solid_state_physics/tutorial/2_03s.tex

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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27 \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  28 \renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii})}
  29
  30 \begin{document}
  31
  32 % header
  33 \begin{center}
  34  {\LARGE {\bf Materials Physics II}\\}
  35  \vspace{8pt}
  36  Prof. B. Stritzker\\
  37  SS 2008\\
  38  \vspace{8pt}
  39  {\Large\bf Tutorial 3 - proposed solutions}
  40 \end{center}
  41
  42 \vspace{8pt}
  43
  44 \section{Specific heat in the classical theory of the harmonic crystal -\\
  45          The law of Dulong and Petit}
  46
  47 \begin{enumerate}
  48  \item Energy:
  49        \begin{eqnarray}
  50        w&=&-\frac{1}{V}\frac{\partial}{\partial \beta}
  51        ln \int d\Gamma \exp(-\beta H)
  52        =-\frac{1}{V}\frac{1}{\int d\Gamma \exp(-\beta H)}
  53        \frac{\partial}{\partial \beta} \int d\Gamma \exp(-\beta H)\nonumber\\
  54        &=&-\frac{1}{V}\frac{1}{\int d\Gamma \exp(-\beta H)}
  55        \int d\Gamma \frac{\partial}{\partial \beta} \exp(-\beta H)\nonumber\\
  56        &=&-\frac{1}{V}\frac{1}{\int d\Gamma \exp(-\beta H)}
  57        \int d\Gamma \exp(-\beta H) (-H) \qquad \textrm{ q.e.d.} \nonumber
  58        \end{eqnarray}
  59  \item Potential energy:
  60        \[
  61        U=\frac{1}{2}\sum_{{\bf RR'}}\Phi({\bf r}({\bf R})-{\bf r}({\bf R'}))
  62         =\frac{1}{2}\sum_{{\bf RR'}}
  63          \Phi({\bf R}-{\bf R'}+{\bf u}({\bf R})-{\bf u}({\bf R'}))
  64        \]
  65        Using Taylor and
  66        $U_{\text{eq}}=\frac{1}{2}\sum_{{\bf R R'}} \Phi({\bf R}-{\bf R'})$:
  67        \[
  68        U=U_{\text{eq}}+
  69          \frac{1}{2}\sum_{{\bf RR'}}({\bf u}({\bf R})-{\bf u}({\bf R'}))
  70          \nabla\Phi({\bf R}-{\bf R'})+
  71          \frac{1}{4}\sum_{{\bf RR'}}
  72          [({\bf u}({\bf R})-{\bf u}({\bf R'})) \nabla]^2
  73          \Phi({\bf R}-{\bf R'}) + \mathcal{O}(u^3)
  74        \]
  75        Linear term:\\
  76        The coefficient of ${\bf u}({\bf R})$ is
  77        $\sum_{\bf R'}\nabla\Phi({\bf R}-{\bf R'})$
  78        which is minus the force excerted on atom ${\bf R}$
  79        by all other atoms in equlibrium positions.
  80        There is no net force on any atom in equlibrium.
  81        The linear term is zero.\\\\
  82        Harmonic term:\\
  83        $(a\nabla)^2 \Phi=
  84         a\nabla a\nabla \Phi=
  85         a\nabla \sum_u a_u \frac{\partial\Phi}{\partial r_u}=
  86         \sum_v \frac{\partial \sum_u a_u
  87         \frac{\partial\Phi}{\partial r_u}}{\partial r_v} a_v=
  88         \sum_{uv}\frac{\partial}{\partial r_v} a_u
  89         \frac{\partial \Phi}{\partial r_u} a_v=
  90         \sum_{uv}a_u \frac{\partial^2\Phi}{\partial r_u \partial r_v} a_v$\\
  91        \[\Rightarrow
  92        U_{\text{harm}}=\frac{1}{4}\sum_{\stackrel{{\bf R R'}}{\mu,v=x,y,z}}
  93        [u_{\mu}({\bf R})-u_{\mu}({\bf R'})]\Phi_{\mu v}({\bf R}-{\bf R'})
  94        [u_v({\bf R})-u_v({\bf R'})],
  95        \quad \Phi_{\mu v}({\bf r})=
  96         \frac{\partial^2 \Phi({\bf r})}{\partial r_{\mu}\partial r_v}.
  97        \]
  98  \item Change of variables:
  99        \[
 100        {\bf u}({\bf R})=\beta^{-1/2}\bar{{\bf u}}({\bf R}), \qquad
 101        {\bf P}({\bf R})=\beta^{-1/2}\bar{{\bf P}}({\bf R})
 102        \]
 103        \[
 104        \Rightarrow
 105        d{\bf u}({\bf R})=\beta^{-3/2}d\bar{{\bf u}}({\bf R}), \qquad
 106        d{\bf P}({\bf R})=\beta^{-3/2}d\bar{{\bf P}}({\bf R}), \qquad
 107        \]
 108        Kinetic energy contribution:
 109        \[
 110        H_{\text{kin}}=\frac{{\bf P}({\bf R})^2}{2M}
 111        \]
 112        Integral:
 113        \[
 114        \int d\Gamma \exp(-\beta H)=
 115        \int d\Gamma \exp\left[-\beta\left(\sum \frac{{\bf P}({\bf R})^2}{2M}+
 116        U_{\text{eq}} + U_{\text{harm}}\right)\right]
 117        \]
 118
 119 \end{enumerate}
 120
 121 \section{Specific heat in the quantum theory of the harmonic crystal -\\
 122          The Debye model}
 123
 124 As found in exercise 1, the specific heat of a classical harmonic crystal
 125 is not depending on temeprature.
 126 However, as temperature drops below room temperature
 127 the specific heat of all solids is decreasing as $T^3$ in insulators
 128 and $AT+BT^3$ in metals.
 129 This can be explained in a quantum theory of the specific heat of
 130 a harmonic crystal, in which the energy density $w$ is given by
 131 \[
 132 w=\frac{1}{V}\frac{\sum_i E_i \exp(-\beta E_i)}{\sum_i \exp(-\beta E_i)}.
 133 \]
 134 \begin{enumerate}
 135  \item Show that the energy density can be rewritten to read:
 136        \[
 137    w=-\frac{1}{V}\frac{\partial}{\partial \beta} ln \sum_i \exp(-\beta E_i).
 138        \]
 139  \item Evaluate the expression of the energy density.
 140        {\bf Hint:}
 141        The energy levels of a harmonic crystal of N ions
 142        can be regarded as 3N independent oscillators,
 143        whose frequencies are those of the 3N classical normal modes.
 144        The contribution to the total energy of a particular normal mode
 145        with angular frequency $\omega_s({\bf k})$
 146        ($s$: branch, ${\bf k}$: wave vector) is given by
 147        $(n_{{\bf k}s} + \frac{1}{2})\hbar\omega_s({\bf k})$ with the
 148        excitation number $n_{{\bf k}s}$ being restricted to integers greater
 149        or equal zero.
 150        The total energy is given by the sum over the energies of the individual
 151        normal modes.
 152        Use the totals formula of the geometric series to expcitly calculate
 153        the sum of the exponential functions.
 154  \item Separate the above result into a term vanishing as $T$ goes to zero and
 155        a second term giving the energy of the zero-point vibrations of the
 156        normal modes.
 157  \item Write down an expression for the specific heat.
 158        Consider a large crystal and thus replace the sum over the discrete
 159        wave vectors with an integral.
 160  \item Debye replaced all branches of the vibrational spectrum with three
 161        branches, each of them obeying the dispersion relation
 162        $w=ck$.
 163        Additionally the integral is cut-off at a radius $k_{\text{D}}$
 164        to have a total amount of N allowed wave vectors.
 165        Determine $k_{\text{D}}$.
 166        Evaluate the simplified integral and introduce the
 167        Debye frequency $\omega_{\text{D}}=k_{\text{D}}c$
 168        and the Debye temperature $\Theta_{\text{D}}$ which is given by
 169        $k_{\text{B}}\Theta_{\text{D}}=\hbar\omega_{\text{D}}$.
 170        Write down the resulting expression for the specific heat.
 171 \end{enumerate}
 172
 173 \end{document}