solid_state_physics/tutorial/1_06.tex

   1 \pdfoutput=0
   2 \documentclass[a4paper,11pt]{article}
   3 \usepackage[activate]{pdfcprot}
   4 \usepackage{verbatim}
   5 \usepackage{a4}
   6 \usepackage{a4wide}
   7 \usepackage[german]{babel}
   8 \usepackage[latin1]{inputenc}
   9 \usepackage[T1]{fontenc}
  10 \usepackage{amsmath}
  11 \usepackage{ae}
  12 \usepackage{aecompl}
  13 \usepackage[dvips]{graphicx}
  14 \graphicspath{{./img/}}
  15 \usepackage{color}
  16 \usepackage{pstricks}
  17 \usepackage{pst-node}
  18 \usepackage{rotating}
  19
  20 \setlength{\headheight}{0mm} \setlength{\headsep}{0mm}
  21 \setlength{\topskip}{-10mm} \setlength{\textwidth}{17cm}
  22 \setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
  23 \setlength{\evensidemargin}{-10mm} \setlength{\topmargin}{-1cm}
  24 \setlength{\textheight}{26cm} \setlength{\headsep}{0cm}
  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27
  28 \begin{document}
  29
  30 % header
  31 \begin{center}
  32  {\LARGE {\bf Materials Physics I}\\}
  33  \vspace{8pt}
  34  Prof. B. Stritzker\\
  35  WS 2007/08\\
  36  \vspace{8pt}
  37  {\Large\bf Tutorial 6}
  38 \end{center}
  39
  40 \section{Indirect band gap of silicon}
  41
  42 Some facts about silicon:
  43 \begin{itemize}
  44  \item Lattice constant: $a=5.43 \cdot 10^{-10} \, m$.
  45  \item Silicon has an indirect band gap.
  46        \begin{itemize}
  47         \item The minimum of the conduction band is located at
  48              $k=0.85 \frac{2 \pi}{a}$.
  49        \item The maximum of the valance band is located at $k=0$.
  50        \item The energy gap is $E_g=1.12 \, eV$.
  51        \end{itemize}
  52 \end{itemize}
  53 \begin{enumerate}
  54  \item Calculate the wavelength of the light necessary to lift an electron from
  55        the valence to the conduction band.
  56        What is the momentum of such a photon?
  57  \item Calculate the phonon momentum necessary for the transition.
  58        Compare the momentum values of phonon and photon.
  59  \item Draw conclusions concerning optical applications.
  60 \end{enumerate}
  61
  62 \section{Dielectric function of the free electron gas}
  63
  64 \begin{enumerate}
  65  \item Derive an expression for the dieletric function $\epsilon(\omega)$
  66        of the free electron gas.
  67        {\bf Hint:} The equation of motion for a free electron
  68                    (position vector $x$) in an electric field $E$ is given by
  69                    $m\frac{d^2x}{dt^2}=-eE$.
  70                    For an electric field which has a
  71                    $e^{-i\omega t}$ dependance on time
  72                    the ansatz $x=x_0 e^{-i\omega t}$ is suitable
  73                    to solve the equation of motion.
  74                    What is the dipole moment of that electron?
  75                    Now write down the polarization $P$ which is defined as
  76                    the dipole moment of all electrons per volume.
  77                    As known from electro statics the polarization is connected
  78                    to the dielectric constant by
  79                    $\epsilon\epsilon_0E=\epsilon_0E+P$.
  80  \item Rewrite $\epsilon(\omega)$ using the plasma frequency $\omega_p$
  81        defined as $\omega_p^2=\frac{ne^2}{\epsilon_0m}$
  82        ($n$: electron density, $e$: electron charge,
  83         $\epsilon_0$: vacuum premitivity, $m$: electron mass).
  84        Sketch $\epsilon(\omega)$ against $\frac{\omega}{\omega_p}$.
  85        Explain what is happening to electromagnetic waves in the regions
  86        $\frac{\omega}{\omega_p}<1$ and $\frac{\omega}{\omega_p}>1$.
  87 \end{enumerate}
  88
  89 \end{document}