solid_state_physics/tutorial/2_03.tex

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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27 \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  28 \renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii})}
  29
  30 \begin{document}
  31
  32 % header
  33 \begin{center}
  34  {\LARGE {\bf Materials Physics II}\\}
  35  \vspace{8pt}
  36  Prof. B. Stritzker\\
  37  SS 2008\\
  38  \vspace{8pt}
  39  {\Large\bf Tutorial 3}
  40 \end{center}
  41
  42 \vspace{8pt}
  43
  44 The specific heat (capacity) is the measure of the energy
  45 required to increase the temperature of a unit quantity of a substance
  46 by a certain temperature interval.
  47 Thus, the specific heat at constant volume $V$ is given by
  48 \[
  49 c_V = \frac{\partial w}{\partial T}
  50 \]
  51 in which $w$ is the energy density of the system.
  52
  53 \section{Specific heat in the classical theory of the harmonic crystal -\\
  54          The law of Dulong and Petit}
  55
  56 In the classical theory of the harmonic crystal equilibrium properties
  57 can no longer be evaluated by simply assuming that each ion sits quitly at
  58 its Bravais lattice site {\bf R}.
  59 From now on expectation values have to be claculated by
  60 integrating over all possible ionic configurations weighted by
  61 $\exp(-E/k_{\text{B}}T)$, where $E$ is the energy of the configuration.
  62 Thus, the energy density $w$ is given by
  63 \[
  64 w=\frac{1}{V} \frac{\int d\Gamma\exp(-\beta H)H}{\int d\Gamma\exp(-\beta H)},
  65 \qquad \beta=\frac{1}{k_{\text{B}}T}
  66 \]
  67 in which $d\Gamma=\Pi_{\bf R} d{\bf u}({\bf R})d{\bf P}({\bf R})$
  68 is the volume elemnt in crystal phase space.
  69 ${\bf u}({\bf R})$ and ${\bf P}({\bf R})$  are the 3N canonical coordinates
  70 (here: deviations from equlibrium sites)
  71 and 3N canonical momenta
  72 of the ions whose equlibrium sites are ${\bf R}$.
  73 \begin{enumerate}
  74  \item Show that the energy density can be rewritten to read:
  75        \[
  76    u=-\frac{1}{V}\frac{\partial}{\partial \beta} ln \int d\Gamma \exp(-\beta H).
  77        \]
  78  \item Show that the potential contribution to the energy
  79        in the harmonic approximation is given by
  80        \begin{eqnarray}
  81        U&=&U_{\text{eq}}+U_{\text{harm}} \nonumber \\
  82        U_{\text{eq}}&=&\frac{1}{2}\sum_{{\bf R R'}} \Phi({\bf R}-{\bf R'})
  83        \nonumber \\
  84        U_{\text{harm}}&=&\frac{1}{4}\sum_{\stackrel{{\bf R R'}}{\mu,v=x,y,z}}
  85        [u_{\mu}({\bf R})-u_{\mu}({\bf R'})]\Phi_{\mu v}({\bf R}-{\bf R'})
  86        [u_v({\bf R})-u_v({\bf R'})] \nonumber
  87        \end{eqnarray}
  88        in which
  89 $\Phi_{\mu v}({\bf r})=
  90  \frac{\partial^2 \Phi({\bf r})}{\partial r_{\mu}\partial r_v}$
  91        and $\Phi({\bf r})$ is the potential contribution of two atoms
  92        separated by ${\bf r}$.
  93        {\bf Hint:}
  94        Write down the potential energy for the instantaneous positions
  95        ${\bf r}({\bf R})$, with ${\bf u}({\bf R})={\bf r}({\bf R})-{\bf R}$.
  96        Apply Taylor approximation to $\Phi({\bf r}+{\bf a})$ with
  97        ${\bf r}={\bf R}-{\bf R'}$ and
  98        ${\bf a}={\bf u}({\bf R})-{\bf u}({\bf R'})$
  99        and only retain terms quadratic in $u$.
 100  \item Use the evaluated potential to calculate the energy density
 101        (do not forget the kinetic contribution to energy) and
 102        the specific heat $c_{\text{V}}$.
 103        {\bf Hint:}
 104        Use the following change of variables
 105        \[
 106        {\bf u}({\bf R})=\beta^{-1/2}\bar{{\bf u}}({\bf R}), \qquad
 107        {\bf P}({\bf R})=\beta^{-1/2}\bar{{\bf P}}({\bf R})
 108        \]
 109        to extract the temperature dependence of the integral.
 110        Does this also work for anharmonic terms?
 111        Which parts of the integral do not contribute to $w$ and why?
 112 \end{enumerate}
 113
 114
 115 \section{Specific heat in the quantum theory of the harmonic crystal -\\
 116          Models of Debye and Einstein}
 117
 118 \begin{enumerate}
 119  \item
 120  \item
 121 \end{enumerate}
 122
 123 \end{document}