posic/thesis/d_tersoff.tex

   1 \chapter{Derivative of the three body Tersoff potential}
   2 \label{app:d_tersoff}
   3
   4   \section{Form of the Tersoff potential and its derivative}
   5
   6 The Tersoff potential is of the form
   7 \begin{eqnarray}
   8 E & = & \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i \ne j} V_{ij} \textrm{ ,} \\
   9 V_{ij} & = & f_C(r_{ij}) [ f_R(r_{ij}) + b_{ij} f_A(r_{ij}) ] \textrm{ .}
  10 \end{eqnarray}
  11 The repulsive $f_R$ and attractive $f_A$ part is given by
  12 \begin{eqnarray}
  13 f_R(r_{ij}) & = & A_{ij} \exp (- \lambda_{ij} r_{ij} ) \textrm{ ,} \\
  14 f_A(r_{ij}) & = & -B_{ij} \exp (- \mu_{ij} r_{ij} ) \textrm{ .}
  15 \end{eqnarray}
  16 The bond order function $b_{ij}$ is
  17 \begin{equation}
  18 b_{ij} = \chi_{ij} (1 + \beta_i^{n_i} \zeta^{n_i}_{ij})^{-1/2n_i}
  19 \end{equation}
  20 with
  21 \begin{eqnarray}
  22 \zeta_{ij} & = & \sum_{k \ne i,j} f_C (r_{ik}) \omega_{ik} g(\theta_{ijk}) \textrm{ ,}\\
  23 g(\theta_{ijk}) & = & 1 + c_i^2/d_i^2 - c_i^2/[d_i^2 + (h_i - \cos \theta_{ijk})^2] \textrm{ .}
  24 \end{eqnarray}
  25 The cutoff function $f_C$ is taken to be
  26 \begin{equation}
  27 f_C(r_{ij}) = \left\{
  28   \begin{array}{ll}
  29     1, & r_{ij} < R_{ij} \\
  30     \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \Big[ \pi (r_{ij} - R_{ij})/(S_{ij} - R_{ij}) \Big], &
  31  R_{ij} < r_{ij} < S_{ij} \\
  32     0, & r_{ij} > S_{ij}
  33   \end{array} \right.
  34 \end{equation}
  35 with $\theta_{ijk}$ being the bond angle between bonds $ij$ and $ik$ as shown in Figure \ref{img:tersoff_angle}.\\
  36 \\
  37 For a three body potential, if $V_{ij}$ is not equal to $V_{ji}$, the derivative is of the form
  38 \begin{equation}
  39 \nabla_{{\bf r}_i} E = \frac{1}{2} \big[ \sum_j ( \nabla_{{\bf r}_i} V_{ij} + \nabla_{{\bf r}_i} V_{ji} ) + \sum_k \sum_j \nabla_{{\bf r}_i} V_{jk} \big] \textrm{ .}
  40 \end{equation}
  41 In the following all the necessary derivatives to calculate $\nabla_{{\bf r}_i} E$ are done.
  42
  43   \section{Derivative of $V_{ij}$ with respect to ${\bf r}_i$}
  44
  45 \begin{eqnarray}
  46 \nabla_{{\bf r}_i} V_{ij} & = & \nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{ij}) \big[ f_R(r_{ij}) + b_{ij} f_A(r_{ij}) \big] + \nonumber \\
  47  & & + f_C(r_{ij}) \big[ \nabla_{{\bf r}_i} f_R(r_{ij}) + b_{ij} \nabla_{{\bf r}_i} f_A(r_{ij}) + f_A(r_{ij}) \nabla_{{\bf r}_i} b_{ij} \big]
  48 \end{eqnarray}
  49 \begin{eqnarray}
  50 \nabla_{{\bf r}_i} f_R(r_{ij}) & = & A_{ij} \lambda_{ij} \frac{{\bf r}_{ij}}{r_{ij}} \exp(-\lambda_{ij} r_{ij}) \\
  51 \nabla_{{\bf r}_i} f_A(r_{ij}) & = & - B_{ij} \mu_{ij} \frac{{\bf r}_{ij}}{r_{ij}} \exp(-\mu_{ij} r_{ij})
  52 \end{eqnarray}
  53 \begin{equation}
  54 \nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{ij}) = \left\{
  55   \begin{array}{ll}
  56     \frac{1}{2} \sin \Big( \frac{\pi(r_{ij}-R_{ij})}{S_{ij}-R_{ij}} \Big) \frac{\pi}{S_{ij}-R_{ij}} \frac{{\bf r}_{ij}}{r_{ij}}, & R_{ij} < r_{ij} < S_{ij} \\
  57     0, & \textrm{else.}
  58   \end{array} \right.
  59 \end{equation}
  60 \begin{eqnarray}
  61 \nabla_{{\bf r}_i} b_{ij} &= & - \frac{\chi_{ij}}{2} (1+\beta^{n_i} \zeta_{ij}^{n_i})^{-\frac{1}{2n_i}-1} \beta^{n_i} \zeta_{ij}^{n_i-1} \nabla_{{\bf r}_i} \zeta_{ij} \\
  62 \nabla_{{\bf r}_i} \zeta_{ij} & = & \sum_{k \neq i,j} \big( g(\theta_{ijk}) \nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{ik}) + f_C(r_{ik}) \nabla_{{\bf r}_i} g(\theta_{ijk}) \big) \\
  63 \nabla_{{\bf r}_i} g(\theta_{ijk}) & = & - \frac{2(h_i-\cos\theta_{ijk})c_i^2}{\big[d_i^2 + (h_i - \cos\theta_{ijk})^2\big]^2} \nabla_{{\bf r}_i} (\cos\theta_{ijk})
  64 \end{eqnarray}
  65 \begin{eqnarray}
  66 \nabla_{{\bf r}_i} \cos \theta_{ijk} & = & \nabla_{{\bf r}_i} \Big( \frac{{\bf r}_{ij} {\bf r}_{ik}}{r_{ij} r_{ik}} \Big) \nonumber \\
  67  & = & \Big[ \frac{\cos\theta_{ijk}}{r_{ij}^2} - \frac{1}{r_{ij} r_{ik}} \Big] {\bf r}_{ij} + \Big[ \frac{\cos\theta_{ijk}}{r_{ik}^2} - \frac{1}{r_{ij} r_{ik}} \Big] {\bf r}_{ik}
  68 \end{eqnarray}
  69
  70   \section{Derivative of $V_{ji}$ with respect to ${\bf r}_i$}
  71
  72 \begin{eqnarray}
  73 \nabla_{{\bf r}_i} V_{ji} & = & \nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{ji}) \big[ f_R(r_{ji}) + b_{ji} f_A(r_{ji}) \big] + \nonumber \\
  74  & & + f_C(r_{ji}) \big[ \nabla_{{\bf r}_i} f_R(r_{ji}) + b_{ji} \nabla_{{\bf r}_i} f_A(r_{ji}) + f_A(r_{ji}) \nabla_{{\bf r}_i} b_{ji} \big]
  75 \end{eqnarray}
  76 \begin{eqnarray}
  77 \nabla_{{\bf r}_i} f_R(r_{ji}) & = & - A_{ji} \lambda_{ji} \frac{{\bf r}_{ji}}{r_{ji}} \exp(-\lambda_{ji} r_{ji}) = \nabla_{{\bf r}_i} f_R(r_{ij}) \\
  78 \nabla_{{\bf r}_i} f_A(r_{ji}) & = & + B_{ji} \mu_{ji} \frac{{\bf r}_{ji}}{r_{ji}} \exp(-\mu_{ji} r_{ji}) = \nabla_{{\bf r}_i} f_A(r_{ij})
  79 \end{eqnarray}
  80 \begin{equation}
  81 \nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{ij}) = \nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{ij}) = \left\{
  82   \begin{array}{ll}
  83     - \frac{1}{2} \sin \Big( \frac{\pi(r_{ji}-R_{ji})}{S_{ji}-R_{ji}} \Big) \frac{\pi}{S_{ji}-R_{ji}} \frac{{\bf r}_{ji}}{r_{ji}}, & R_{ji} < r_{ji} < S_{ji} \\
  84     0, & \textrm{else.}
  85   \end{array} \right.
  86 \end{equation}
  87 \begin{eqnarray}
  88 \nabla_{{\bf r}_i} b_{ji} &= & - \frac{\chi_{ji}}{2} (1+\beta^{n_j} \zeta_{ji}^{n_j})^{-\frac{1}{2n_j}-1} \beta^{n_j} \zeta_{ji}^{n_j-1} \nabla_{{\bf r}_i} \zeta_{ji} \\
  89 \nabla_{{\bf r}_i} \zeta_{ji} & = & \sum_{k \neq j,i} \big( g(\theta_{jik}) \nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{jk}) + f_C(r_{jk}) \nabla_{{\bf r}_i} g(\theta_{jik}) \big) \nonumber \\
  90  & = & \sum_{k \neq j,i} f_C(r_{jk}) \nabla_{{\bf r}_i} g(\theta_{jik}) \quad \Big(\textrm{Reason: }\nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{jk}) = 0\Big) \\
  91 \nabla_{{\bf r}_i} g(\theta_{jik}) & = & - \frac{2(h_j-\cos\theta_{jik})c_j^2}{\big[d_j^2 + (h_j - \cos\theta_{jik})^2\big]^2} \nabla_{{\bf r}_i} (\cos\theta_{jik})
  92 \end{eqnarray}
  93 \begin{eqnarray}
  94 \nabla_{{\bf r}_i} \cos \theta_{jik} & = & \nabla_{{\bf r}_i} \Big( \frac{{\bf r}_{ji} {\bf r}_{jk}}{r_{ji} r_{jk}} \Big) \nonumber \\
  95  & = & \frac{1}{r_{ji} r_{jk}} {\bf r}_{jk} - \frac{\cos\theta_{jik}}{r_{ji}^2} {\bf r}_{ji}
  96 \end{eqnarray}
  97
  98   \section{Derivative of $V_{jk}$ with respect to ${\bf r}_i$}
  99
 100 \begin{eqnarray}
 101 \nabla_{{\bf r}_i} V_{jk} & = & f_C(r_{jk}) f_A(r_{jk}) \nabla_{{\bf r}_i} b_{jk} \\
 102 \nabla_{{\bf r}_i} b_{jk} & = & - \frac{\chi_{jk}}{2} (1+\beta^{n_j} \zeta_{jk}^{n_j})^{-\frac{1}{2n_j}-1} \beta^{n_j} \zeta_{jk}^{n_j-1} \nabla_{{\bf r}_i} \zeta_{jk} \\
 103 \nabla_{{\bf r}_i} \zeta_{jk} & = & \sum_{l \neq j,k} \big( g(\theta_{jkl}) \nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{jl}) + f_C(r_{jl}) \nabla_{{\bf r}_i} g(\theta_{jkp}) \big) \nonumber \\
 104  & = & f_C(r_{ji}) \nabla_{{\bf r}_i} g(\theta_{jki}) + g(\theta_{jki}) \nabla_{{\bf r}_i} f_C(r_{ji}) \\
 105 \nabla_{{\bf r}_i} g(\theta_{jki}) & = & - \frac{2(h_j-\cos\theta_{jki})c_j^2}{\big[d_j^2 + (h_j - \cos\theta_{jki})^2\big]^2} \nabla_{{\bf r}_i} (\cos\theta_{jki}) \\
 106 \nabla_{{\bf r}_i} \cos \theta_{jki} & = & \nabla_{{\bf r}_i} \Big( \frac{{\bf r}_{jk} {\bf r}_{ji}}{r_{jk} r_{ji}} \Big) \nonumber \\
 107  & = & \frac{1}{r_{jk} r_{ji}} {\bf r}_{jk} - \frac{\cos\theta_{jki}}{r_{ji}^2} {\bf r}_{ji}
 108 \end{eqnarray}