solid_state_physics/tutorial/1_04.tex

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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27
  28 \begin{document}
  29
  30 % header
  31 \begin{center}
  32  {\LARGE {\bf Materials Physics I}\\}
  33  \vspace{8pt}
  34  Prof. B. Stritzker\\
  35  WS 2007/08\\
  36  \vspace{8pt}
  37  {\Large\bf Tutorial 4}
  38 \end{center}
  39
  40 \section{Hall effect and magnetoresistance}
  41 The Hall effect refers to the potential difference (Hall voltage)
  42 on the opposite sides of an electrical conductor
  43 through which an electric current is flowing,
  44 created by a magnetic field applied perpendicular to the current.
  45 Edwin Hall discovered this effect in 1879.
  46
  47 Consider the following scenario:
  48 An electric field $E_x$ is applied to a wire extending in $x$-direction
  49 and a current density $j_x$ is flowing in that wire.
  50 There is a magnetic field $B$ pointing in the positive $z$-direction.
  51 Electrons are deflected in the negative $y$-direction
  52 due to the Lorentz force $F_L=-evB$
  53 until they run against the sides of the wire.
  54 An electric field $E_y$ builds up opposing the Lorentz force
  55 and thus preventing further electron accumulation at the sides.
  56 The two quantities of interest are:
  57 \begin{itemize}
  58  \item the magnetoresistance
  59        \[
  60        \rho(B) = \frac{E_x}{j_x} \textrm{ and}
  61        \]
  62  \item the Hall coefficient
  63        \[
  64        R_H(B) = \frac{E_y}{j_xB} \textrm{ .}
  65        \]
  66 \end{itemize}
  67 In this tutorial the treatment of the Hall problem is based on a simple
  68 Drude model analysis.
  69 \\\\
  70 First of all the effect of individual electron collisions can be expressed
  71 by a frictional damping term into the equation of motion for the momentum
  72 per electron.
  73
  74 \begin{enumerate}
  75  \item Recall the Drude model.
  76        Given the momentum per electron $p(t)$ at time t
  77        calculate the momentum per electron $p(t+dt)$
  78        an infinitesimal time $dt$ later.
  79        {\bf Hint:} What is the probability of an electron taken at random at
  80        time $t$ to not suffer a collision before time $t+dt$?
  81        If not experiencing a collision it simply evolves under the influence
  82        of the force $f(t)$.
  83        Combine contributions of the order of $(dt)^2$ to the term
  84        $O(dt)^2$.
  85  \item Write down the equation of motion for the momentum per electron
  86        by dividing the above result by $dt$
  87        and taking the limit $dt\rightarrow 0$.
  88  \item Sketch a schematic view of Hall's experiment.
  89  \item Find an expression for the Hall coefficient.
  90        {\bf Hint:} Insert an appropriate force into the equation of motion
  91        for the momentum per electron.
  92        Consider the steady state and acquire the equations
  93        for the $x$ and $y$ component of the vector equation.
  94        To find an expression for the Hall coefficient use the second  equation
  95        and the fact that there must not be transverse current $j_y$
  96        while determining the Hall field.
  97 \end{enumerate}
  98
  99 \end{document}