href{http://www.physik.uni-augsburg.de/~zirkelfr/download/posic/c_in_si_pmig_albe.avi}{$\rhd_{\text{remote url}}$})
 936   \item {\color{green}Immediately quench the system}
 937   (Video \href{../video/c_in_si_pqmig_albe.avi}{$\rhd_{\text{local}}$ } $|$
 938   \href{http://www.physik.uni-augsburg.de/~zirkelfr/download/posic/c_in_si_pqmig_albe.avi}{$\rhd_{\text{remote url}}$})
 939  \end{itemize}
 940
 941  \begin{minipage}{6.5cm}
 942  \includegraphics[width=6cm]{c_100_110pqmig_01_albe.ps}
 943  \end{minipage}
 944  \begin{minipage}{6cm}
 945  \begin{itemize}
 946   \item Jump in energy corresponds to the abrupt
 947         structural change (as seen in the videos)
 948   \item Due to the abrupt changes in structure and energy
 949         this is {\color{red}not} the correct migration path and energy!?!
 950  \end{itemize}
 951  \end{minipage}
 952
 953 \end{slide}
 954
 955 \begin{slide}
 956
 957  {\large\bf
 958   C 100 interstitial migration along 110 in c-Si (VASP)
 959  }
 960
 961  \small
 962
 963  {\color{blue}Method:}
 964  \begin{itemize}
 965   \item Place interstitial carbon atom at the respective coordinates
 966         into perfect c-Si
 967   \item 110 direction fixed for the C atom
 968   \item $4\times 4\times 3$ Type 1, $198+1$ atoms
 969   \item Atoms with $x=0$ or $y=0$ or $z=0$ fixed
 970  \end{itemize}
 971  {\color{blue}Results:}
 972  (Video \href{../video/c_in_si_pmig_vasp.avi}{$\rhd_{\text{local}}$ } $|$
 973  \href{http://www.physik.uni-augsburg.de/~zirkelfr/download/posic/c_in_si_pmig_vasp.avi}{$\rhd_{\text{remote url}}$})\\
 974  \begin{minipage}{7cm}
 975  \includegraphics[width=7cm]{c_100_110pmig_01_vasp.ps}
 976  \end{minipage}
 977  \begin{minipage}{5.5cm}
 978  \begin{itemize}
 979   \item Characteristics nearly equal to classical calulations
 980   \item Approximately half of the classical energy
 981         needed for migration
 982  \end{itemize}
 983  \end{minipage}
 984
 985 \end{slide}
 986
 987 \begin{slide}
 988
 989  {\large\bf
 990   C 100 interstitial migration along 110 in c-Si (VASP)
 991  }
 992
 993  \small
 994
 995  {\color{blue}Method:}
 996  \begin{itemize}
 997   \item Continue with atomic positions of the last run
 998   \item Displace the C atom in 110 direction
 999   \item 110 direction fixed for the C atom
1000   \item $4\times 4\times 3$ Type 1, $198+1$ atoms
1001   \item Atoms with $x=0$ or $y=0$ or $z=0$ fixed
1002  \end{itemize}
1003  {\color{blue}Results:}
1004  (Video \href{../video/c_in_si_smig_vasp.avi}{$\rhd_{\text{local}}$ } $|$
1005  \href{http://www.physik.uni-augsburg.de/~zirkelfr/download/posic/c_in_si_smig_vasp.avi}{$\rhd_{\text{remote url}}$})\\
1006  \includegraphics[width=7cm]{c_100_110mig_01_vasp.ps}
1007
1008 \end{slide}
1009
1010 \begin{slide}
1011
1012  {\large\bf
1013   Again: C 100 interstitial migration
1014  }
1015
1016  \small
1017
1018  {\color{blue}The applied methods:}
1019  \begin{enumerate}
1020   \item Method
1021         \begin{itemize}
1022           \item Start in relaxed 100 interstitial configuration
1023           \item Displace C atom along 110 direction
1024           \item Relaxation (Berendsen thermostat)
1025           \item Continue with configuration of the last run
1026         \end{itemize}
1027   \item Method
1028         \begin{itemize}
1029           \item Place interstitial carbon at the respective coordinates
1030                 into the perfect Si matrix
1031           \item Quench the system
1032         \end{itemize}
1033  \end{enumerate}
1034  {\color{blue}In both methods:}
1035  \begin{itemize}
1036   \item Fixed border atoms
1037   \item Applied 110 constraint for the C atom
1038  \end{itemize}
1039  {\color{red}Pitfalls} and {\color{green}refinements}:
1040  \begin{itemize}
1041   \item {\color{red}Fixed border atoms} $\rightarrow$
1042         Relaxation of stress not possible\\
1043         $\Rightarrow$
1044         {\color{green}Fix only one Si atom} (the one furthermost to the defect)
1045   \item {\color{red}110 constraint not sufficient}\\
1046         $\Rightarrow$ {\color{green}Apply 11x constraint}
1047         (connecting line of initial and final C positions)
1048  \end{itemize}
1049
1050 \end{slide}
1051
1052 \begin{slide}
1053
1054  {\large\bf
1055   Again: C 100 interstitial migration (Albe)
1056  }
1057
1058  Constraint applied by modyfing the Velocity Verlet algorithm
1059
1060  {\color{blue}Results:}
1061  (Video \href{../video/c_in_si_fmig_albe.avi}{$\rhd_{\text{local}}$ } $|$
1062  \href{http://www.physik.uni-augsburg.de/~zirkelfr/download/posic/c_in_si_fmig_albe.avi}{$\rhd_{\text{remote url}}$})\\
1063  \begin{minipage}{6.3cm}
1064  \includegraphics[width=6cm]{c_100_110fmig_01_albe.ps}
1065  \end{minipage}
1066  \begin{minipage}{6cm}
1067  \begin{center}
1068   Again there are jumps in energy corresponding to abrupt
1069   structural changes as seen in the video
1070  \end{center}
1071  \end{minipage}
1072  \begin{itemize}
1073   \item Expected final configuration not obtained
1074   \item Bonds to neighboured silicon atoms persist
1075   \item C and neighboured Si atoms move along the direction of displacement
1076   \item Even the bond to the lower left silicon atom persists
1077  \end{itemize}
1078
1079 \end{slide}
1080
1081 \begin{slide}
1082
1083  {\large\bf
1084   Again: C 100 interstitial migration (VASP)
1085  }
1086
1087  Transformation for the Type 2 supercell
1088
1089  \small
1090
1091  \begin{minipage}[t]{4.2cm}
1092  \underline{Starting configuration}\\
1093  \includegraphics[width=3cm]{c_100_mig_vasp/start.eps}
1094  \end{minipage}
1095  \begin{minipage}[t]{4.0cm}
1096  \vspace*{1.0cm}
1097  $\Delta x=1.367\text{ \AA}$\\
1098  $\Delta y=1.367\text{ \AA}$\\
1099  $\Delta z=0.787\text{ \AA}$\\
1100  \end{minipage}
1101  \begin{minipage}[t]{4.2cm}
1102  \underline{{\bf Expected} final configuration}\\
1103  \includegraphics[width=3cm]{c_100_mig_vasp/final.eps}\\
1104  \end{minipage}
1105  \begin{minipage}{6.2cm}
1106  Rotation angles:
1107  \[
1108  \alpha=45^{\circ}
1109  \textrm{ , }
1110  \beta=\arctan\frac{\Delta z}{\sqrt{2}\Delta x}=22.165^{\circ}
1111  \]
1112  \end{minipage}
1113  \begin{minipage}{6.2cm}
1114  Length of migration path:
1115  \[
1116  l=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}=2.087\text{ \AA}
1117  \]
1118  \end{minipage}\\[0.3cm]
1119  Transformation of basis:
1120  \[
1121  T=ABA^{-1}A=AB \textrm{, mit }
1122  A=\left(\begin{array}{ccc}
1123  \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\
1124  \sin\alpha & \cos\alpha & 0\\
1125  0 & 0 & 1
1126  \end{array}\right)
1127  \textrm{, }
1128  B=\left(\begin{array}{ccc}
1129  1 & 0 & 0\\
1130  0 & \cos\beta & \sin\beta \\
1131  0 & -\sin\beta & \cos\beta
1132  \end{array}\right)
1133  \]
1134  Atom coordinates transformed by: $T^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
1135
1136 \end{slide}
1137
1138 \begin{slide}
1139
1140  {\large\bf
1141   Again: C 100 interstitial migration\\
1142  }
1143
1144  {\color{blue}Reminder:}\\
1145  Transformation needed since in VASP constraints can only be applied to
1146  the basis vectors!\\
1147  {\color{red}Problem:} (stupid me!)\\
1148  Transformation of supercell 'destroys' the correct periodicity!\\
1149  {\color{green}Solution:}\\
1150  Find a supercell with one basis vector forming the correct constraint\\
1151  {\color{red}Problem:}\\
1152  Hard to find a supercell for the $22.165^{\circ}$ rotation\\
1153
1154  Another method to {\color{blue}\underline{estimate}} the migration energy:
1155  \begin{itemize}
1156   \item Assume an intermediate saddle point configuration during migration
1157   \item Determine the energy of the saddle point configuration
1158   \item Substract the saddle point configuration energy by
1159         the energy of the initial (final) defect configuration
1160  \end{itemize}
1161
1162
1163 \end{slide}
1164
1165 \begin{slide}
1166
1167  {\large\bf
1168   The C 100 defect configuration
1169  }
1170
1171  Needed so often for input configurations ...\\[0.8cm]
1172  \begin{minipage}{7.7cm}
1173  \includegraphics[width=7cm]{100-c-si-db_light.eps}
1174  \hfill
1175  \end{minipage}
1176  \begin{minipage}{4.5cm}
1177  \begin{tabular}{|l|l|l|}
1178  \hline
1179   & a & b \\
1180  \hline
1181  \underline{VASP} & & \\
1182  fractional & 0.1969 & 0.1211 \\
1183  in \AA & 1.08 & 0.66 \\
1184  \hline
1185  \underline{Albe} & & \\
1186  fractional & 0.1547 & 0.1676 \\
1187  in \AA & 0.84 & 0.91 \\
1188  \hline
1189  \end{tabular}
1190  \end{minipage}
1191
1192  \begin{center}
1193  Qualitative {\color{red}and} quantitative {\color{red}difference}!
1194  \end{center}
1195
1196 \end{slide}
1197
1198 \begin{slide}
1199
1200  {\large\bf
1201   Density Functional Theory
1202  }
1203
1204  Hohenberg-Kohn theorem
1205
1206  \small
1207
1208
1209 \end{slide}
1210
1211 \end{document}
1212