solid_state_physics/tutorial/2_04.tex

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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27 \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  28 \renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii})}
  29
  30 \begin{document}
  31
  32 % header
  33 \begin{center}
  34  {\LARGE {\bf Materials Physics II}\\}
  35  \vspace{8pt}
  36  Prof. B. Stritzker\\
  37  SS 2008\\
  38  \vspace{8pt}
  39  {\Large\bf Tutorial 4}
  40 \end{center}
  41
  42 \vspace{8pt}
  43
  44 \section{Legendre transformation and Maxwell relations}
  45
  46 \begin{enumerate}
  47  \item Consider the total differential
  48        \[
  49        df= \sum_{i=1}^{n} u_i dx_i
  50        \]
  51        with the state function $f=f(x_1,\ldots,x_n)$ and its partial derivatives
  52        $u_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$.
  53        Rewrite the total differential of the function $g$ defined as
  54        \[
  55        g=f-\sum_{i=r+1}^{n} u_i x_i
  56        \]
  57        in such a way that $g$ is immediately identified to be a function of
  58        the variables $x_1,\ldots,x_r$ and $u_{r+1},\ldots,u_n$,
  59        where $u_i$ is called the conjugate variable of $x_i$.
  60        The transformation is called Legendre transformation.
  61  \item By taking the derivatives of transformed thermodynamic potentials
  62        with respect to the variables they depend on,
  63        relations between intensive and extensive variables can be gained.
  64
  65        Start with the internal energy $E=E(S,V)$.
  66        Write down the total differential using the equalities
  67        $T=\left.\frac{\partial E}{\partial S}\right|_V$ and
  68        $-p=\left.\frac{\partial E}{\partial V}\right|_S$.
  69        Find more relations by doing the transformation to the potentials
  70        \begin{itemize}
  71         \item $H=E+pV$ (Enthalpy)
  72         \item $F=E-TS$ (Helmholtz free energy)
  73         \item $G=H-TS=E+pV-TS$ (Gibbs free energy)
  74        \end{itemize}
  75        and taking the appropriate derivatives.
  76  \item For a thermodynamic potential $\Phi(X,Y)$ the following identity
  77        expressing the permutability of derivatives holds:
  78        \[
  79        \frac{\partial^2 \Phi}{\partial X \partial Y} =
  80        \frac{\partial^2 \Phi}{\partial Y \partial X}
  81        \]
  82        Derive the Maxwell relations by taking the mixed derivatives of the
  83        potentials in (b) with respect to the variables they depend on.
  84        Exchange the sequence of derivation and use the identities gained in (b).
  85 \end{enumerate}
  86
  87 \section{Thermal expansion of solids}
  88
  89 It is well known that solids change their length $L$ and volume $V$ respectively
  90 if there is a change in temperature $T$ or in pressure $p$ of the system.
  91
  92 \begin{enumerate}
  93  \item The coefficient of thermal expansion of a solid is given by
  94        $\alpha_L=\frac{1}{L}\left.\frac{\partial L}{\partial T}\right|_p$.
  95        Show that the coefficient of thermal expansion of the volume
  96        $\alpha_V=\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial T}\right|_p$
  97        equals $3\alpha_L$ for isotropic materials.
  98  \item
  99  \item
 100 \end{enumerate}
 101
 102 \end{document}