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   1 \chapter{Basics}
   2
   3 \section{Molecular dynamics simulations}
   4
   5
   6 \subsection{Potentials}
   7
   8 \subsubsection{The Lennard-Jones potential}
   9
  10 The L-J potential is a realistic two body pair potential and is of the form
  11 \begin{equation}
  12 U^{LJ}(r) = 4 \epsilon \Big[ \Big( \frac{\sigma}{r} \Big)^{12} - \Big( \frac{\sigma}{r} \Big)^6 \Big] \, \textrm{,}
  13 \label{eq:lj-p}
  14 \end{equation}
  15 where $r$ denotes the disatnce between the two atoms.
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  17 The attractive tail for large separations $(\sim r^{-6})$ is essentially due to correlations between electron clouds surrounding the atoms. The attractive part is also known as {\em van der Waals} or {\em London} interaction.
  18 It can be derived classically by considering how two charged spheres induce dipol-dipol interactions into each other, or by considering the interaction between two oscillators in a quantum mechanical way.
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  20 The repulsive term $(\sim r^{-12})$ captures the non-bonded overlap of the electron clouds.
  21 It does not have a true physical motivation, other than the exponent being larger than $6$ to get a steep rising repulsive potential wall at short distances.
  22 Chosing $12$ as the exponent of the repulsive term it is just the square of the attractive term which makes the potential evaluable in a very efficient way.
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  24 The constants $\epsilon$ and $\sigma$ are usually determined by fitting to experimental data.
  25 $\epsilon$ accounts to the depth of the potential well, where $\sigma$ is regarded as the radius of the particle, also known as the van der Waals radius.
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  27 Writing down the derivation of the Lennard-Jones potential in respect to $x_i$ (the $i$th component of the distance vector $\vec{r}$)
  28 \begin{equation}
  29 \frac{\partial}{\partial x_i} U^{LJ}(r) = 4 \epsilon x_i \Big( -12 \frac{\sigma^{12}}{r^{14}} + 6 \frac{\sigma^6}{r^8} \Big)
  30 \label{eq:lj-d}
  31 \end{equation}
  32 one can easily identify $\sigma$ by the equilibrium distance of the atoms $r_e=\sqrt[6]{2} \sigma$.
  33 Applying the equilibrium distance into \eqref{eq:lj-p} $\epsilon$ turns out to be half the negative well depth.
  34 The $i$th component of the force $F^j$ on particle $j$ is obtained by
  35 \begin{equation}
  36 F_i^j = - \frac{\partial}{\partial x_i} U^{LJ}(r) \, \textrm{.}
  37 \label{eq:lj-f}
  38 \end{equation}
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