posic/thesis/md.tex

   1 \chapter{Molecular dynamics simulations}
   2
   3 The molecular dynamics (MD) technique is used to gain insight into the behavior of carbon existing in different concentrations in crystalline silicon on the microscopic level at finite temperatures.
   4 Both, quantum-mechanical and classical potential molecular dynamics simulations are performed.
   5 Since quantum-mechanical calculations are restricted to a few hundreds of atoms only small volumes composed of three unit cells in each direction and small carbon concentrations are simulated using the VASP code.
   6 Thus, investigations are restricted to the diffusion process of single carbon interstitials and the agglomeration of a few dumbbell interstitials in silicon.
   7 Using classical potentials volume sizes up to 31 unit cells in each direction and high carbon concentrations are realizable.
   8 Simulations targeting the formation of silicon carbide precipitates are, thus, attempted in classical potential calculations only.
   9
  10 \section{Ab initio MD simulations}
  11
  12 No pressure control, since VASP does not support this feature in MD mode.
  13 The time step is set to one fs.
  14 Explain some more parameters that differ from the latter calculations ...
  15
  16 Molecular dynamics simulations of a single, two and ten carbon atoms in $3\times 3\times 3$ unit cells of crytsalline silicon are performed.
  17
  18 \section{Classical potential MD simulations}
  19
  20 In contrast to the quantum-mechanical MD simulations the developed classical potential MD code is able to do constant pressure simulations using the Berendsen barostat.
  21 The system pressure is set to zero pressure.
  22 Due to promising advantages over the Tersoff potential the bond order potential of Erhard and Albe is used.
  23 A time step of one fs is set.
  24
  25 \subsection{Initial simulations}
  26
  27 In initial simulations aiming to reproduce a precipitation process simulation volumes of $31\times 31\times 31$ unit cells are utilized.
  28 Periodic boundary conditions in each direction are applied.
  29 The system temperature is set to $450\, ^{\circ}\mathrm{C}$, the temperature for which epitaxial growth of 3C-SiC films is achieved by ion beam synthesis (IBS).
  30 After equilibration of the kinetic and potential energy carbon atoms are consecutively inserted.
  31 The number of carbon atoms $N_{\text{Carbon}}$ necessary to form a spherical precipitate with radius $r$ is given by
  32 \begin{equation}
  33  N_{\text{Carbon}}=\frac{4}{3}\pi r^3 \cdot \frac{4}{a_{\text{SiC}}^3}
  34                   =\frac{16}{3} \pi \left( \frac{r}{a_{\text{SiC}}}\right)^3
  35 \label{eq:md:spheric_prec}
  36 \end{equation}
  37 with $a_{\text{SiC}}$ being the lattice constant of 3C-SiC.
  38 In IBS experiments the smallest precipitates observed have radii starting from 2 nm up to 4 nm.
  39 For the initial simulations a total amount of 6000 carbon atoms corresponding to a radius of approximately 3.1 nm is chosen.
  40 In separated simulations these 6000 carbon atoms are inserted in three regions of different volume ($V_1$, $V_2$, $V_3$) within the simulation cell.
  41 For reasons of simplification these regions are rectangularly shaped.
  42 $V_1$ is chosen to be the total simulation volume.
  43 $V_2$ approximately corresponds to the volume of a minimal 3C-SiC precipitate.
  44 $V_3$ is approximately the volume containing the necessary amount of silicon atoms to form such a precipitate, which is slightly smaller than $V_2$ due to the slightly lower silicon density of 3C-SiC compared to c-Si.
  45 The two latter insertion volumes are considered since no diffusion of carbon atoms is expected within the simulated period of time at prevalent temperatures.
  46 {\color{red}Todo: Refere to diffusion simulations and Mattoni paper.}
  47 For rectangularly shaped precipitates with side length $L$ the amount of carbon atoms in 3C-SiC and silicon atoms in c-Si is given by
  48 \begin{equation}
  49  N_{\text{Carbon}}^{\text{3C-SiC}} =4 \left( \frac{L}{a_{\text{SiC}}}\right)^3
  50  \text{ and} \quad
  51  N_{\text{Silicon}}^{\text{c-Si}} =8 \left( \frac{L}{a_{\text{Si}}}\right)^3 \text{ .}
  52 \label{eq:md:n_prec}
  53 \end{equation}
  54 Table \ref{table:md:ins_vols} summarizes the side length of each of the three different insertion volumes determined by equations \eqref{eq:md:n_prec} and the resulting carbon concentrations inside these volumes.
  55 Looking at the carbon concentrations simulations can be distinguished in simulations occupying low ($V_1$) and high ($V_2$, $V_3$) concentrations of carbon.
  56 \begin{table}
  57 \begin{center}
  58 \begin{tabular}{l c c c}
  59 \hline
  60 \hline
  61  & $V_1$ & $V_2$ & $V_3$ \\
  62 \hline
  63 Side length [\AA] & 168.3 & 50.0 & 49.0 \\
  64 Carbon concentration [$\frac{1}{\text{c-Si unit cell}}$] & 0.20 & 7.68 & 8.16\\
  65 \hline
  66 \hline
  67 \end{tabular}
  68 \end{center}
  69 \caption{Side lengthes of the insertion volumes $V_1$, $V_2$ and $V_3$ used for the incoorperation of 6000 carbon atoms.}
  70 \label{table:md:ins_vols}
  71 \end{table}
  72
  73 The insertion is realized in a way to keep the system temperature constant.
  74 In each of 600 insertion steps 10 carbon atoms are inserted at random positions within the respective region, which involves an increase in kinetic energy.
  75 Thus, the simulation is continued without adding more carbon atoms until the system temperature is equal to the chosen temperature again, which is realized by the thermostat decoupling excessive energy.
  76 Every inserted carbon atom must exhibit a distance greater or equal than 1.5 \AA{} to present neighboured atoms to prevent too high temperatures.
  77 Once the total amount of carbon is inserted the simulation is continued for 100 ps followed by a cooling-down process until room temperature, that is  $20\, ^{\circ}\mathrm{C}$ is reached.
  78 Figure \ref{fig:md:prec_fc} displays a flow chart of the applied steps involved in the simulation sequence.
  79 \begin{figure}[!ht]
  80 \begin{center}
  81 \begin{pspicture}(0,0)(15,17)
  82
  83  \psframe*[linecolor=hb](3,11.5)(11,17)
  84  \rput[lt](3.2,16.8){\color{gray}INITIALIZIATION}
  85  \rput(7,16){\rnode{14}{\psframebox{Create $31\times 31\times 31$
  86                                     unit cells of c-Si}}}
  87  \rput(7,15){\rnode{13}{\psframebox{$T_{\text{s}}=450\,^{\circ}\mathrm{C}$,
  88                                     $p_{\text{s}}=0\text{ bar}$}}}
  89  \rput(7,14){\rnode{12}{\psframebox{Thermal initialization}}}
  90  \rput(7,13){\rnode{11}{\psframebox{Continue for 100 fs}}}
  91  \rput(7,12){\rnode{10}{\psframebox{$T_{\text{avg}}=T_{\text{s}}
  92                                                     \pm1\,^{\circ}\mathrm{C}$}}}
  93  \ncline[]{->}{14}{13}
  94  \ncline[]{->}{13}{12}
  95  \ncline[]{->}{12}{11}
  96  \ncline[]{->}{11}{10}
  97  \ncbar[angle=0]{->}{10}{11}
  98  \psset{fillcolor=hb}
  99  \nbput*{\scriptsize false}
 100
 101  \psframe*[linecolor=lbb](3,6.5)(11,11)
 102  \rput[lt](3.2,10.8){\color{gray}CARBON INSERTION}
 103  \rput(3,10.8){\pnode{CI}}
 104  \rput(7,10){\rnode{9}{\psframebox{Insertion of 10 carbon aoms}}}
 105  \rput(7,9){\rnode{8}{\psframebox{Continue for 100 fs}}}
 106  \rput(7,8){\rnode{7}{\psframebox{$T_{\text{avg}}=T_{\text{s}}
 107                                                    \pm1\,^{\circ}\mathrm{C}$}}}
 108  \rput(7,7){\rnode{6}{\psframebox{$N_{\text{Carbon}}=6000$}}}
 109  \ncline[]{->}{9}{8}
 110  \ncline[]{->}{8}{7}
 111  \ncline[]{->}{7}{6}
 112  \trput*{\scriptsize true}
 113  \ncbar[angle=180]{->}{7}{8}
 114  \psset{fillcolor=lbb}
 115  \naput*{\scriptsize false}
 116  \ncbar[angle=0]{->}{6}{9}
 117  \nbput*{\scriptsize false}
 118  \ncbar[angle=180]{->}{10}{CI}
 119  \psset{fillcolor=white}
 120  \nbput*{\scriptsize true}
 121
 122  \rput(7,5.75){\rnode{5}{\psframebox{Continue for 100 ps}}}
 123  \ncline[]{->}{6}{5}
 124  \trput*{\scriptsize true}
 125
 126  \psframe*[linecolor=lachs](3,0.5)(11,5)
 127  \rput[lt](3.2,4.8){\color{gray}COOLING DOWN}
 128  \rput(3,4.8){\pnode{CD}}
 129  \rput(7,4){\rnode{4}{\psframebox{$T_{\text{s}}=T_{\text{s}}-
 130                                                 1\,^{\circ}\mathrm{C}$}}}
 131  \rput(7,3){\rnode{3}{\psframebox{Continue for 100 fs}}}
 132  \rput(7,2){\rnode{2}{\psframebox{$T_{\text{avg}}=T_{\text{s}}
 133                                                   \pm1\,^{\circ}\mathrm{C}$}}}
 134  \rput(7,1){\rnode{1}{\psframebox{$T_{\text{s}}=20\,^{\circ}\mathrm{C}$}}}
 135  \ncline[]{->}{4}{3}
 136  \ncline[]{->}{3}{2}
 137  \ncline[]{->}{2}{1}
 138  \trput*{\scriptsize true}
 139  \ncbar[angle=0]{->}{2}{3}
 140  \psset{fillcolor=lachs}
 141  \nbput*{\scriptsize false}
 142  \ncbar[angle=180,arm=1.5]{->}{1}{4}
 143  \naput*{\scriptsize false}
 144  \ncbar[angle=180]{->}{5}{CD}
 145  \trput*{\scriptsize false}
 146
 147  \rput(7,-0.25){\rnode{0}{\psframebox{End of simulation}}}
 148  \ncline[]{->}{1}{0}
 149  \trput*{\scriptsize true}
 150 \end{pspicture}
 151 \end{center}
 152 \caption[Flowchart of the simulation sequence used in molecular dnymaics simulations aiming to reproduce the precipitation process.]{Flowchart of the simulation sequence used in molecular dnymaics simulations aiming to reproduce the precipitation process. $T_{\text{s}}$ and $p_{\text{s}}$ are the preset values for the system temperature and pressure. $T_{\text{avg}}$ is the averaged actual system temperature.}
 153 \label{fig:md:prec_fc}
 154 \end{figure}
 155
 156 The radial distribution function $g(r)$ for C-C and Si-Si distances is shown in figure \ref{fig:md:pc_si-si_c-c}.
 157 \begin{figure}[!ht]
 158 \begin{center}
 159  \includegraphics[width=12cm]{sic_prec_450_si-si_c-c.ps}
 160 \end{center}
 161 \caption[Radial distribution function of the C-C and Si-Si distances for 6000 carbon atoms inserted into the three different volumes $V_1$, $V_2$ and $V_3$ at a temperature of $450\,^{\circ}\mathrm{C}$ and cooled down to room temperature.]{Radial distribution function of the C-C and Si-Si distances for 6000 carbon atoms inserted into the three different volumes $V_1$, $V_2$ and $V_3$ at a temperature of $450\,^{\circ}\mathrm{C}$ and cooled down to room temperature. The bright blue graph shows the Si-Si radial distribution for pure c-Si. The insets show magnified regions of the respective type of bond.}
 162 \label{fig:md:pc_si-si_c-c}
 163 \end{figure}
 164 \begin{figure}[!ht]
 165 \begin{center}
 166  \includegraphics[width=12cm]{sic_prec_450_energy.ps}
 167 \end{center}
 168 \caption[Total energy per atom as a function of time for the whole simulation sequence and for all three types of insertion volumes.]{Total energy per atom as a function of time for the whole simulation sequence and for all three types of insertion volumes. Arrows mark the end of carbon insertion and the start of the cooling process respectively.}
 169 \label{fig:md:energy_450}
 170 \end{figure}
 171 It is easily and instantly visible that there is no significant difference among the two simulations of high carbon concentration.
 172 The first C-C peak appears at about 0.15 nm, which is compareable to the nearest neighbour distance of graphite or diamond.
 173 The number of C-C bonds is much smaller for $V_1$ than for $V_2$ and $V_3$ since carbon atoms are spread over the total simulation volume.
 174 These carbon atoms are assumed to form strong bonds.
 175 This is supported by figure \ref{fig:md:energy_450} displaying the total energy of all three simulations during the whole simulation sequence.
 176 A huge decrease of the total energy during carbon insertion is observed for the simulations with high carbon concentration in contrast to the $V_1$ simulation, which shows a slight increase.
 177 The difference in energy $\Delta$ growing within the carbon insertion process up to a value of roughly 0.06 eV per atom persists unchanged until the end of the simulation.
 178 Here is the problem.
 179 The excess amount of next neighboured strongly bounded C-C bonds in the high concentration simulations make these configurations energetically more favorable compared to the low concentration configuration.
 180 However, in the same way a lot of energy is needed to break these bonds to get out of the local energy minimum advancing towards the global minimum configuration.
 181 Thus, such conformational chamges are very unlikely to happen.
 182 This is in accordance with the constant total energy observed in the continuation step of 100 ps inbetween the end of carbon insertion and the cooling process.
 183 Obviously no energetically favorable relaxation is taking place at a system temperature of $450\,^{\circ}\mathrm{C}$.
 184
 185 The C-C peak at about 0.31 nm perfectly matches the nearest neighbour distance of two carbon atoms in the 3C-SiC lattice.
 186 As can be seen from the inset this peak is also observed for the $V_1$ simulation.
 187 In 3C-SiC the same distance is also expected for nearest neighbour silicon atoms.
 188 The bottom of figure \ref{fig:md:pc_si-si_c-c} shows the radial distribution of Si-Si bonds together with a reference graph for pure c-Si.
 189 Indeed non-zero $g(r)$ values around 0.31 nm are observed while the amount of Si pairs at regular c-Si distances of 0.24 nm and 0.38 nm decreases.
 190 However, no clear peak is observed but the interval of enhanced $g(r)$ values corresponds to the width of the C-C $g(r)$ peak.
 191 In addition the abrupt increase of Si pairs at 0.29 nm can be attributed to the Si-Si cut-off radius of 0.296 nm as used in the present bond order potential.
 192 The cut-off function causes artificial forces pushing the Si atoms out of the cut-off region.
 193 Without the abrubt increase a maximum around 0.31 nm gets even more conceivable.
 194 For low concentrations of carbon, that is the $V_1$ simulation and early stages of the $V_2$ and $V_3$ simulations, analyses of configurations in which Si-Si distances around 0.3 nm appear and which are identifiable in regions of high disorder, which especially applies for the high concentration simulations, identify the \hkl<1 0 0> C-Si dumbbell to be responsible for stretching the Si-Si next neighbour distance.
 195 This excellently agrees with the calculated value $r(13)$ in table \ref{tab:defects:100db_cmp} for a resulting Si-Si distance in the \hkl<1 0 0> C-Si dumbbell configuration.
 196
 197 \begin{figure}[!ht]
 198 \begin{center}
 199  \includegraphics[width=12cm]{sic_prec_450_si-c.ps}
 200 \end{center}
 201 \caption{Radial distribution function of the Si-C distances for 6000 carbon atoms inserted into the three different volumes $V_1$, $V_2$ and $V_3$ at a temperature of $450\,^{\circ}\mathrm{C}$ and cooled down to room temperature together with Si-C bonds resulting in a C-Si \hkl<1 0 0> dumbbell configuration.}
 202 \label{fig:md:pc_si-c}
 203 \end{figure}
 204 Figure \ref{fig:md:pc_si-c} displays the Si-C radial distribution function for all three insertion volumes together with the Si-C bonds as observed in a C-Si \hkl<1 0 0> dumbbell configuration.
 205 The first peak observed for all insertion volumes is at approximately 0.186 nm.
 206 This corresponds quite well to the expected next neighbour distance of 0.189 nm for Si and C atoms in 3C-SiC.
 207 By comparing the resulting Si-C bonds of a C-Si \hkl<1 0 0> dumbbell with the C-Si distances of the low concentration simulation it is evident that the resulting structure of the $V_1$ simulation is dominated by this type of defects.
 208 This is not surpsising, since the \hkl<1 0 0> dumbbell is found to be the ground state defect of a C interstitial in c-Si and for the low concentration simulations a carbon interstitial is expected in every fifth silicon unit cell only, thus, excluding defect superposition phenomena.
 209 The peak distance at 0.186 nm and the bump at 0.175 nm corresponds to the distance $r(3C)$ and $r(1C)$ as listed in table \ref{tab:defects:100db_cmp} and visualized in figure \ref{fig:defects:100db_cmp}.
 210 In addition it can be easily identified that the \hkl<1 0 0> dumbbell configuration contributes to the peaks at about 0.335 nm, 0.386 nm, 0.434 nm, 0.469 nm and 0.546 nm observed in the $V_1$ simulation.
 211 Not only the peak locations but also the peak widths and heights become comprehensible.
 212 The distinct peak at 0.26 nm, which exactly matches the cut-off radius of the Si-C interaction, is again a potential artifact.
 213
 214 For high carbon concentrations, that is the $V_2$ and $V_3$ simulation, the defect concentration is likewiese increased and a considerable amount of damage is introduced in the insertion volume.
 215 The consequential superposition of these defects and the high amounts of damage generate new displacement arrangements for the C-C as well as for the Si-C pair distances, which become hard to categorize and trace and obviously lead to a broader distribution.
 216 Short range order indeed is observed but only hardly visible is the long range order.
 217 This indicates the formation of an amorphous SiC-like phase.
 218 In fact the resulting Si-C and C-C radial distribution functions compare quite well with these obtained by cascade amorphized and melt-quenched amorphous SiC using a modified Tersoff potential \cite{gao02}.
 219
 220 \subsection{Limitations of conventional MD and short order potentials}
 221
 222 {\color{blue}
 223 Alternatively: Explain general problem of the slow propagation through phase space using conventional molecular dynamics and the accompanying difficulties for conformational search.
 224 Explain the methods available to overcome this limitation.
 225 Point out, that in this work, the sharp cut-off introduces unphysical and overestimated high forces between next neighboured atoms enhancing the problem of slow phase space propagation.
 226 }
 227
 228 The formation of an amoprhous SiC-like phase although experiments show crystalline 3C-SiC precipitates at prevailing temperatures remains unexplained.
 229 The answer is found in the short range and sharp cut-off of the employed bond order potential.
 230 The cut-off funtion, which limits the interacting ions to the next neighboured atoms by gradually pushing the interaction force and energy to zero betwenn the first and second next neighbour distance, is responsible for overestimated and unphysical high forces of next neighboured atoms \cite{mattoni2007}.
 231 Indeed it is not only the strong C-C bond which is hard to break inhibiting carbon diffusion and further conformational changes.
 232 This is also true for the low concentration simulations dominated by C-Si dumbbells spread over the whole simulation volume.
 233 The bonds of these C-Si pairs are also affected by the cut-off artifact preventing carbon diffusion and agglomeration of the dumbbells.
 234 This can be seen from the almost horizontal progress of the total energy graph in the continuation step, even for the low concentration simulation.
 235 Thus, applying longer time scales in order to enable the system to undergo diffusion events, which become very unlikely to happen due to the overestimated bond strengthes, and in the end observe the agglomeration and precipitation might not be sufficient.
 236 On the other hand longer time scales are not accessible to simulation due to limited computational ressources.
 237 Alternatively the approach of using higher temperatures to speed up or actually make possible the steps involved in the precipitation mechanism is applied.
 238
 239
 240 \subsection{Increased temperature simulations}
 241
 242 {\color{red}Todo: We go for higher temepratures first due to the potential cut-off artifact discussed above.}
 243
 244 \subsection{Constructed 3C-SiC precipitate in crystalline silicon}
 245
 246 {\color{red}Todo: We want to know where we want to go ...}
 247
 248 In the following a spherical 3C-SiC precipitate enclosed in a c-Si surrounding is constructed as it is expected from IBS experiments and from simulations that finally succeed simulating the precipitation event.
 249 On the one hand this sheds light on characteristic values like the radial distribution function or the total amount of energy for configurations that are aimed to be reproduced by simulation possibly enabling the prediction of conditions necessary for the simulation of the precipitation process.
 250 On the other hand, assuming a correct alignment of the precipitate with the c-Si matrix, investigations of the behaviour of such precipitates and the surrounding can be made.
 251
 252 To construct a spherical 3C-SiC precipitate in c-Si, the approach illustrated in the following is applied.
 253 A total simulation volume $V$ consisting of 21 unit cells of c-Si in each direction is used.
 254 To obtain a minimal and stable precipitate 5500 carbon atoms are considered necessary.
 255 The initial precipitate configuration is constructed in two steps.
 256 In the first step the surrounding silicon matrix is created.
 257 This is realized by just skipping the generation of silicon atoms inside a sphere of radius $x$, which is the first unknown variable.
 258 The silicon lattice constant $a_{\text{Si}}$ of the surrounding c-Si matrix is assumed to not alter dramatically and, thus, is used for the initial lattice creation.
 259 In a second step 3C-SiC is created inside the empty sphere of radius $x$.
 260 The lattice constant $y$, the second unknown variable, is chosen in such a way, that the necessary amount of carbon is generated.
 261 This is entirely described by the system of equations \eqref{eq:md:constr_sic_01}
 262 \begin{equation}
 263 \frac{8}{a_{\text{Si}}^3}(
 264 \underbrace{21^3 a_{\text{Si}}^3}_{=V}
 265 -\frac{4}{3}\pi x^3)+
 266 \underbrace{\frac{4}{y^3}\frac{4}{3}\pi x^3}_{\stackrel{!}{=}5500}
 267 =21^3\cdot 8
 268 \label{eq:md:constr_sic_01}
 269 \text{ ,}
 270 \end{equation}
 271 which can be simplified to read
 272 \begin{equation}
 273 \frac{8}{a_{\text{Si}}^3}\frac{4}{3}\pi x^3=5500
 274 \Rightarrow x = \left(\frac{5500 \cdot 3}{32 \pi} \right)^{1/3}a_{\text{Si}}
 275 \label{eq:md:constr_sic_02}
 276 \end{equation}
 277 and
 278 \begin{equation}
 279 %x^3=\frac{16\pi}{5500 \cdot 3}y^3=
 280 %\frac{16\pi}{5500 \cdot 3}\frac{5500 \cdot 3}{32 \pi}a_{\text{Si}}^3
 281 %\Rightarrow
 282 y=\left(\frac{1}{2} \right)^{1/3}a_{\text{Si}}
 283 \text{ .}
 284 \label{eq:md:constr_sic_03}
 285 \end{equation}
 286 By this means values of 2.973 nm and 4.309 \AA{} are obtained for the initial precipitate radius and lattice constant of 3C-SiC.
 287 Since the generation of atoms is a discrete process with regard to the size of the volume the expected amounts of atoms are not obtained.
 288 However, by applying these values the final configuration varies only slightly from the expected one by five carbon and eleven silicon atoms, as can be seen in table \ref{table:md:sic_prec}.
 289 \begin{table}[!ht]
 290 \begin{center}
 291 \begin{tabular}{l c c c c}
 292 \hline
 293 \hline
 294  & C in 3C-SiC & Si in 3C-SiC & Si in c-Si surrounding & total amount of Si\\
 295 \hline
 296 Expected & 5500 & 5500 & 68588 & 74088\\
 297 Obtained & 5495 & 5486 & 68591 & 74077\\
 298 Difference & 5 & 14 & -3 & 11\\
 299 \hline
 300 \hline
 301 \end{tabular}
 302 \caption{Comparison of the expected and obtained amounts of Si and C atoms by applying the values from equations \eqref{eq:md:constr_sic_02} and \eqref{eq:md:constr_sic_03} in the 3C-SiC precipitate construction approach.}
 303 \label{table:md:sic_prec}
 304 \end{center}
 305 \end{table}
 306
 307 After the initial configuration is constructed some of the atoms located at the 3C-SiC/c-Si interface show small distances, which results in high repulsive forces acting on the atoms.
 308 Thus, the system is equilibrated using strong coupling to the heat bath, which is set to be $20\,^{\circ}\mathrm{C}$.
 309 Once the main part of th excess energy is carried out previous settings for the Berendsen thermostat are restored and the system is relaxed for another 10 ps.
 310
 311 PC and energy of that one.
 312
 313 Now let's see, whether annealing will lead to some energetically more favorable configurations.
 314
 315 Estimate surface energy ...
 316
 317 \subsection{Simulations at temperatures exceeding the silicon melting point}
 318
 319 LL Cool J is hot as hell!