solid_state_physics/tutorial/1_01.tex

   1 \pdfoutput=0
   2 \documentclass[a4paper,11pt]{article}
   3 \usepackage[activate]{pdfcprot}
   4 \usepackage{verbatim}
   5 \usepackage{a4}
   6 \usepackage{a4wide}
   7 \usepackage[german]{babel}
   8 \usepackage[latin1]{inputenc}
   9 \usepackage[T1]{fontenc}
  10 \usepackage{amsmath}
  11 \usepackage{ae}
  12 \usepackage{aecompl}
  13 \usepackage[dvips]{graphicx}
  14 \graphicspath{{./img/}}
  15 \usepackage{color}
  16 \usepackage{pstricks}
  17 \usepackage{pst-node}
  18 \usepackage{rotating}
  19
  20 \setlength{\headheight}{0mm} \setlength{\headsep}{0mm}
  21 \setlength{\topskip}{-10mm} \setlength{\textwidth}{17cm}
  22 \setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
  23 \setlength{\evensidemargin}{-10mm} \setlength{\topmargin}{-1cm}
  24 \setlength{\textheight}{26cm} \setlength{\headsep}{0cm}
  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27
  28 \begin{document}
  29
  30 % header
  31 \begin{center}
  32  {\LARGE {\bf Materials Physics I}\\}
  33  \vspace{8pt}
  34  Prof. B. Stritzker\\
  35  WS 2007/08\\
  36  \vspace{8pt}
  37  {\Large\bf Tutorial 1}
  38 \end{center}
  39
  40 \section{Free electron in a box}
  41 Our understanding of condensed matter is based on the idea of heavy, positively charged ions and light, negatively charged valence electrons.
  42 In order to describe such a system of interacting particles you have to solve the full Hamiltonian
  43 \begin{eqnarray}
  44  H &=& H_{ion} + H_{el} + H_{ion-el} \nonumber \\
  45    &=& H_{ion,kin} + H_{ion-ion} + H_{el,kin} + H_{el-el} + H_{ion-el} \nonumber
  46 \end{eqnarray}
  47 which accounts for the ionic and electronic subsystem as well as the coupling between these two.
  48
  49 Lighter valence electrons move much faster than the nuclei and thus follow the ionic motion adiabatically.
  50 For the electrons the nuclei appear fixed in position.
  51 On the other way round the electrons appear blurred to the nuclei adding an extra term to an effective potential.
  52 This is called the Born-Oppenheimer or adiabatic approximation basically switching off electron-phonon interactions.
  53
  54 Having separated the ionic and electronic degrees of freedom the Hamiltonian still involves all electronic coordinates which results in a many-particle wave function as a solution of the Schr"odinger equation depending on the positions of all electrons.
  55 By completely neglecting the electron-electron interaction the Hamiltonian can be written as a sum of single particle Hamiltonians
  56 \[
  57  H = \sum_i - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla_i^2 + v_{ext}({\bf r}_i)
  58 \]
  59 where $v_{ext}$ is the combination of ion-electron and a constant ion-ion interaction.
  60 This is called the independent electron approximation.
  61
  62 Thus, it is sufficient to consider a single electron located in an effective time-independent potential due to the static ions and all other electrons.
  63 Since most materials condense into almost perfect periodic arrays the periodicity should also hold for the potential style.
  64
  65 Within this tutorial even the periodic potential is simplified.
  66 Consider a single particle (mass $m$) enclosed in a box (side length $L=V^{1/3}$) where the potential is constant ($V_0$) inside the box and infinite at the surface.
  67
  68 \begin{enumerate}
  69  \item Write down the Schr"odinger equation and boundary conditions
  70        for the particle enclosed in the box.
  71  \item Find a solution of the Schr"odinger equation.
  72        Write down the wave function and energy eigenvalues.
  73        {\bf Hint:} Apply separation of variables:
  74        $\Psi({\bf r})=F_x(x)F_y(y)F_z(z)$.
  75  \item Write down the wave function of the ground state and calculate the
  76        zero-point energy (energy of the ground state).
  77  \item What are the values allowed for $k_x$, $k_y$ and $k_z$
  78        in reciprocal space?
  79        Sketch a cross section perpendicular to the $k_x$ and $k_y$ axis
  80        showing some values allowed for $k_x$ and $k_y$.
  81 \end{enumerate}
  82
  83 \end{document}